2022届新教材北师大版导数及其运用单元测试含答案8

2022届新教材北师大版  导数及其运用   单元测试

一、选择题

1、
设存在导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（   ）

A．     B．     C． 1    D． 2

2、一个物体的位移s关于时间t的运动方程为s=1－t+t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在t=3 s时的瞬时速度是(    )

A．5 m／s B．6 m／s C．7 m／s D．8 m／s

3、函数在点处的切线方程为（　　）

A． B．

C． D．

4、已知直线是的切线，则的值为（ ）

A.     B.     C.     D.

5、若函数的图像上存在不同两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相平行，则称具有“同质点”.关于函数：①；②；③；④.以上四个函数中具有“同质点”的函数是(   )

A．①④    B．②③    C．①②    D．③④

6、曲线与直线相切，则实数的值为（    ）

A．     B．     C．     D． 或

7、已知函数，则曲线在处的切线方程是（　　）

A．           B．          

C．           D．

8、若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（  ）

A．   B．

C．   D．

9、曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（      ）

A             B               C                  D 

10、过曲线图象上一点（2， 2）及邻近一点（2 ， 2 ）作割线，则当时割线的斜率为（ ）

A.     B.     C. 1    D.

11、已知函数f（x）＝logax（0<a<1）的导函数为f ′（x），M＝f ′（a），N＝f（a＋1）－f（a），P＝f ′（a＋1），Q＝f（a＋2）－f（a＋1），则M、N、P、Q中最大的数是（   ）

A．M        B．N

C．P        D．Q

12、曲线y=x2+x+在（0，）处的切线方程是

A. y=-x+    B. y=x+    C. y=-2x+    D. y=2x+

二、填空题

13、点P在曲线上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是                 

14、函数f(x)=sinx+cosx在点(0，f(0))处的切线方程为________

15、若对于曲线上的任意一点处的切线总存在曲线y=ax+cosx上的一点处的切线使则实数a的取值范围是___.(其中e为自然对数的底数)

16、函数的图象在点处的切线的倾斜角为________．

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知过点(1，1)的直线l与曲线y=x3相切，求直线l的方程．

18、（本小题满分12分）设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1，求y＝f(x)的表达式．

19、（本小题满分12分）求函数y＝在x0(x0>－1)处的导数．

20、（本小题满分12分）求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．

参考答案

1、答案A

详解： 为可导函数，且满足，

在点处的切线斜率为.

故选：A.

点睛：本题考查曲线在某处切线斜率的意义，运用导数的概念判断在点处的切线斜率为是解题的关键.
 

2、答案A

解析由位移关于时间的运动方程为，则，代入，即可求解．

详解

由题意，位移关于时间的运动方程为，则，

当时，，故选A．

点睛

本题主要考查了瞬时变化率的计算，其中解答中熟记瞬时变化率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

3、答案B

解析首先求出函数在点处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．．

详解

∵，

∴切线斜率，

又∵，∴切点为，

∴切线方程为，

即．

故选B．

点睛

本题考查导数的几何意义，属于基础题.

4、答案A

解析 ,设切点为,则切线方程为,代入,解得,所以.

考点：导数与切线方程.

5、答案A

解析由题意得，具有“同质点”也就是存在两个不同的点使得，分别求出导函数即可得出结果.

详解

设函数的图像上存在不同两点且，由题意具有“同质点”，则

，，具有“同质点”，

，不存在，不具有“同质点”，

，不存在 ，不具有“同质点”，

，具有“同质点”

故选：A.

点睛

本题考查了函数切线的斜率问题，应注意是不同的点，属于基础题.

6、答案B

解析先求曲线f（x）与直线的切点坐标，根据切点坐标也在直线上，求出a的值.

详解

由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1，

已知f（x）=xlnx与y=x+a相切，设切点为（x0，y0），则lnx0+1=1，解得x0=1，

则y0=f（x0）=0

即切点坐标（1,0），则0=1+a，解得a=-1 ,故选B.

点睛

已知切线方程（或斜率），求参数值的关键是，列出函数的导数等于切线斜率的方程。已知切线（或斜率），求切点的一般思路是，先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，进而求出切点的纵坐标。

7、答案D

解析因,令可得,故，又因,所以切点为,切线的斜率,故切线方程为,即,应选D．

考点：导数的几何意义及运用．

8、答案A

解析直线的斜率为，所以切线斜率为4 ，所以切点为，直线方程为

考点：导数的几何意义与直线方程

9、答案A

解析

10、答案B

解析 ．故选B．

考点：导数的定义．

11、答案D

解析由导数的几何意义及两点连线的斜率知道，表示函数在点处的切线斜率，表示函数在点处的切线斜率，表示直线的斜率；表示直线的斜率，其中，由的图象知，斜率最大的是，所以最大，故选D．

考点：1、导数的几何意义；2、直线的斜率．

思路点晴本题主要考查的是对数函数的图象和导数的几何意义及两点连线的斜率公式，属于中档题．本题通过对四个值的几何意义的分析，有两个是过图象上两点的切线的斜率，有两个是过图象上两点之间割线的斜率，根据图象结合直线倾斜角可以看出的值最大，本题对数形结合的方法要求较高．

12、答案B

解析 因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，

即，故选B．

13、答案

解析

14、答案  

解析

15、答案

解析求出函数导数从而计算直线斜率，根据确定等式关系，再经过分析即可得到答案.

详解：由题可知，，

设曲线 上任意一点处切线斜率为，

则，

同理可得曲线上任意一点处切线斜率为，

，

又，

，

，即

解得，

所以实数a的取值范围为

故答案为：

点睛

本题考查函数某点的导数就是该点切线的斜率、集合间的包含关系等，难度一般.

16、答案

解析

17、答案设过(1，1)的直线与y=x3相切于点，

所以切线方程为

即，又(1，1)在切线上，则x0=1或，

当x0=1时，直线l的方程为y=3x-2，

当时，直线l的方程为，

∴直线l的方程为y=3x-2或.

解析

18、答案

详解

由可设(为常数)

又方程有两个相等的实根，即有两个相等的实根，

,.

的表达式为.

点睛

由导函数写出原函数是解题关键，涉及一元二次方程根的情况常常用判别式及根的分布求解.

解析

令f(x)＝，则f′(x0)＝

然后，运算即可

详解

令f(x)＝，则f′(x0)＝

＝＝

＝＝.

点睛

本题主要考察导数的定义和极限的运算，本题的难点在于，要化成可以求极限的形态，所以，本题对分式做了处理，属于中等题

解析

20、答案先求曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的斜率，

k＝y′(1)＝ 

＝  (3Δx＋2)＝2.

设过点P(－1,2)且斜率为2的直线为l，则由点斜式：

y－2＝2(x＋1)，化为一般式：2x－y＋4＝0.

所以，所求直线方程为2x－y＋4＝0.

解析