高考数学(理数)一轮复习练习题：12.2《不等式选讲》（教师版）

www.ks5u.com第2节　不等式选讲

【选题明细表】

1.设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.

(1)画出y=f(x)的图象;

(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.

解:(1)f(x)=

y=f(x)的图象如图所示.

(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)上恒成立,因此a+b的最小值为5.

2.已知函数f(x)=|2x-a|+a.

(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;

(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.

解:(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.

解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.

因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.

(2)当x∈R时,

f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,

当x=时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.(*)

当a≤1时,(*)等价于1-a+a≥3,无解.

当a>1时,(*)等价于a-1+a≥3,解得a≥2.

所以a的取值范围是[2,+∞).

3.已知函数f(x)=|2x-1|,x∈R.

(1)解不等式f(x)<|x|+1;

(2)若对于x,y∈R,有|x-y-1|≤,|2y+1|≤,求证:f(x)<1.

(1)解:不等式f(x)<|x|+1,等价于|2x-1|<|x|+1.

当x≤0,不等式可化为-2x+1<-x+1,

即x>0,不成立;

当0≤x≤,不等式可化为-2x+1<x+1,

即x>0,所以0<x≤;

当x>,不等式可化为2x-1<x+1,

即x<2,所以<x<2;

故不等式f(x)<|x|+1的解集为(0,2).

(2)证明:因为|x-y-1|≤,|2y+1|≤,

所以f(x)=|2x-1|=|2(x-y-1)+(2y+1)|≤|2(x-y-1)|+|2y+1|≤2× +<1.

4.已知函数f(x)=|x-m|-1.

(1)若不等式f(x)≤2的解集为{x|-1≤x≤5},求实数m的值;

(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥t-2对一切实数x恒成立,求实数t的取值范围.

解:(1)由f(x)≤2得,|x-m|≤3,

解得m-3≤x≤m+3.

又已知不等式f(x)≤2的解集为{x|-1≤x≤5},

所以解得m=2.

(2)当m=2时,f(x)=|x-2|-1.

由于f(x)+f(x+5)≥t-2对一切实数x恒成立,

则|x-2|+|x+3|-2≥t-2对一切实数x恒成立,

即|x-2|+|x+3|≥t对一切实数x恒成立.

设g(x)=|x-2|+|x+3|,

于是g(x)=|x-2|+|x+3|=

所以当x<-3时,g(x)>5;当-3≤x≤2时,g(x)=5;当x>2时,g(x)>5.

综上可得,g(x)的最小值为5,所以t≤5,即t的取值范围为(-∞,5].