2022年高考三轮复习之模板规范练5　概率与统计

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跟踪训练
1．某校工会对全校教职工每天收看世界杯足球赛比赛的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：
(1)若将每天收看比赛时间不低于3小时的教职工定义为“足球达人”，否则定义为“非足球达人”，请根据频数分布表补全2×2列联表：
并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“足球达人”与性别有关；
(2)在全校“足球达人”中按性别进行分层抽样，抽取6名，再从这6名“足球达人”中选取2名作足球知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，求ξ的分布列与均值．
附表及公式：
K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)由题意得下表：
K2的观测值k＝eq \f(120×40×30－20×302,70×50×60×60)≈3.429>2.706.
所以有90%的把握认为该校教职工是否为“足球达人”与性别有关．
(2)由题意知抽取的6名“足球达人”中有4名男职工，2名女职工，所以ξ的可能取值为0,1,2.
且P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,6))＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(1,2),C\\al(2,6))＝eq \f(8,15)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,6))＝eq \f(1,15)，
所以ξ的分布列为
E(ξ)＝0×eq \f(2,5)＋1×eq \f(8,15)＋2×eq \f(1,15)＝eq \f(10,15)＝eq \f(2,3).
2．(2020·南宁模拟)红铃虫(Pectinphragssypiella)是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的8组观测数据，制成图1所示的散点图．
现用两种模型①y＝ebx＋a，②y＝cx2＋d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如表值：
表中zi＝ln yi；eq \x\t(z)＝eq \f(1,8)eq \i\su(i＝1,8,z)i；ti＝xeq \\al(2,i)；eq \x\t(t)＝eq \f(1,8)eq \i\su(i＝1,8,t)i.
(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
(2)根据(1)中所选择的模型，求出y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，并求温度为34 ℃时，产卵数y的预报值．
(参考数据：e5.18≈178，e5.46≈235，e5.52≈250，e5.83≈340)
附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回归直线eq \(v,\s\up6(^))＝eq \(α,\s\up6(^))＋eq \(β,\s\up6(^))ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq \(β,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )ωi－\x\t(ω)vi－\x\t(v),\i\su(i＝1,n, )ωi－\x\t(ω)2)，eq \(α,\s\up6(^))＝eq \x\t(v)－eq \(β,\s\up6(^))eq \x\t(ω).
解 (1)应该选择模型①.
由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，
∴模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适．
(2)令z＝ln y，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，
则eq \(z,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))x，eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,8, )zi－\x\t(z)xi－\x\t(x),\i\su(i＝1,8, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(48.48,168)≈0.289，
∴eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(z)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝2.89－0.289×25≈－4.34，
则z关于x的线性回归方程为eq \(z,\s\up6(^))＝0.29x－4.34.
于是有ln y＝0.29x－4.34，
∴产卵数y关于温度x的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝e0.29x－4.34.
当x＝34时，y＝e0.29×34－4.34＝e5.52≈250(个)．
∴当气温在34 ℃时，一只红铃虫的产卵数的预报值为250个．[命题分析] 高考中以相互独立事件、二项分布、超几何分布为背景考查随机变量的分布列、均值与方差，常与回归分析、统计、统计案例交汇考查，难度中等偏上.
典例 (12分)(2020·新高考全国Ⅱ)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：
SO2
PM2.5
[0,50]
(50,150]
(150,475]
[0,35]
32
18
4
(35,75]
6
8
12
(75,115]
3
7
10
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
SO2
PM2.5
[0,150]
(150,475]
[0,75]
(75,115]
(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？
附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
步骤要点
规范解答
阅卷细则
(1)根据表中数据，求概率；
(2)填写列联表；
(3)计算K2并下结论.
解 (1)由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32＋6＋18＋8＝64，
所以该市一天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为eq \f(64,100)＝0.64.4分
(2)由所给数据，可得2×2列联表：
SO2
PM2.5
[0,150]
(150,475]
[0,75]
64
16
(75,115]
10
10
7分
(3)根据2×2列联表中的数据可得
K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)
＝eq \f(100×64×10－16×102,80×20×74×26)
≈7.484>6.635，11分
故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.12分
(1)得分点之一：根据表中数据，正确求出概率，得4分；(只有答案，没有文字叙述，扣2分)
(2)得分点之二：正确填写列联表，得3分；
(3)得分点之三：正确计算K2，得4分；
(4)得分点之四：正确下结论，得1分.
收看时间(单位：小时)
[0,1)
[1,2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6]
收看人数
14
30
16
28
20
12
男
女
总计
足球达人
40
非足球达人
30
总计
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
男
女
总计
足球达人
40
20
60
非足球达人
30
30
60
总计
70
50
120
ξ
0
1
2
P
eq \f(2,5)
eq \f(8,15)
eq \f(1,15)
eq \x\t(x)
eq \x\t(z)
eq \x\t(t)
eq \i\su(i＝1,8, )(xi－eq \x\t(x))2
eq \i\su(i＝1,8, )(ti－eq \x\t(t))2
eq \i\su(i＝1,8, )(zi－eq \x\t(z))(xi－eq \x\t(x))
eq \i\su(i＝1,8, )(yi－eq \x\t(y))(ti－eq \x\t(t))
25
2.89
646
168
422 688
48.48
70 308