2022届新教材北师大版导数及其运用单元测试含答案17

2022届新教材北师大版  导数及 其运用      单元测试

一、选择题

1、
—个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在5秒末的瞬时速度是（   ）

A． 6米秒    B． 7米秒    C． 8米秒    D． 9米秒

2、如果函数在区间上的平均变化率为,则（  ）

A． B． C． D．

3、直线与曲线相切于点，则的值为（   ）

A．1 B．－1 C．2 D．－2

4、已知直线是的切线，则的值为（    ）

（A）         （B）         （C）         （D）

5、若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小值为（   ）．

A．          B．      C．      D．

6、函数在处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是（   ）

A． B． C． D．

7、设在处可导，且,则＝ (   )

A．1            B．0         C．3        D．

8、曲线（其中e＝2.71828是自然对数的底数）在点处的切线的斜率为 （    ）

（A）2     （B）3    （C）      （D）

9、若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 （）

A．64            B．32               C．16            D．8

10、已知点在函数的图象上，则过点的曲线的切线方程是(　　)

A． B．

C．或 D．或

11、设是可导函数，当时，则=（    ）

A. 2    B.     C. -2    D.

12、曲线在点处的切线方程是（ ）

A.     B.     C.     D.

二、填空题

13、若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_________．

14、已知函数在点处的切线方程为，则函数在点处的切线方程为________．

15、过点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为______．

16、

已知三角形ABC的顶点分别是A（2，2），B（3，），C（4，4），若函数的图象始终与三角形ABC围成的区域（包括边界）有公共点，则实数a的取值范围是____.

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知函数y=xlnx

(1)求这个函数的导数；

(2)求这个函数的图象在x=1点处的切线方程

18、（本小题满分12分）求曲线在点（1,1）处的切线方程.

19、（本小题满分12分）已知函数,其中,

(1)若m = – 2,求在(2,–3)处的切线方程;

(2)当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3 m,求m的取值范围.

20、（本小题满分12分）某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝120＋，总成本的单位是元．

(1)当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？

(2)求c′(200)，并解释它代表什么实际意义．

参考答案

1、答案D

详解：∵物体的运动方程为s=1﹣t+t2

s′=﹣1+2t

s′|t=5=9.

故答案为：D.

点睛：求物体的瞬时速度，只要对位移求导数即可．
 

2、答案C

解析根据平均变化率的定义，可知

故选

3、答案C

解析先由直线与曲线相切于点，求出；再对求导，根据题意列出方程组，即可求出的值，得出结果.

详解

直线与曲线相切于点，

所以，解得；

又由得，

由题意可得，解得，

所以.

故选C

点睛

本题主要考查已知曲线在某点处的切线求参数的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.

4、答案A

解析由题可知，由导数的几何意义知，，设切点为，于是曲线在点处的切线方程为，它过原点，故有，所以，即；

考点：导数的几何意义

5、答案B

解析由题，求导为：，曲线点P到直线距离的最小值

为曲线上与直线平行的切线处的切点，则：，

切点坐标 （1, 1），再运用点到直线的距离可求：

考点：导数的几何意义与点到直线的距离.

6、答案D

解析计算函数在处的切线斜率，根据斜率计算离心率.

详解

切线与一条渐近线平行

故答案选D

点睛

本题考查了切线方程，渐近线，离心率，属于常考题型.

7、答案D

解析

考点：导数的定义

8、答案A

解析，故选A

考点：导数的几何意义

9、答案A

解析本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得.故选A.

10、答案D

解析由于点A(1,2)在函数f(x)=ax3的图象上，

则a=2,即y=2x3，

y′=6x2，

设切点为(m,2m3),则切线的斜率为k=6m2，

由点斜式得：y-2m3=6m2(x- m).

代入点A（l，2）得,2-2m3=6m2(1-m).

即有，.

解得或，即斜率为6或

则过点A的曲线C:y=f(x)的切线方程是：

y？2=6(x？1)或y？2=(x？1)，

即6x？y？4=0或3x？2y+1=0.

故选D.

点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

11、答案C

详解：当h→0时，，

可得

则﹣2，

故选：C．

点睛：本题考查了导数的定义，属于基础题.

12、答案D

解析根据题意，由于函数可知其导数为，那么可知在x=-1时的导数值为1，由点斜式方程可知结论为，选D.

考点导数几何意义

13、答案1

解析设出函数的切点，对函数求导，求出曲线的切线方程，同理求出曲线的切线方程，根据题意这两条切线方程与直线重合进行求解即可.

详解：曲线的切点坐标为：，因此有

，所以过该切点的切线方程为：

，

曲线的切点坐标为：，因此有

，所以过该切点的切线方程为：

，由题意可知：

.

故答案为：1

点睛

本题考查了两条曲线公切线问题，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能力.

14、答案

解析函数在点（2，f（2））处的切线方程为 ，，，所以切线为

考点：函数导数的几何意义及求切线方程

15、答案

解析求导函数，确定切线的斜率，可得所求直线的斜率，再利用点斜式可得直线方程．

详解

，

，

当时，，即曲线在点处的切线斜率为，

与曲线在点处的切线垂直的直线的斜率为2，

直线过点，

所求直线方程为，即．

故答案为：．

点睛

本题考查导数的几何意义，考查直线方程，解题的关键是理解导数的几何意义．

16、答案

解析

分析

分别讨论和，由的单调性和取值范围，以及三角形区域，用导数的方法即可求出结果.

详解

①当时，若，则，所以函数的图象与三角形ABC围成的区域（包括边界）一定没有公共点；②当时，由题意得，线段AC的方程为，设函数的图象与直线相切于点，

则，消去得，，

代入得，，

两边同时取自然对数得，，所以，

所以，所以，

进一步得，满足，

函数的图象与线段AC:相切时，

a取得最大值.

当函数的图象过点时，，

所以，当函数的图象过点时，

实数a取得最小值，

所以实数a的取值范围是

点睛

本题主要考查导数在函数中的应用，属于中档试题.

17、答案(1)

(2)

f(1)=0切点为(1,0)

切线方程为:y-0=x-1

即:x-y-1=0

解析

18、答案

解析由原函数求得其导函数，利用导数的几何意义可求得切线的斜率，进而由点斜式方程得到切线方程

试题解析：

曲线在点（1，1）处的切线的斜率

切线的方程为即.

考点：导数的几何意义及直线方程

19、答案(1)易知又过(2,-3),.

(2) 由已知得,即

又所以

即①

设,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,

所以解之得

又,所以,即的取值范围为.

解析

20、答案（1）见解析；（2）见解析.

（2）由导数的意义为瞬时变化率可知c′(200)表示当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加的成本.

详解

(1)当x从200变到220时，总成本c从c(200)＝540元变到c(220)＝626元．

此时总成本c关于产量x的平均变化率为＝＝4.3(元/件)，

它表示产量从x＝200件到x＝220件变化时平均每件的总成本．

(2)首先求c′(x)，根据导数公式和求导法则可得

c′(x)＝＋，于是c′(200)＝＋4＝4.1(元/件)．

它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本．

点睛

本题主要考查了平均变化率和瞬时变化率的运算，属于基础题.

解析