2022年高考三轮复习之回归基础练第4练　基本初等函数

这是一份2022年高考三轮复习之回归基础练第4练　基本初等函数，共8页。

考点一 二次函数与幂函数
要点重组
1．二次函数最值的类型及解法：
(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．
2．幂函数：
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域，根据α0,4a＋b＝0 B．a0,2a＋b＝0 D．af(1)，即c>a＋b＋c，所以a＋b0，且m≠1)，
当x＝b时，f(b)＝mb－b－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，
故f(x)的图象所经过的定点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b，\f(1,2)))，
所以g(b)＝eq \f(1,2)，即b2＝eq \f(1,2)，解得b＝±eq \f(\r(2),2)，故选B.
3.已知幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－eq \f(1,b)等于( )
A．0 B．1 C.eq \f(1,2) D．2
答案 A
解析 BM＝MN＝NA，点A(1,0)，B(0,1)，
所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(1,3)))，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，
得a＝，b＝，
所以a－eq \f(1,b)＝－
＝－＝0.
4．已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是( )
A．[－eq \r(2)，eq \r(2)] B．[1，eq \r(2)]
C．[2,3] D．[1,2]
答案 B
解析 由于f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t，
又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，∴t≥1.
则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，
要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，
只需1－(－t2＋1)≤2，解得－eq \r(2)≤t≤eq \r(2).
又t≥1，∴1≤t≤eq \r(2).
考点二 指数与对数的计算
要点重组
1．指数幂：
(1)正数的正分数指数幂：
＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．
(2)正数的负分数指数幂：
＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．
(3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．
(4)有理指数幂的运算性质：
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
2．对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：
①＝N；
②lgaab＝b(a>0，且a≠1)．
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
(3)换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b均大于零且不等于1，N>0)．
5．(2020·全国Ⅰ)设alg34＝2，则4－a等于( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,9) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,6)
答案 B
解析 方法一 因为alg34＝2，
所以lg34a＝2，
所以4a＝32＝9，
所以4－a＝eq \f(1,4a)＝eq \f(1,9).
方法二 因为alg34＝2，
所以a＝eq \f(2,lg34)＝2lg43＝lg432＝lg49，
所以4－a＝＝＝9－1＝eq \f(1,9).
6．(2020·重庆质检)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x，x≤0，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x>0，))则f(f(lg23))等于( )
A．－9 B．－1 C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(1,27)
答案 B
解析 由函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x，x≤0，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x>0，))
以及lg23>1，
得f(lg23)＝＝＝－eq \f(1,3)，
所以f(f(lg23))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝－1，
故选B.
7．(多选)若10a＝4,10b＝25，则下列结论正确的是( )
A．a＋b＝2 B．b－a＝1
C．ab>8lg22 D．b－a>lg 6
答案 ACD
解析 由10a＝4,10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，
则a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，b－a＝lg 25－lg 4＝lg eq \f(25,4)，
∵lg 10＝1>lg eq \f(25,4)>lg 6，∴b－a>lg 6，
∴ab＝4lg 2lg 5>4lg 2lg 4＝8lg22，故选ACD.
8．(2020·云南曲靖一中月考)lg 2－lg eq \f(1,5)－eln 2－＋eq \r(－22)的值为________．
答案 －1
解析 原式＝lg 2＋lg 5－2－＋2
＝lg(2×5)－2－2＋2＝1－2＝－1.
考点三 指数函数与对数函数
要点重组
1．对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0a>c，故选D.
5．已知函数f(x)是奇函数，g(x)＝f(x)＋eq \f(2,1＋2x)，x∈(－1,1)，则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))的值为________．
答案 2
解析 因为geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋＋，
又f(x)为奇函数，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0，
所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(2,1＋\r(2))＋eq \f(2\r(2),1＋\r(2))＝2.
6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(lg4x))，04，))若a