2022届新教材北师大版导数及其运用单元测试含答案13

2022届新教材北师大版  导数及其运用    单元测试

一、选择题

1、
函数在其极值点处的切线方程为（    ）

A．     B．     C．     D．

2、函数在上的平均变化率是(    )

A．2 B． C． D．

3、曲线在点处切线的斜率为（    ）

A. 12    B. 3    C. 4    D. 11

4、已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值是（   ）

A． -1    B． 1    C．     D．

5、已知曲线在点处切线的斜率为8，（ ）

A．    B．    C．    D．

6、曲线在点处的切线方程为（     ）

A． B．

C． D．

7、设函数f(x)在x＝x0处的导数不存在，则曲线y＝f(x)(　　)．

A．在点(x0，f(x0))处的切线不存在

B．在点(x0，f(x0))处的切线可能存在

C．在点x0处不连续

D．在x＝x0处极限不存在

8、设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是

A.     B.     C.     D.

9、点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）

A． B． C． D．

10、曲线y=在点（1，-）处切线的倾斜角为（   ）

A．1           B．           C．             D．－

11、已知函数的导函数为，且，则（   ）

A． -1    B．     C．     D． 1

12、已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（  ）

A．e    B．﹣e    C．    D．﹣

二、填空题

13、函数的图象在处的切线的斜率为__________．

14、已知函数，若曲线在点处的切线过原点，则实数 的值为    ．

15、

已知f′(x0)＝k，则＝__________.

16、曲线在点处切线的斜率为_________________.

三、解答题

17、（本小题满分10分）求证：曲线xy＝1上的任何一点P(x0，y0)(x0＞0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数．

18、（本小题满分12分）试比较正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的平均变化率哪一个大？

19、（本小题满分12分）求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程.

20、（本小题满分12分）求曲线在点（1,1）处的切线方程.

参考答案

1、答案D

解析

分析

求出极值点，再结合导数的几何意义，利用点斜式即可求出切线方程.

详解

因为函数，

所以，

令，可得函数的极值点为，斜率为，

由得，

因此函数在其极值点处的切线方程为，故选D.

点睛

求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
 

2、答案C

解析根据平均变化率的计算公式列式，计算出所求的结果.

详解

依题意，所求平均变化率为，故选C.

点睛

本小题主要考查平均变化率的计算，考查运算求解能力，属于基础题.

3、答案B

解析由题意可得： ，

则所求切线的斜率，

本题选择B选项.

4、答案C

解析由y=x3知y'=3x2，故切线斜率k=y'|x=1=3.

又切线与直线ax+y+1=0垂直，故－3a=－1，得a=.选C.

点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.

5、答案D

解析y′=4x3+2ax

由题意知y′|x=-1=-4-2a=8,

∴a=-6.故选D.

6、答案A

详解：曲线在点处的导数值为,故切线方程为.

故答案为：A.

点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.

7、答案B

解析函数f(x)在x＝x0处的导数不存在，只能说明过点(x0，f(x0))的直线斜率不存在，

此时直线与x轴垂直，所以在点(x0，f(x0))处的切线可能存在．

8、答案B

解析，

，

故答案选B．

9、答案D

解析先由导数的几何意义，求出切线的斜率的范围，再求出倾斜角的范围即可.

详解：解：由，

则，

则，

又，

所以，

故选：D.

点睛

本题考查了导数的几何意义，重点考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题.

10、答案B

解析则故选B．

考点：1、导数的几何意义；2、函数的求导．

11、答案C

解析，

据此有

本题选择C选项.

12、答案C

解析欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

解：∵y=lnx，∴y'=，

设切点为（m，lnm），得切线的斜率为 ，

所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）．

它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，

∴k=．

故选C．

考点：导数的几何意义．

13、答案

详解：，

所以，函数的图象在处的切线的斜率为.

故答案为.

点睛：本题考查了导数的几何意义，在函数图象上某点处切线的斜率为该点处的导数值是解题关键.

14、答案

解析因为，因此

考点：导数几何意义

15、答案－2k

解析

分析

与无异

＝－2＝－2k.

详解

∵f′(x0)＝k，

∴原式＝－2＝－2k.

答案：－2k

点睛

本题主要考察导数的定义和极限的运算的化简，难点在于要把极限化成与导数定义匹配的形态，需要对分式进行合理变形.属于中等题.

16、答案2

解析.

当时，斜率为.

答案为：2.

详解

由xy＝1，得y＝.

所以y′＝′＝－.

所以k＝f′(x0)＝－.

过点P(x0，y0)的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．

令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x0.

所以过点P(x0，y0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积S＝××2x0＝2，是一个常数．

点睛

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

解析

详解

当自变量x从0变到Δx时，函数的平均变化率k1＝，

当自变量x从变到＋Δx时，函数的平均变化率k2＝.

由于是在x＝0和x＝的附近求平均变化率，可知Δx较小，但Δx既可为正，又可为负．

当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，此时有k1＞k2；

当Δx＜0时，k1－k2＝.

∵Δx＜0，∴Δx－＜－.∴－1≤sin＜－.

从而有－≤sin＜－1，即sin＋1＜0，∴k1－k2＞0，即k1＞k2.

综上可知，正弦函数y＝sinx在x＝0附近的平均变化率大于x＝附近的平均变化率．

点睛

本题考查平均变化率，考查识别与应用基本概念解决问题的能力.

解析

19、答案

详解：设切点为，函数的导函数为

切线的斜率，得，

代入到

得，即，

因此所求切线方程是：，

即.

点睛

本题考查导数的几何意义，属基础题.

解析

20、答案

解析由原函数求得其导函数，利用导数的几何意义可求得切线的斜率，进而由点斜式方程得到切线方程

试题解析：

曲线在点（1，1）处的切线的斜率

切线的方程为即.

考点：导数的几何意义及直线方程