2022高考数学一轮复习专题27 函数单调性含参问题的研究（解析卷）

专题27  函数单调性含参问题的研究

一、题型选讲

题型一 、含参区间的讨论

求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解。当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。当参数扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。

例1、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数.讨论的单调性；

【解析】．

令，得x=0或.

若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；

若a=0，在单调递增；

若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.

变式1、（2019·夏津第一中学高三月考）已知函数．当时，讨论的单调性；

【解析】函数的定义域为.

，

因为，所以，

①当，即时，

由得或，由得，

所以在，上是增函数， 在上是减函数；

②当，即时，所以在上是增函数；

③当，即时，由得或，由得，所以在，.上是增函数，在.上是减函

综上可知：

当时在，上是单调递增，在上是单调递减；

当时，在.上是单调递增；

当时在，上是单调递增，在上是单调递减.

变式2、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知函数.

(1)讨论函数的单调性;

【解析】(1)，

当时，恒成立，在上单调递减，

当时，由，解得，

由于时，导函数单调递增，

故，单调递减，

单调递增.

综上，当时在上单调递减;

当时， 在上单调递减，在上单调递增. .

变式3、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数，其中.

（1）求函数的单调区间；

【解析】（1）函数的定义域为,

,

令,得或,

因为,当或时,,单调递增；

当时,,单调递减,

所以的增区间为,；减区间为

变式4、（2020届山东省临沂市高三上期末）函数（）.

（1）讨论的单调性；

【解析】（1）解：的定义域为，，

当，时，，则在上单调递增；

当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；

当，时，，则在上单调递减；

当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减；

题型二、 给定区间的单调性

已知在某区间的单调性求参数范围问题，其思路为通过导数将问题转化成为不等式恒成立或不等式能成立问题，进而求解，要注意已知函数单调递增（减）时，其导函数（），勿忘等号。

例2、【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

【答案】

【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.

若函数为奇函数，则即，

即对任意的恒成立，

则，得.

若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，

即在R上恒成立，

又，则，

即实数的取值范围是.

变式1、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数.若在上是单调递增函数，求的取值范围；

【解析】 在上是单调递增函数,

在上，恒成立，即：

设

，

当时， 在上为增函数，

当时， 在上为减函数，

， 即 .

变式2、(2018无锡期末）若函数f(x)＝(x＋1)2|x－a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是________．

【答案】 (－∞，－1]∪　

【解析】 由于条件中函数的解析式比较复杂，可以先通过代数变形，将其化为熟悉的形式，进而利用导数研究函数的性质及图像，再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解．

函数f(x)＝(x＋1)2|x－a|＝|(x＋1)2(x－a)|＝|x3＋(2－a)x2＋(1－2a)x－a|.

令g(x)＝x3＋(2－a)x2＋(1－2a)x－a，则

g′(x)＝3x2＋(4－2a)x＋1－2a＝(x＋1)(3x＋1－2a)．

令g′(x)＝0得x1＝－1，x2＝.

①当<－1，即a<－1时，

令g′(x)>0，即(x＋1)(3x＋1－2a)>0，解得x<或x>－1；令g′(x)<0，解得<x<－1.

所以g(x)的单调增区间是，(－1，＋∞)，单调减区间是.

又因为g(a)＝g(－1)＝0，所以f(x)的单调增区间是，(－1，＋∞)，单调减区间是(－∞，a)，，满足条件，故a<－1(此种情况函数f(x)图像如图1)．

,图1)

②当＝－1，即a＝－1时，f(x)＝|(x＋1)3|，函数f(x)图像如图2，则f(x)的单调增区间是(－1，＋∞)，单调减区间是(－∞，－1)，满足条件，故a＝－1.

,图2)

③当>－1，即a>－1时，

令g′(x)>0，即(x＋1)(3x＋1－2a)>0，解得x<－1或x>；令g′(x)<0，解得－1<x<.

所以g(x)的单调增区间是(－∞，－1)，，单调减区间是.

又因为g(a)＝g(－1)＝0，所以f(x)的单调增区间是，(a，＋∞)，单调减区间是(－∞，－1)，，要使f(x)在[－1，2]上单调递增，必须满足2≤，即a≥，又因为a>－1，故a≥(此种情况函数f(x)图像如图3)．

综上，实数a的取值范围是(－∞，－1]∪.

,图3)

二、达标训练

1、（2018年泰州期中），若在上存在单调递增区间，则的取值范围是_______

【答案】

【解析】：，有已知条件可得：，使得，即，只需，而，所以

2、【2018年高考天津理数】已知函数，，其中a>1.

（I）求函数的单调区间；

【解析】（I）由已知，，有.

令，解得x=0.

由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数．

（1）讨论的单调性；

【解析】（1）的定义域为，.

（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.

（ii）若，令得，或.

当时，；

当时，.

所以在单调递减，在单调递增.

4、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知函数，

（1）求的极值；

（2）若时，与的单调性相同，求的取值范围；

【解析】：（1）的定义域为，，

当时，；当时，，

所以在单调递减，在单调递增.

所以有极小值，无极大值.

（2）由（1）知，在单调递增.

则在单调递增，即在恒成立，

即在恒成立，

令，；，

所以当时，；当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

又时，，所以，

∴.

5、（2020届山东省德州市高三上期末）已知函数（为常数）.

（1）若在处的切线与直线垂直，求的值；

（2）若，讨论函数的单调性.

【解析】（1）由题意，，则，

由于函数的图象在处的切线与直线垂直，

则，所以，因此，；

（2），则.

①若时，，

当或时，，时，，

所以在和单调递增，在单调递减，

②若时，，对，恒成立，在单调递增；

③若时，，

当或时，，时，，

所以在和单调递增，在单调递减；