高考数学(理数)一轮复习练习题：8.6《抛物线》（教师版）

www.ks5u.com第6节　抛物线

【选题明细表】

基础巩固(时间:30分钟)

1.抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是(　C　)

(A)(0,a) (B)(a,0)   (C)(0,) (D)(,0)

解析:将y=4ax2(a≠0)化为标准方程得x2=y(a≠0),

所以焦点坐标为(0,),所以选C.

2.动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,则动点P的轨迹方程为(　D　)

(A)y2=4x (B)y2=8x (C)x2=4y (D)x2=8y

解析:因为动点P到A(0,2)点的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,所以动点P到点A(0,2)的距离与它到直线y=-2的距离相等,根据抛物线的定义可得点P的轨迹为以A(0,2)为焦点,以直线y=-2为准线的抛物线,其标准方程为x2=8y,故选D.

3.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A为C上一点,以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,若∠BFD=120°,△ABD的面积为2,则p等于(　A　)

(A)1 (B) (C) (D)2

解析:因为∠BFD=120°,所以圆的半径|FA|=|FB|=2p,|BD|=2p,

由抛物线定义,点A到准线l的距离d=|FA|=2p,

所以|BD|·d=2p·p=2,所以p=1,选A.

4.抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,连接PF并延长交抛物线C于点Q,若|PF|=|PQ|,则|QF|等于(　C　)

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

解析:如图,直线l与x轴的交点为D,

过Q点作QQ′⊥l,Q′为垂足,设|QF|=d,由抛物线的定义可知

|QQ′|=d,又|PF|=|PQ|,所以|PF|=4d,|PQ|=5d,

又△PDF∽△PQ′Q,所以=,解得d=5,即|QF|=5,故选C.

5.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B,交其准线l于点C,若点F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为(　C　)

(A)5 　　　　　(B)6       (C) 　　　　　(D)

解析:如图,

过点A作AD⊥l交l于点D,所以|AF|=|AD|=4,

由点F是AC的中点,有|AF|=2|MF|=2p.所以2p=4,解得p=2,

抛物线y2=4x设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+=x1+1=4.

所以x1=3,A(3,2),F(1,0).kAF==.AF:y=(x-1)与抛物线y2=4x,

联立得3x2-10x+3=0,x1+x2=,|AB|=x1+x2+p=+2=.故选C.

6.)已知点A(4,0),抛物线C:y2=2px(0<p<4)的准线为l,点P在C上,作PH⊥l于H,且|PH|=|PA|,∠APH=120°,则p=　　　　. 

解析:设焦点为F,由题可得∠PAF=,xP=+⇒xP=,所以4=xP++⇒p=.

答案:

7.已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,过F的直线l与直线x+y-1=0垂直,且直线l与抛物线C交于A,B两点,则|AB|=　　　　. 

解析:F是抛物线C:y2=16x的焦点,

所以F(4,0),又过F的直线l与直线x+y-1=0垂直.

所以直线l的方程为y=(x-4),代入抛物线C:y2=16x,易得3x2-40x+48=0.

设A=(x1,y1),B=(x2,y2),x1+x2=,|AB|=x1+x2+8=.

答案:

能力提升(时间:15分钟)

8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线l的距离为2,过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于M,N两点,若MM′⊥l,NN′⊥l,垂足分别为M′,N′,则△M′N′F的面积为(　B　)

(A)    (B)   (C)   (D)

解析:因为p=2,所以抛物线方程为y2=4x,直线MN:x=y+1,

由得y2-y-4=0,则y1+y2=,y1y2=-4,

所以|y1-y2|==.所以S△M′N′F=××2=.选B.

9.如图,过抛物线y2=4x焦点的直线依次交抛物线和圆(x-1)2+y2=1于A,B,C,D四点,则|AB|·|CD|等于(　C　)

(A)4 (B)2       (C)1 (D)

解析:法一　(特值法)由题意可推得|AB|·|CD|为定值,

所以分析直线与x轴垂直的情况,即可得到答案.

因为圆(x-1)2+y2=1的圆心为抛物线y2=4x的焦点,半径为1,

所以此时|AB|=|CD|=1.所以|AB|·|CD|=1,故选C.

法二　(直接法)设A(x1,y1),D(x2,y2),抛物线的焦点为F,AD的方程为y=k(x-1).

则由消去y,可得x1x2=1,而|AB|=|FA|-1=x1+1-1=x1,

|CD|=|FD|-1=x2+1-1=x2,所以|AB|·|CD|=x1·x2=1.故选C.

10.如图所示,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围为　　　　. 

解析:抛物线的准线l:x=-2,焦点F(2,0),由抛物线定义可得|AF|=xA+2,圆(x-2)2+y2=16的圆心为(2,0),半径为4,所以△FAB的周长为|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB-xA)+4=6+xB,由抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16可得交点的横坐标为2,所以xB∈(2,6],所以6+xB∈(8,12].

答案:(8,12]

11.设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比=　　　　. 

解析:设AB:y=k(x-),代入y2=2x得k2x2-(2k2+2)x+3k2=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=,x1x2=3,而|BF|=2,所以x2+=2.所以x2=,x1=2.

====.

答案:

12.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.

(1)求l的方程;

(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.

解:(1)抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),

当直线的斜率不存在时,|AB|=4,不满足;

设直线AB的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),

则整理得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,则Δ=16k2+16>0,

故x1+x2=,x1x2=1,由|AB|=x1+x2+p=+2=8,

解得k2=1,则k=1,所以直线l的方程y=x-1.

(2)由(1)可得AB的中点坐标为D(3,2),

则直线AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5,

设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),

则解得或

因此,所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

13.)已知抛物线C:y2=2px经过点P(2,2),A,B是抛物线C上异于点O的不同的两点,其中O为原点.

(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;

(2)若OA⊥OB,求△AOB面积的最小值.

解:(1)由抛物线C:y2=2px经过点P(2,2)知4p=4,解得p=1,

则抛物线C的方程为y2=2x,

抛物线C的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-.

(2)由题知,直线AB不与y轴垂直,设直线AB:x=ty+a.

由消去x,得y2-2ty-2a=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-2a,

因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,即+y1y2=0,解得y1y2=0(舍)或y1y2=-4,

所以-2a=-4,解得a=2,所以直线AB:x=ty+2,所以直线AB过定点(2,0),

S△AOB=×2×|y1-y2|==≥=4.

当且仅当y1=2,y2=-2或y1=-2,y2=2时,等号成立,

所以△AOB面积的最小值为4.