2022年高考三轮复习之回归基础练第13练　解三角形及其应用

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考点一 三角形中基本量的求解
要点重组
利用正弦、余弦定理求解三角形中的基本量时应注意的问题
(1)已知两边及其中一边的对角求其余边或角时，要注意解的多样性与合理性；
(2)三角形的面积主要是利用S＝eq \f(1,2)absin C求解；
(3)有时可以直接利用余弦定理求出ab的整体再求面积，而不必分别求出a，b的值．
1．(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cs C＝eq \f(2,3)，AC＝4，BC＝3，则cs B等于( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 A
解析 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs C＝42＋32－2×4×3×eq \f(2,3)＝9，
所以AB＝3，
所以cs B＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq \f(9＋9－16,2×3×3)＝eq \f(1,9).
2．(2020·湖南四校调研联考)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(sin A,sin B＋sin C)＋eq \f(b,a＋c)＝1，则C等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 B
解析 由正弦定理可得
eq \f(sin A,sin B＋sin C)＋eq \f(b,a＋c)＝eq \f(a,b＋c)＋eq \f(b,a＋c)＝1，
整理可得a2＋b2－c2＝ab.
所以由余弦定理的推论可得
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(ab,2ab)＝eq \f(1,2)，
又由C∈(0，π)，可得C＝eq \f(π,3).
3．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝2，S△ABC＝2eq \r(3)，且ccs B＋bcs C－2acs A＝0，则有( )
A．A＝eq \f(π,3) B．C＝eq \f(π,2)
C．a＝eq \r(3) D．c＝2
答案 AB
解析 由正弦定理知，ccs B＋bcs C－2acs A＝0可化为sin Ccs B＋sin Bcs C－2sin Acs A＝0，即sin(B＋C)－2sin Acs A＝0，因为sin(B＋C)＝sin A，且sin A>0，所以cs A＝eq \f(1,2)，又00，
∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acs A＝bcs B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错误；
由bcs C＋ccs B＝b及正弦定理，
可知sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin B，
∴sin A＝sin B，
∴A＝B，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，
∴选项D正确．
4．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若AC＝2，BC＝1，且CD＝eq \f(2\r(3),3)，则AB＝________，△ABC的面积为________．
答案 eq \r(3) eq \f(\r(3),2)
解析 根据角平分线定理得
eq \f(AC,BC)＝eq \f(AD,BD)＝2，
所以设AD＝2x，BD＝x，
所以由余弦定理得
cs∠ACD＝eq \f(AC2＋CD2－AD2,2·AC·CD)
＝eq \f(4＋\f(4,3)－4x2,2×2×\f(2\r(3),3))，
cs∠BCD＝eq \f(BC2＋CD2－BD2,2·BC·CD)＝eq \f(1＋\f(4,3)－x2,2×1×\f(2\r(3),3))，
因为CD平分∠ACB，
所以∠ACD＝∠BCD，
所以eq \f(4＋\f(4,3)－4x2,2×2×\f(2\r(3),3))＝eq \f(1＋\f(4,3)－x2,2×1×\f(2\r(3),3))，
解得x＝eq \f(\r(3),3)，
所以AB＝eq \r(3)，
在△ABC中，
cs∠ACB＝eq \f(AC2＋BC2－AB2,2·AC·BC)＝eq \f(4＋1－3,2×2×1)＝eq \f(1,2)，
因为∠ACB∈(0，π)，
所以sin∠ACB＝eq \f(\r(3),2)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)×2×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2).
5．(2020·德州期末)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：
①eq \f(b－a,c)＝eq \f(2\r(6)a＋3c,3a＋b)；②cs 2A＋2cs2eq \f(A,2)＝1；③a＝eq \r(6)；④b＝2eq \r(2).
(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？
(2)在(1)所有组合中任选一组，并求对应△ABC的面积．
(若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分)
解 (1)由①eq \f(b－a,c)＝eq \f(2\r(6)a＋3c,3a＋b)得，
3(a2＋c2－b2)＝－2eq \r(6)ac，
所以cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq \f(\r(6),3)，
由②cs 2A＋2cs2 eq \f(A,2)＝1得，
2cs2A＋cs A－1＝0，
解得cs A＝eq \f(1,2)或cs A＝－1(舍)，
所以A＝eq \f(π,3)，
因为cs B＝－eq \f(\r(6),3)eq \f(2π,3)，所以A＋B>π，矛盾．
所以△ABC不能同时满足①，②.
故△ABC满足①，③，④或②，③，④.
(2)若△ABC满足①，③，④，
因为b2＝a2＋c2－2accs B，
所以8＝6＋c2＋2×eq \r(6)×c×eq \f(\r(6),3)，
即c2＋4c－2＝0.
解得c＝eq \r(6)－2(舍负)．
因为cs B＝－eq \f(\r(6),3)，B∈(0，π)，
所以sin B＝eq \f(\r(3),3)，
所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \r(3)－eq \r(2).
若△ABC满足②，③，④，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
得eq \f(\r(6),\f(\r(3),2))＝eq \f(2\r(2),sin B)，解得sin B＝1，即B＝eq \f(π,2)，
所以c＝eq \r(2)，
所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \r(3).
6．(2020·潍坊模拟)如图，在平面四边形ABCD中，△ABD中边BD所对的角为A，△BCD中边BD所对的角为C，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2eq \r(3).
(1)试问eq \r(3)cs A－cs C是否是定值，若是定值，请求出；若不是，请说明理由；
(2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2，求出Seq \\al(2,1)＋Seq \\al(2,2)的最大值．
解 (1)在△ABD中，由余弦定理得
BD2＝4＋12－8eq \r(3)cs A＝16－8eq \r(3)cs A,
在△BCD中，
由余弦定理得BD2＝4＋4－8cs C＝8－8cs C，
16－8eq \r(3)cs A＝8－8cs C，
则8(eq \r(3)cs A－cs C)＝8，
所以eq \r(3)cs A－cs C＝1，
所以eq \r(3)cs A－cs C为定值1.
(2)S1＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)sin A＝2eq \r(3)sin A，
S2＝eq \f(1,2)×2×2sin C＝2sin C，
则Seq \\al(2,1)＋Seq \\al(2,2)＝12sin2A＋4sin2C
＝16－(12cs2A＋4cs2C)，
由(1)知，eq \r(3)cs A－1＝cs C，代入上式得
Seq \\al(2,1)＋Seq \\al(2,2)＝16－12cs2A－4(eq \r(3)cs A－1)2
＝－24cs2A＋8eq \r(3)cs A＋12
＝－24eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs A－\f(\r(3),6)))2＋14，
所以当cs A＝eq \f(\r(3),6)时，Seq \\al(2,1)＋Seq \\al(2,2)取得最大值14.