2022年高考三轮复习之大题规范练1

大题规范练1

1．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m＝(a＋c，cos A＋sin C)，n＝(b，sin B)满足m∥n.

(1)求角A；

(2)若△ABC的面积为4，a＝5，求△ABC的周长．

解　(1)由m∥n，得(a＋c)sin B＝b(cos A＋sin C)．

结合正弦定理，得(sin A＋sin C)sin B－sin Bsin C＝sin Bcos A.

∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴tan A＝.

∵A∈(0，π)，∴A＝.

(2)∵△ABC的面积为4，∴bcsin A＝4.

由(1)知A＝，∴bc＝16.

由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－48＝25.

∴b＋c＝.

∴△ABC的周长为5＋.

2．(2020·潍坊模拟)已知函数f(x)＝logkx(k为常数，k>0且k≠1)．

(1)在下列条件中，________(填序号)使数列{an}是等比数列，说明理由；

①数列{f(an)}是首项为2，公比为2的等比数列；

②数列{f(an)}是首项为4，公差为2的等差数列；

③数列{f(an)}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．

(2)在(1)的条件下，当k＝时，设anbn＝，求数列{bn }的前n项和Tn.

解　(1)①③不能使{an}成等比数列．②可以．理由如下：

由题意f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，

即logkan＝2n＋2，得an＝k2n＋2，

且a1＝k4≠0，

∴＝＝k2.

∵常数k>0且k≠1，

∴k2为非零常数，

∴数列{an}是以k4为首项，k2为公比的等比数列．

(2)由(1)知an＝k4·(k2)n－1＝k2n＋2，

∴当k＝时，an＝2n＋1.

∵anbn＝，

∴bn＝，

∴bn＝＝，

Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝

＝＝.

3．如图①，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AB＝，BC＝1，AD＝3，BP⊥AD，将△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，得到如图②所示的四棱锥A－BCDP，其中M为AD的中点．

(1)试分别在PB，CD上确定点E，F，使平面MEF∥平面ABC；

(2)求二面角M－PC－A的余弦值．

解　(1)E，F分别为BP，CD的中点，证明如下：

连接ME，MF，EF(图略)，

∵M，F分别为AD，CD的中点，

∴MF∥AC.

又E为BP的中点，且四边形PBCD为梯形，

∴BC∥EF.∵MF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴MF∥平面ABC，同理EF∥平面ABC，

又∵MF∩EF＝F，MF，EF⊂平面MEF，∴平面MEF∥平面ABC.

(2)由题意知AP，BP，DP两两垂直，以P为坐标原点，PB，PD，PA所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

∵在等腰梯形ABCD中，AB＝，BC＝1，AD＝3，BP⊥AD，

∴AP＝1，BP＝1，PD＝2，

∴P(0,0,0)，C(1,1,0)，A(0,0,1)，D(0,2,0)，

∴M，＝(1,1,0)，＝.

设平面MPC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

则

即

令z1＝－2，则y1＝1，x1＝－1，

∴n1＝(－1,1，－2)为平面MPC的一个法向量．

同理可得平面PAC的一个法向量为n2＝(－1,1,0)．

设二面角M－PC－A的平面角为θ，

由图可知θ∈，

则cos θ＝＝＝.

∴二面角M－PC－A的余弦值为.

4．某企业进行深化改革，使企业的年利润不断增长．该企业记录了从2014年到2019年的年利润y(单位：百万元)的相关数据，如下表：

(1)根据表中数据，以年份代号t为横坐标，年利润y为纵坐标建立平面直角坐标系，根据所给数据作出散点图；

(2)利用最小二乘法求出y关于t的线性回归方程(保留2位小数)；

(3)用i表示用正确的线性回归方程得到的与年份代号t对应的年利润的估计值，yi为与年份代号t对应的年利润数据，当i－yi<0时，将年利润数据yi称为一个“超预期数据”，现从这6个年利润数据中任取2个，记X为“超预期数据”的个数，求X的分布列与均值．

附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

＝＝，＝－.

解　(1)根据表中数据，描点如图：

(2)由已知数据得＝＝3.5，

＝＝9，

iyi＝3＋10＋24＋44＋65＋84＝230，

＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，

＝＝≈2.34，

＝－ ＝9－2.34×3.5＝0.81，

所以y关于t的线性回归方程为＝2.34t＋0.81.

(3)由(2)可知，当t＝1时，1＝3.15；当t＝2时，2＝5.49；当t＝3时，3＝7.83；当t＝4时，4＝10.17；当t＝5时，5＝12.51；当t＝6时，6＝14.85.

与年利润数据yi对比可知，满足i－yi<0的数据有3个，所以X的所有可能取值为0,1,2，则

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

X的分布列为

E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.

5．已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)经过点M(－2，1)，且右焦点为F(，0)．

(1)求椭圆Γ的标准方程；

(2)过N(1,0)且斜率存在的直线AB交椭圆Γ于A，B两点，记t＝·，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，求t1＋t2的值．

解　(1)由椭圆＋＝1的右焦点为(，0)，

知a2－b2＝3，

即b2＝a2－3，

则＋＝1，a2>3.

又椭圆过点M(－2,1)，∴＋＝1，

又a2>3，∴a2＝6.

∴椭圆Γ的标准方程为＋＝1.

(2)设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得x2＋2k2(x－1)2＝6，

即(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－6＝0，

∵点N(1,0)在椭圆内部，∴Δ>0，

∴

则t＝·＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)

＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋(kx1－k－1)(kx2－k－1)

＝(1＋k2)x1x2＋(2－k2－k)(x1＋x2)＋k2＋2k＋5，③

将①②代入③得，

t＝(1＋k2)·＋(2－k2－k)·＋k2＋2k＋5，

∴t＝，

∴(15－2t)k2＋2k－1－t＝0，k∈R，

则Δ1＝22＋4(15－2t)(1＋t)≥0，

∴(2t－15)(t＋1)－1≤0，

即2t2－13t－16≤0，

由题意知t1，t2是2t2－13t－16＝0的两根，

∴t1＋t2＝.

6．已知函数f(x)＝ex＋a－ln x(其中e＝2.718 28…是自然对数的底数)．

(1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；

(2)求证：当a>1－时，f(x)>e＋1.

(1)解　∵a＝0，

∴f(x)＝ex－ln x，f′(x)＝ex－(x>0)，

∴f(1)＝e，f′(1)＝e－1，

∴函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，

即(e－1)x－y＋1＝0.

(2)证明　方法一　∵a>1－，

∴ex＋a>，

∴f(x)＝ex＋a－ln x>－ln x.

令g(x)＝－ln x(x>0)，

∴g′(x)＝－，

令t(x)＝－，

则t′(x)＝＋>0，

∴g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，

又g′＝e－e＝0，

∴当x∈时，g′(x)<0，

当x∈时，g′(x)>0，

∴g(x)在上单调递减，在上单调递增．

∴g(x)min＝g＝e＋1，

∴f(x)>g(x)≥e＋1，

即证f(x)>e＋1.

方法二　∵f′(x)＝ex＋a－(x>0)，

设g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝ex＋a＋>0，

∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∵ex＋a>ea，

由ea>⇒x>e－a，

∴当x>e－a时，f′(x)>0；

又∵若0<x<1⇒ex＋a<ea＋1，

由ea＋1<⇒x<e－a－1，

∴当0<x<min{1，e－a－1}时，f′(x)<0，

故f′(x)＝0仅有一解，记为x0，

则当0<x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

∴f(x)min＝f(x0)＝－ln x0，

而f′(x0)＝－＝0⇒＝⇒a＝－ln x0－x0，

记h(x)＝ln x＋x，

则f(x0)＝－ln x0＝h，

a>1－⇔－a<－1⇔h(x0)<h，

而h(x)显然是增函数，

∴0<x0<⇔>e，

∴h>h(e)＝e＋1.

∴f(x)>e＋1，

综上，当a>1－时，f(x)>e＋1.