2022年高考三轮复习之模板规范练3　数　列

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跟踪训练
1. (2020·玉溪模拟)在等比数列{an}中，a1＝6，a2＝12－a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝66，求m.
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
∵a1＝6，a2＝12－a3.
∴6q＝12－6q2，解得q＝－2或q＝1，
∴an＝6×(－2)n－1或an＝6.
(2)①若an＝6×(－2)n－1，q＝－2，
则Sn＝eq \f(6×[1－－2n],3)＝2[1－(－2)n]，
由Sm＝66，
得2[1－(－2)m]＝66，解得m＝5.
②若an＝6，q＝1，则{an}是常数列，
∴Sm＝6m＝66，解得m＝11.
综上，m的值为5或11.
2．(2020·广州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3n2＋n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an＋1an＋2)))的前n项和为Tn，求证：Tn＜eq \f(1,15).
(1)解 当n＝1时，2S1＝2a1＝4，解得a1＝2；
当n≥2时，
∵2Sn＝3n2＋n,2Sn－1＝3(n－1)2＋(n－1)，
两式相减，得2an＝6n－2，解得an＝3n－1.
又当n＝1时，a1＝2也适合，
故an＝3n－1(n∈N*)．
(2)证明 依题意，得
eq \f(1,an＋1an＋2)＝eq \f(1,3n＋23n＋5)
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3n＋2)－\f(1,3n＋5)))，
∴Tn＝eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)－\f(1,8)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)－\f(1,11)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3n＋2)－\f(1,3n＋5)))))
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)－\f(1,3n＋5)))
＝eq \f(1,15)－eq \f(1,33n＋5)故Tn典例 (12分)(2020·全国Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.
(1)求{an}的公比；
(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和.
步骤要点
规范解答
阅卷细则
(1)根据等比数列中，a1为a2，a3的等差中项列式，求解公比q；
(2)利用错位相减法求和即可.
解 (1)设{an}的公比为q，
∵a1为a2，a3的等差中项，
∴2a1＝a2＋a3，a1≠0，∴q2＋q－2＝0，2分
∵q≠1，∴q＝－2.4分
(2)设{nan}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝(－2)n－1，5分
Sn＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，①
－2Sn＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n(－2)n，②
8分
①－②得，3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n(－2)n
＝eq \f(1－－2n,1－－2)－n(－2)n＝eq \f(1－1＋3n－2n,3)，11分
∴Sn＝eq \f(1－1＋3n－2n,9)，n∈N*.12分
(1)得分点之一：根据题设条件列式，得2分；
(2)得分点之二：解方程，求出公比q，得2分；
(3)得分点之三：正确利用错位相减法列式，得4分；
(4)得分点之四：正确化简，得3分.
(5)得分点之五：得出结论，得1分.