2022高考数学一轮复习专题12 圆锥曲线中的三角形问题（解析卷）

专题12 圆锥曲线中的三角形问题

一、题型选讲

题型一 、由面积求参数或点坐标等问题

例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线（）的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于点M，N（点N在轴上方），点E为轴上F右侧的一点，若，，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．9

【答案】C

【解析】

设准线与x轴的交点为T，直线l与准线交于R，，则

，，过M，N分别作准线的垂线，垂足分别为，

如图，由抛物线定义知，，，因为∥，所以，

即，解得，同理，即，解得

，又，所以，，过M作的垂线，垂足为G，则

，所以

，解得，故.

故选：C.

例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____．

【答案】

【解析】作点B关于原点的对称点B1，可得S，则有，

所以．

将直线AB1方程，代入椭圆方程后，，

整理可得：（b2+8a2）y2﹣4b2cy+8b4＝0，

由韦达定理解得，，

三式联立，可解得离心率．

故答案为：．

例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．

（1）求的周长；

（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；

（3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为S1，S2，若，求点M的坐标．

【解析】（1）椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，

则.

所以的周长为.

（2）椭圆的右准线为.

设，

则，

在时取等号.

所以的最小值为.

（3）因为椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，

则.

所以直线

设，因为，所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍.

由此得，

则或.

由得，此方程无解；

由得，所以或.

代入直线，对应分别得或.

因此点的坐标为或.

题型二、与面积有关的最值问题

例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点斜率为正的直线交椭圆于，两点.，是椭圆上相异的两点，满足，分别平分，.则外接圆半径的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图，

先固定直线AB，设，则，其中为定值，

故点P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，且外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r，阿波罗尼斯圆会把点A，B其一包含进去，这取决于BP与AP谁更大，不妨先考虑的阿波罗尼斯圆的情况，BA的延长线与圆交于点Q，PQ即为该圆的直径，如图：

接下来寻求半径的表达式，

由，解得，

同理，当时有，，

综上，；

当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为，则；

当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，即，

与椭圆方程联立可得，

设，，则由根与系数的关系有，，

，

注意到与异号，故，

设，则，，当，即，此时，故，

又，综上外接圆半径的最小值为.

故选：D．

例5、【2020年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，

（1）求C的方程；

（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

【解析】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.

当y=0时，解得，所以a=4，

椭圆过点M(2，3)，可得，

解得b2=12.

所以C的方程：.

(2)设与直线AM平行的直线方程为：，

如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程，

可得：，

化简可得：，

所以，即m2=64，解得m=±8，

与AM距离比较远的直线方程：，

直线AM方程为：，

点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，

利用平行线之间的距离公式可得：，

由两点之间距离公式可得.

所以△AMN的面积的最大值：.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

例6、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

（i）证明：是直角三角形；

（ii）求面积的最大值.

【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）.

【解析】（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．

（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为．

由得．

记，则．

于是直线的斜率为，方程为．

由得

．①

设，则和是方程①的解，故，由此得．

从而直线的斜率为．

所以，即是直角三角形．

（ii）由（i）得，，所以△PQG的面积．

设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．

因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．

因此，△PQG面积的最大值为．

例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知，是椭圆的左右焦点，且椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，当直线过时周长为8.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若，是否存在定圆，使得动直线与之相切，若存在写出圆的方程，并求出的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.

【解析】

（Ⅰ）由题意可得，，

故，又有，∴，

椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）法1：设，，∵，∴，

设点，点，

，两式相加得，

，

，∴，

，，

∴，．

法2：，

，

，

∴，

∴，

，

当时，，

当时，，当且仅当时取到等号，此时符合

∴．

例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于，两点，点在准线上的投影为，若是抛物线上一点，且.

（1）证明：直线经过的中点；

（2）求面积的最小值及此时直线的方程.

【答案】（1）详见解析；（2）面积最小值为16，此时直线方程为.

【解析】

（1）由题意得抛物线的焦点，准线方程为，

设，直线：，

则，

联立和，

可得，

显然，可得，

因为，，

所以，

故直线：，

由，

得.

∴，，

所以的中点的纵坐标，即，

所以直线经过的中点.

（2）所以

，

设点到直线的距离为，

则.

所以，

当且仅当，即，

时，直线的方程为：，

时，直线的方程为：.

另解：

.

二、达标训练

1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设是椭圆的两个焦点，是C上一点，且满足的面积为则的取值范围是____.

【答案】

【解析】依题意，，所以，则，而，所以.由于，，根据二次函数的性质可知：，所以，所以，解得.

故答案为：

2、【2018年高考全国I理数】已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则

A． B．3

C． D．4

【答案】B

【解析】由题可知双曲线的渐近线的斜率为，且右焦点为，从而可得，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，，所以，故选B．

3、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线：和直线：，是直线上一点，过点做抛物线的两条切线，切点分别为，，是抛物线上异于，的任一点，抛物线在处的切线与，分别交于，，则外接圆面积的最小值为______.

【答案】

【解析】

设三个切点分别为，

若在点处的切线斜率存在，

设方程为与联立，

得，，

即，

所以切线方程为  ①

若在点的切线斜率不存在，则，

切线方程为满足①方程，

同理切线的方程分别为，

，联立方程，

，解得，即

同理，，

，

设外接圆半径为，

，

，

时取等号，

点在直线，

，

当且仅当或时等号成立，

此时外接圆面积最小为.

故答案为:.

4、（2020届浙江省嘉兴市5月模拟）设点为抛物线上的动点，是抛物线的焦点，当时，．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作圆：的切线，，分别交抛物线于点．当时，求面积的最小值．

【答案】（1）（2）最小值．

【解析】

（1）当时，，

所以，故所求抛物线方程为.

（2）点为抛物线上的动点，则，

设过点的切线为，

则，

得，

是方程（*）式的两个根，

所以，，

设，

因直线，与抛物线交于点A，

则得，

所以，即，

同理，

设直线，

则，

，

又，

，

所以

令，，

当且仅当，即时，取得最小值.

5、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点，，抛物线的焦点为线段中点.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线交抛物线于两点，，过点作抛物线的切线，为切线上的点，且轴，求面积的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知得焦点的坐标为，

，

抛物线的方程为：；

（2）设直线的方程为：，设，，，

联立方程，消去得：，

，，，

设直线方程为：，

联立方程，消去得：，

由相切得：，，

又，，

，

，

直线的方程为：，

由，得，，

将代入直线方程，解得，

所以

，

又，

所以，当且仅当时，取到等号，

所以面积的最小值为.

6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线的焦点为.

若点为抛物线上异于原点的任一点，过点作抛物线的切线交轴于点，证明：.

，是抛物线上两点，线段的垂直平分线交轴于点 (不与轴平行)，且.过轴上一点作直线轴，且被以为直径的圆截得的弦长为定值，求面积的最大值.

【答案】证明见解析； .

【解析】

由抛物线的方程可得，准线方程：，设，

由抛物线的方程可得，所以在处的切线的斜率为：，

所以在处的切线方程为：，

令，可得，

即，

所以，而到准线的距离，由抛物线的性质可得

所以，，

可证得：.

设直线的方程为：，，，

直线与抛物线联立，

整理可得：，

，

即，

，，，

所以的中点坐标为：，

所以线段的中垂线方程为：，

由题意中垂线过，所以，即，①

由抛物线的性质可得：，

所以，即，②

设，，

的中点的纵坐标为，

所以以为直径的圆与直线的相交弦长的平方为：

，

要使以为直径的圆截得的弦长为定值则可得，时相交弦长的平方为定值，即

所以到直线的距离为：，

而弦长

，

所以，

将①代入可得

，

设为偶函数，

只看的情况即可，

令，

当，，单调递增；

当，，单调递减，

所以且上，为最大值，

所以的最大值为：.