2022高考数学一轮复习专题35 运用错位相减法求和（解析卷）

专题35  运用错位相减法求和

用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

一、题型选讲

例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

【解析】（1）设的公比为，由题设得 即.

所以 解得（舍去），.

故的公比为.

（2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以

，

.

可得

所以.

例2、【2020年高考全国III卷理数】设数列{an}满足a1=3，．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

【解析】（1） 猜想 由已知可得

，

，

……

.

因为，所以

（2）由（1）得，所以

.  ①

从而

.②

得

，

所以

例3、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列的前项和满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【解析】（1）因为,,

所以,,

两式相减得,

整理得,

即,,所以为常数列,

所以,

所以

（2）由（1）,,

所以

两式相减得：

，  

， 

化简得

例4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列满足成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：

（1）；

（2）数列的前项和.

【解析】（1）设的公比为q.

因为成等差数列，

所以，即.

因为，所以.

因为，所以.

因此.

由题意，.

所以，

，从而.

所以的公差.

所以.

（2）令，则.

因此.

又

两式相减得

.

所以.

例5、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，．

（1）求和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【解析】（1）当时，，

当时，

=

=，

所以．

所以，

于是，解得或（舍）

所以=．

（2）由以上结论可得，

所以其前n项和

=    

=     

-得，=

=

所以=．

例6、【2018年高考浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．

（1）求q的值；

（2）求数列{bn}的通项公式．

【解析】（1）由是的等差中项得，

所以，

解得.

由得，

因为，所以.

（2）设，数列前n项和为.

由解得.

由（1）可知，

所以，

故，

.

设，

所以，

因此，

又，所以.

例7、【江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)】在公差不为零的等差数列中，，，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，求.

【答案】（1）； （2）.

【解析】（1）设等差数列的公差为，

由，，，成等比数列得：，

解得或（舍去），

所以数列的通项公式.

（2）由（1）得，所以，

所以，    ①

，    ②

①-②得：

，

所以.

二、达标训练

1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设等差数列的前项和为，且，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，

解得.

所以.

（Ⅱ）因此.

所以，

，

相减得

.

故：.

2、【2020届山西省太原市第五中学高三下学期4月模拟】已知数列是等比数列，，是和的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设数列的公比为，

因为，所以，.

因为是和的等差中项，所以.

即，化简得.

因为公比，所以.

所以；

（2）因为，所以，所以.

则，①，

，②，

①②得，，

所以.

3、【云南师范大学附属中学2019-2020学年高三适应性月考（八）】已知数列的前n项和为，且（，），数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，证明：数列为等差数列，并求数列的前n项和.

【解析】解：（1）当时，有，解得.

当时，由，得，

所以，即，

，为等比数列，

故.

（2）由（1）得，

∴，即.

又，

∴数列是以1为首项，为公差的等差数列，

故，又，

所以

∴

∴

∴

∴

4、、（江苏省徐州市2021届高三第一学期期中考试）设为数列的前n项和，满足且，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

【解析】（1）当时，，即，………………3分

由，，成等差数列可知，，

即，解得，所以，

则是以为首项，为公比的等比数列，

所以的通项公式为．……………………………………………6分

（2）由（1）知，，

则，

，

两式相减得，

，……………………………10分

所以．………………………………………………………12分

5、（湖北师大附中2021届高三上学期名校联考）数列{an} 满足 a1 +2a2 +3a3 +…+ nan = (n 1)• 2n+1+ 2( n≥l) ,

（1）求数列{an}的通项公式 ；

（2）设为数列{bn}的前n项和，求Sn.

【解析】：(1)由题意，

由，         ①

得，    ②

①—②，得

，

所以

又因为当时，上式也成立，所以数列的通项公式为.  ………………6分

（没有讨论的情况扣1分）

(2)由题意，，所以

，    ③

，          ④

③—④，得

所以

从而.   ……………………………12分