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2022年高考三轮复习之大题规范练3
展开这是一份2022年高考三轮复习之大题规范练3,共6页。试卷主要包含了已知椭圆C,已知函数f=ex-1,x∈R.等内容,欢迎下载使用。
大题规范练3
1.在①3c2=16S+3(b2-a2),②5bcos C+4c=5a,这两个条件中任选一个,补充在下面横线上,然后解答问题.
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知________.
(1)求tan B的值;
(2)若S=42,a=10,求b的值.
(注:如果选择两个条件分别解答,那么按第一个解答计分)
解 选择条件①:(1)由题意得8acsin B=3(a2+c2-b2),即4sin B=3·,整理可得3cos B-4sin B=0.
又sin B>0,所以cos B>0,所以tan B==.
(2)由tan B=,得sin B=.
又S=42,a=10,
所以S=acsin B=×10c×=42,解得c=14.
将S=42,a=10,c=14代入3c2=16S+3(b2-a2),
得3×142=16×42+3(b2-102),解得b=6.
选择条件②:(1)已知5bcos C+4c=5a,
由正弦定理,得5sin Bcos C+4sin C=5sin A,
即5sin Bcos C+4sin C=5sin(B+C),
即sin C(4-5cos B)=0.
在△ABC中,因为sin C≠0,所以cos B=.
所以sin B==,所以tan B=.
(2)由S=acsin B=×10c×=42,解得c=14.
又a=10,所以b2=100+196-2×10×14×=72,
所以b=6.
2.(2020·宁德质检)已知等差数列{an}中,a1=1且a1,a2,a7-4成等比数列,数列{bn }的前n项和为Sn,满足3bn-2Sn=1.
(1)求数列{an},{bn }的通项公式;
(2)将数列{an},{bn }的公共项ak1,ak2,…,akn按原来的顺序组成新的数列,试求数列{kn}的通项公式,并求该数列的前n项和Tn.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d,
因为a1,a2,a7-4成等比数列,
所以a1(a7-4)=a,
即a1(a1+6d-4)=(a1+d)2,1×(6d-3)=(1+d)2,
解得d=2.所以an=2n-1.
当n=1时,3b1-2S1=b1=1,
因为3bn-2Sn=1,得3bn-1-2Sn-1=1(n≥2),
所以(3bn-2Sn)-(3bn-1-2Sn-1)=0,
得bn=3bn-1(n≥2),
所以数列{bn }是首项为1,公比为3的等比数列,
所以bn=3n-1.
(2)依题意=bn,
由(1)得2kn-1=3n-1,kn==+,
所以Tn=(30+31+32+…+3n-1)+=+-.
3.某商家对他所经销的一种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近50天的统计结果如下表:
日销售量 | 1 | 1.5 | 2 |
天数 | 10 | 25 | 15 |
频率 | 0.2 | a | b |
若以上表中频率作为概率,且每天的销售量相互独立.
(1)求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率;
(2)已知每吨该商品的销售利润为2千元,X表示该种商品某两天销售利润的和(单位:千元),求X的分布列和均值.
解 (1)由统计表知,a==0.5,b==0.3.
依题意,随机选取一天,销售量为1.5吨的概率p=0.5,
设5天中该种商品有Y天的销售量为1.5吨,而Y~B(5,0.5),
所以P(Y=2)=C×0.52×(1-0.5)3=0.312 5.
(2)X的可能取值为4,5,6,7,8,
P(X=4)=0.22=0.04,
P(X=5)=2×0.2×0.5=0.2,
P(X=6)=0.52+2×0.2×0.3=0.37,
P(X=7)=2×0.3×0.5=0.3,
P(X=8)=0.32=0.09,
所以X的分布列为
X | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
P | 0.04 | 0.2 | 0.37 | 0.3 | 0.09 |
E(X)=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2(千元).
4.如图,四棱锥P-ABCD的底面为菱形,∠BAD=120°,AB=2.平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD,E,F分别是BC,PD的中点.
(1)求证:EF∥平面PAB;
(2)若直线PB与平面ABCD所成的角为45°,求直线DE与平面PBC所成角的正弦值.
(1)证明 如图,取PA中点M,连接BM,MF,
∵M,F分别是PA,PD的中点,
∴MF∥AD,且MF=AD,
在菱形ABCD中,E是BC的中点,
∴BE∥AD,且BE=AD,
∴MF∥BE,且MF=BE,
∴四边形MBEF是平行四边形,
∴EF∥BM,
∵EF⊄平面PAB,BM⊂平面PAB,
∴EF∥平面PAB.
(2)解 取CD的中点O,连接PO,AO,AC,BO,
∵PC=PD,∴PO⊥CD,
∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,PO⊂平面PCD,
∴PO⊥平面ABCD,则∠PBO是PB与平面ABCD所成角,即∠PBO=45°,
在△BCO中,BC=2,CO=1,∠BCO=120°,
∴BO2=4+1-2×1×2×cos 120°=7,∴BO=,
如图,以O为原点,OA所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,
则C(0,1,0),P(0,0,),D(0,-1,0),B(,2,0),E,
∴=(,1,0),=(0,-1,),=,
设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),
由
令x=-,得n=(-,,),
设DE与平面PBC所成角为α,
则sin α===,
∴直线DE与平面PBC所成角的正弦值为.
5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为4,离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A,B,点M,N为椭圆C上位于x轴上方的两点,且F1M∥F2N,直线F1M的斜率为2,记直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,求3k1+2k2的值.
解 (1)由题意,得2b=4,∴b=2,
又=,且a2-c2=b2=8,∴a=3,c=1.
∴椭圆C的标准方程为+=1.
(2)由(1),可知A(-3,0),B(3,0),F1(-1,0),
据题意,直线F1M的方程为y=2(x+1).
记直线F1M与椭圆的另一交点为M′,
设M(x1,y1)(y1>0),M′(x2,y2),
∵F1M∥F2N,根据对称性,得N(-x2,-y2).
联立消去y,得14x2+27x+9=0.
由题设知x1>x2,∴x1=-,x2=-,
又k1===,
k2===-,
∴3k1+2k2=3×+2×=0,
则3k1+2k2=0.
6.已知函数f(x)=(a-x)ex-1,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间及极值;
(2)设g(x)=(x-t)2+2,当a=1时,存在x1∈(-∞,+∞),x2∈(0,+∞),使方程f(x1)=g(x2)成立,求实数m的最小值.
解 (1)由f(x)=(a-x)ex-1,得f′(x)=(a-1-x)ex,
令f′(x)=0,则(a-1-x)ex=0,∴x=a-1,
当x∈(-∞,a-1)时,f′(x)>0;
当x∈(a-1,+∞)时,f′(x)<0,
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,a-1),单调递减区间为(a-1,+∞),
∴当x=a-1时,函数f(x)有极大值且为f(a-1)=ea-1-1,f(x)没有极小值.
(2)当a=1时,由(1)知,函数f(x)在x=a-1=0处有最大值f(0)=e0-1=0,
又∵g(x)=(x-t)2+2≥0,
∴若方程f(x1)=g(x2)有解,
必然存在x2∈(0,+∞),使g(x2)=0;
∴x=t,ln x=,
等价于方程ln x=有解,
即m=xln x在(0,+∞)上有解,
记h(x)=xln x,x∈(0,+∞),
∴h′(x)=ln x+1,令h′(x)=0,得x=,
当x∈时,h′(x)<0,h(x)单调递减,
当x∈时,h′(x)>0,h(x)单调递增,
∴当x=时,h(x)min=-,
∴实数m的最小值为-.
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