2022年高考三轮复习之回归基础练第12练　三角恒等变换

这是一份2022年高考三轮复习之回归基础练第12练　三角恒等变换，共10页。

考点一 三角函数式的化简与求值
要点重组
1．用已知角表示未知角：
2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)；
α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；
α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)；
eq \f(α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))等．
2．互余与互补的关系：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(π,2)；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(π,2)；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝π；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－α))＝π等．
3．辅助角公式：
asin θ＋bcs θ＝eq \r(a2＋b2)sin(θ＋φ)，
其中cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)) .
1．(2020·全国Ⅲ)已知2tan θ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝7，则tan θ等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 D
解析 由2tan θ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2tan θ－eq \f(1＋tan θ,1－tan θ)＝7，
解得tan θ＝2.
2．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α等于( )
A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(5),9)
答案 A
解析 由3cs 2α－8cs α＝5，
得3(2cs2α－1)－8cs α＝5，
即3cs2α－4cs α－4＝0，
解得cs α＝－eq \f(2,3)或cs α＝2(舍去)．
又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))2)＝eq \f(\r(5),3).
3．(2020·山东菏泽一中月考)sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sin2α等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 C
解析 原式＝eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3))),2)－sin2α
＝1－eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))))－sin2α
＝1－cs 2αcs eq \f(π,3)－sin2α
＝1－eq \f(cs 2α,2)－eq \f(1－cs 2α,2)＝eq \f(1,2).
4．若eq \f(\r(2)cs 2θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ)))＝eq \r(3)sin 2θ，则sin 2θ等于( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(2,3) C.eq \f(2,3) D．－eq \f(1,3)
答案 B
解析 由题意知，eq \f(\r(2)cs 2θ,\f(\r(2),2)cs θ－\f(\r(2),2)sin θ)＝eq \r(3)sin 2θ，
即2cs θ＋2sin θ＝eq \r(3)sin 2θ，
两边平方得，4＋4sin 2θ＝3sin22θ，
即(3sin 2θ＋2)(sin 2θ－2)＝0，
所以sin 2θ＝－eq \f(2,3)或sin 2θ＝2(舍)．
考点二 三角函数的给值求角(值)
要点重组
1．研究三角函数的求值问题，解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．
2．解决给值求角问题的技巧：
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正弦、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且
①若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，选正弦、余弦函数皆可；
②若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；
③若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦函数较好．
5．(2020·广东省际名校联考)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(4,5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))等于( )
A.eq \f(23,25) B．－eq \f(23,25) C.eq \f(7,25) D．－eq \f(7,25)
答案 D
解析 ∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(4,5)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(4,5)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(7,25).
6．平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在单位圆O上，设∠xOP＝α，若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，则x0的值为( )
A.eq \f(3－4\r(3),10) B.eq \f(3＋4\r(3),10)
C.eq \f(4\r(3)－3,10) D.eq \f(－4\r(3)－3,10)
答案 A
解析 若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，
则eq \f(π,2)