2022高考数学一轮复习专题31 运用构造法研究函数的性质（解析卷）

专题31  运用构造法研究函数的性质

一、题型选讲

题型一 、构造函数研究函数的单调性

例1、【2020年高考全国I卷理数】若，则

A．  B． 

C．  D．

【答案】B

【解析】设，则为增函数，因为

所以，

所以，所以.

，

当时，，此时，有

当时，，此时，有，所以C、D错误.

故选：B．

变式1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题意设，则，又当时，，则有，所以在上单调递减，又在上是偶函数，所以，所以是偶函数，所以，又为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，解得

或，即不等式的解集为，

故选：B.

变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，设，则，

则有，，即有，

故函数的图象关于对称，

则有，

当时，，，

又由当时，，即当时，，

即函数在区间为增函数，

由可得，即，

，

函数的图象关于对称，

函数在区间为增函数，

由可得，即，此时不存在，

故选：．

题型二、构造函数研究函数的零点等问题

例2、【2020年高考天津】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是

A．     B．

C．     D．

【答案】D

【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根

即可，

令，即与的图象有个不同交点.

因为，

当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；

当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；

当时，如图3，当与相切时，联立方程得，

令得，解得（负值舍去），所以.

综上，的取值范围为.

故选：D．

变式1、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考）函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（    ）

A．2 B． C．0 D．1

【答案】ABC

【解析】∵只有一个零点，
∴函数与函数有一个交点，
作函数函数与函数的图象如下，

 
结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点；
当时，，可得，令可得，所以函数在时，直线与相切，可得.

综合得：或.
故选：ABC.

变式2、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A．[–1，0）     B．[0，+∞）

C．[–1，+∞）     D．[1，+∞）

【答案】C

【解析】画出函数的图象，在y轴右侧的图象去掉，再画出直线，之后上下移动，

可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，

此时满足，即.

故选C．

题型三、构造函数证明不等式

例3、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝＋lnx(a∈R)．

 设f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)有两个不相同的零点x1，x2.证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2.

【解析】 设p＝x1f′(x1)＋x2f′(x2)＝1－＋1－＝2－.

又则p＝2＋ln(x1x2)．

下面证明x1x2>a2.

不妨设x1<x2，由①知0<x1<a<x2.

要证x1x2>a2，即证x1>.

因为x1，∈(0，a)，f(x)在(0，a)上为减函数，

所以只要证f>f(x1)．

又f(x1)＝f(x2)＝0，即证f>f(x2)．(14分)

设函数F(x)＝f－f(x)＝－－2lnx＋2lna(x>a)．

所以F′(x)＝>0，所以F(x)在(a，＋∞)为增函数．

所以F(x2)>F(a)＝0，所以f>f(x2)成立．

从而x1x2>a2成立．

所以p＝2＋ln(x1x2)>2lna＋2，即x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2成立．(16分)

例5、(2017苏州期末）已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)． 若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1x2＜e2k.

【解析】 因为f′(x)＝lnx－k，所以f(x)在(0，ek]上单调递减，在[ek，＋∞)上单调递增．

不妨设0＜x1＜ek＜x2.要证x1x2＜e2k，只要证x2＜.

因为f(x)在[ek，＋∞)上单调递增，所以只要证f(x1)＝f(x2)＜f，即要证(lnx1－k－1)x1＜(k－lnx1－1)

令t＝2(k－lnx1)＞0，只要证(t－2)et＋t＋2＞0.

设H(t)＝(t－2)et＋t＋2，则只要证H(t)＞0对t＞0恒成立．H′(t)＝(t－1)et＋1，H″(t)＝tet＞0对t＞0恒成立．

所以H′(t)在(0，＋∞)上单调递增，H′(t)＞H′(0)＝0.

所以H(t)在(0，＋∞)上单调递增，H(t)＞H(0)＝0.

综上所述，x1x2＜e2k.

二、达标训练

1、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x−2y<3−x−3−y，则

A．ln(y−x+1)>0      B．ln(y−x+1)<0  

C．ln|x−y|>0       D．ln|x−y|<0

【答案】A

【解析】由得：，

令，

为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，

，

，，，则A正确，B错误；

与的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A．

2、【2020年高考浙江】已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则

A．a<0  B．a>0 

C．b<0  D．b>0

【答案】C

【解析】因为，所以且，设，则零点

为

当时，则，，要使，必有，且，

即，且，所以；

当时，则，，要使，必有.

综上一定有.

故选：C

3、（2020·全国高三专题练习（文））函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令,画出与的图象,

平移直线,当直线经过时只有一个交点,此时,向右平移,不再符合条件,故

故选：A

4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】令函数，因为，

，为奇函数，

当时，，在上单调递减，在上单调递减．

存在，得，，即，

；，为函数的一个零点；

当时，，函数在时单调递减，

由选项知，取，又，

要使在时有一个零点，只需使，

解得，的取值范围为，

故选：．

5、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是(     )

A． B．

C． D．

【答案】CD

【解析】令，，则，

因为，

所以在上恒成立，

因此函数在上单调递减，

因此，即，即，故A错；

又，所以，所以在上恒成立，

因为，所以，故B错；

又，所以，即，故C正确；

又，所以，即，故D正确；

故选：CD.

6、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数，若函数有9个零点，则实数k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意，函数有9个零点，可转化为与有9个

不同交点.因当有，所以在上是周期函数，又当

时，有，，所以在上的图象如图所示

要使与有9个不同交点，则只需夹在与之间即可，

所以，解得或.

故选：A.