2022年高考三轮复习之回归基础练第26练　椭圆、双曲线、抛物线

这是一份2022年高考三轮复习之回归基础练第26练　椭圆、双曲线、抛物线，共10页。

第26练　椭圆、双曲线、抛物线
[考情分析]　1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等偏上.2.离心率问题、双曲线的渐近线问题常出现在选择题、填空题中，求解圆锥曲线的标准方程，直线与椭圆、抛物线的位置关系是高考解答题的常考内容．

考点一　圆锥曲线的定义
要点重组　
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M.
2．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．
3．凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离．
1．(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于(　　)
A．2 B．3 C．6 D．9
答案　C
解析　设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12.
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
所以9＋＝12，解得p＝6.
2．(2020·全国Ⅲ)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a等于(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
答案　A
解析　由题意得解得
∴|F1F2|＝2c＝2a.
∵△PF1F2中，F1P⊥F2P，
∴|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2＝4c2＝20a2.
不妨设P在C的右支上，则|F1P|－|F2P|＝2a.
∵△PF1F2的面积为4，
∴|F1P||F2P|＝4，
即|F1P||F2P|＝8.
∴(|F1P|－|F2P|)2＝|F1P|2＋|F2P|2－2|F1P||F2P|
即4a2＝20a2－2×8，解得a＝1.
3．(2020·广东四校联考)P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线．P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为(　　)
A．1 B．2＋
C．4＋ D．2＋1
答案　D
解析　设双曲线的右焦点为F2，连接PF2，因为|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝2＋|PF2|，|PF1|＋|PQ|＝2＋|PF2|＋|PQ|，当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值为点F2到直线l的距离．由题意可得直线l的方程为y＝±x，焦点F2(，0)，点F2到直线l的距离d＝1，故|PQ|＋|PF1|的最小值为2＋1，选D.
4．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.

考点二　圆锥曲线的标准方程
要点重组　
1．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”
(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．
(2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，双曲线方程常设为mx2－ny2＝1(mn>0)．
2．椭圆和双曲线的定义主要应用于两个方面：一是利用定义求它们的标准方程；二是利用定义求弦长、离心率及焦点三角形的周长、面积(或最值)等．
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　由题意知2a＝6,2c＝×6，所以a＝3，c＝1，则b＝＝2，
所以此椭圆的标准方程为＋＝1.
6．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝2x，且一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点相同，则此双曲线的方程为(　　)
A.x2－5y2＝1 B．5y2－x2＝1
C．5x2－y2＝1 D.y2－5x2＝1
答案　C
解析　因为抛物线的焦点为(1,0)，
所以解得
所以双曲线方程为5x2－＝1.
7．(2020·武汉模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1，消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，故选D.
8．(2020·武汉调研)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AA′⊥l，垂足为A′，若四边形AA′PF的面积为14，且cos∠FAA′＝，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
答案　C
解析　作出图形如图所示，过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′.

设|AF′|＝3x，
因为cos∠FAA′＝，
故|AF|＝5x，|FF′|＝4x.
由抛物线定义知
|AF|＝|AA′|＝5x，
则|A′F′|＝2x＝p，
故x＝.
因此四边形AA′PF的面积为
S＝(|PF|＋|AA′|)·|PA′|＝p＝14.
因为p>0，所以p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x.
考点三　圆锥曲线的简单几何性质
要点重组　
1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率(或离心率的范围)，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系(或不等关系)，然后把b用含a，c的式子代换，求的值(或范围)．
2．双曲线的渐近线方程的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为0，分解图式可得．
(2)用法：①可得或的值；
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
9．(2020·全国Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　)
A. B. C．(1,0) D．(2,0)
答案　B
解析　方法一　∵抛物线C关于x轴对称，
∴D，E两点关于x轴对称．
可得出直线x＝2与抛物线的两交点的坐标分别为(2,2)，(2，－2)．
不妨设D(2,2)，E(2，－2)，
则＝(2,2)，＝(2，－2)．
又∵OD⊥OE，
∴·＝4－4p＝0，解得p＝1，
∴C的焦点坐标为.
方法二　∵抛物线C关于x轴对称，
∴D，E两点关于x轴对称．
∵OD⊥OE，∴D，E两点横、纵坐标的绝对值均相等．
不妨设点D(2,2)，将点D的坐标代入C：y2＝2px，
得4＝4p，解得p＝1，故C的焦点坐标为.
10．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为抛物线C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90˚，且△ABF的面积为9，则(　　)
A．|BF|＝3
B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
答案　BCD
解析　根据题意画图，如图．

由抛物线的定义，得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°，
∵S△ABF＝·|BF|2＝9，∴|BF|＝6.
又焦点F到准线的距离为p＝|BF|sin 30°＝3，∴抛物线C的方程为y2＝6x.∴B，C，D正确，A错误．故选BCD.
11．(2020·全国Ⅱ)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
答案　B
解析　不妨设D位于第一象限，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
分别与x＝a联立，可得D(a，b)，E(a，－b)，|DE|＝2b，
∴S△ODE＝×a×|DE|＝a×2b＝ab＝8，
∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16，
当且仅当a＝b＝2时，等号成立．
∴c2的最小值为16，∴c的最小值为4，
∴C的焦距的最小值为2×4＝8.
12．(2020·全国Ⅰ)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
答案　2
解析　如图，A(a,0)．

由BF⊥x轴且AB的斜率为3，
知点B在第一象限，且B，
则kAB＝＝3，
即b2＝3ac－3a2.
又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，
∴c2－3ac＋2a2＝0，∴e2－3e＋2＝0.
解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2.

1．已知椭圆C的长半轴长为a，其中一个焦点为F1，A，B为C上关于长轴对称的两点，则△ABF1的周长的最大值为(　　)
A．4a B．4a C．6a D．6a
答案　A
解析　设椭圆C的另一个焦点为F2，线段AB与长轴的交点为H，连接AF2，由题意可知|AH|≤|AF2|，则|AF1|＋|AH|≤|AF1|＋|AF2|＝2a，所以当直线AB过焦点F2时，△ABF1的周长取最大值4a.
2．(多选)已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则(　　)
A．椭圆C的焦距为
B．椭圆C的离心率为
C．圆D在椭圆C的内部
D．|PQ|的最小值为
答案　BC
解析　依题意可得c＝＝，则椭圆C的焦距为2，离心率为＝.
设P(x，y)(－≤x≤)．由圆心D的坐标为(－1,0)，
得|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝2＋≥>，
所以圆D在椭圆C的内部，且|PQ|的最小值为－＝.故选BC.
3．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD为平面α(α与两个圆锥面的交线为AC，BD)，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC，BD，则双曲线Γ的离心率为(　　)

A. B. C. D．2
答案　A
解析　设与平面α平行的平面为β，以AC，BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x轴，在平面β内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)．根据题意可设双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)．由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y＝±x，则＝，所以双曲线Γ的离心率为e＝＝＝，故选A.
4．已知点P为椭圆＋＝1上的动点，EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一直径，则·的最大值和最小值分别是(　　)
A．16,12－4 B．17,13－4
C．19,12－4 D．20,13－4
答案　C
解析　因为EF是圆N的直径，所以|NE|＝|NF|＝1，
且＝－，
则·＝(＋)·(＋)
＝(＋)·(－)
＝－
＝－1.
设P(x0，y0)，则有＋＝1，
即x＝16－y，
又N(0,1)，所以||2＝x＋(y0－1)2＝－(y0＋3)2＋20.
又因为y0∈[－2，2]，
所以当y0＝－3时，||2取得最大值20，
则(·)max＝20－1＝19，
当y0＝2时，||2取得最小值13－4，
则(·)min＝12－4.
综上，·的最大值和最小值分别为19,12－4，
故选C.
5．(2020·厦门质检)已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线Γ的左、右两支分别交于A，B两点，延长BF交右支于C点，若AF⊥FB，|CF|＝3|FB|，则双曲线Γ的离心率是________．
答案　
解析　记双曲线的左、右焦点分别为F′，F，设双曲线的实半轴长为a，半焦距为c.连接AF′，BF′，CF′，如图．

∵AF⊥FB，结合双曲线的对称性可知四边形AFBF′是矩形，∴∠F′BF＝.
设|FB|＝x，
则|CF|＝3x，|BF′|＝2a＋x，|CF′|＝2a＋3x.
在Rt△CBF′中，|BF′|2＋|BC|2＝|CF′|2，
即(2a＋x)2＋16x2＝(2a＋3x)2，可得x＝a，
从而|BF′|＝2a＋x＝3a，|FB|＝a，
在△BFF′中，|BF′|2＋|FB|2＝|FF′|2，
即(3a)2＋a2＝(2c)2，
∴10a2＝4c2，
又∵e>1，∴e＝.
6．(2020·全国Ⅱ)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
解　(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，
其中c＝.
不妨设A，C在第一象限，
由题意得A，B的纵坐标分别为，－；
C，D的纵坐标分别为2c，－2c，
故|AB|＝，|CD|＝4c.
由|CD|＝|AB|，得4c＝，
即3×＝2－22，
解得＝－2(舍去)或＝.
所以C1的离心率为.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.
设M(x0，y0)，则＋＝1，y＝4cx0，
故＋＝1.①
由于C2的准线为x＝－c，
所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，
代入①得＋＝1，
即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝3.
所以C1的标准方程为＋＝1，
C2的标准方程为y2＝12x.