2021-2022学年江苏省泰州市泰兴市八年级（上）期末数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年江苏省泰州市泰兴市八年级（上）期末数学试卷 解析版，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省泰州市泰兴市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）小篆，是在秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式．下列四个小篆字中为轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2分）下列四个实数、π、、中，无理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2分）点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
4．（2分）长城总长约为6.7×106米，下列关于6.7×106的精确程度说法正确的是（　　）
A．精确到十分位 B．精确到个位
C．精确到十万位 D．以上说法都不对
5．（2分）若方程x2＝5的解分别为a、b，且a＞b，下列说法正确的是（　　）
A．5的平方根是a B．5的平方根是b
C．5的算术平方根是a D．5的算术平方根是b
6．（2分）如图，点P、Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形：△O1PQ、△O2PQ、…、△OnPQ、△On+1PQ…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长变化为（　　）

A．不断变大 B．不断变小
C．先变小再变大 D．先变大再变小
二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）若分式有意义，则x的取值范围是 　 　．
8．（2分）直线y＝2x﹣3图象经过 　 　象限．
9．（2分）如图，已知AC＝DC，∠BCE＝∠ACD，添加一个条件，使△ABC≌△DEC，你添加的条件是 　 　（填一个即可）．

10．（2分）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为8cm时，对应的时间t为 　 　min．
t（min）
…
1
2
3
5
…
h（cm）
…
2.4
2.8
3.4
4
…

11．（2分）直线l1：y＝2x+b与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，3），则关于x，y的方程组的解为 　 　．
12．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是 　 　．

13．（2分）如图所示的网格由边长为1的小正方形组成，点A、B、C在小正方形的顶点上，D为BC的中点，则AD长为 　 　．

14．（2分）如图，在锐角△ABC中、∠A＝80°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为　 　°．

15．（2分）如图，点Q在线段AC上由A向C匀速运动，速度为a（cm/s），设运动时间为t（s）．CQ＝y（cm），y与t的函数图象经过点（3，2）和（1，6），则a的值为 　 　．

16．（2分）如图，在Rt△DEF中，∠D＝90°，DE＝3，DF＝4，点A、B分别在边DE、DF上，沿直线AB折叠∠D，使点D的对应点C恰好落在边EF上，若△DAB和△DEF中有一组锐角相等，则CE的长为 　 　．

三、解答题（本大题有10小题，共68分）
17．（6分）计算或解方程：
（1）﹣+|π﹣3|；
（2）＝+2．
18．（6分）先化简，再求值：1﹣÷，其中a＝3．
19．（6分）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．求证：OB＝OC．

20．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3、4）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC沿x轴向左平移4个单位得到△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，五边形A2ABCC2的面积为 　 　．

21．（7分）点A（m，p），B（m+3，q）为一次函数y＝kx+4（k＜0）图象上两点．
（1）若k＝﹣2．
①当y＜0时，x的范围为 　 　．
②若将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图象的表达式为 　 　．
（2）比较p、q的大小，并说明理由．
22．（7分）甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元．乙公司比甲公司人均多捐20元．给出如下两个信息：
①甲公司的人数比乙公司的人数多20%；
②甲、乙两公司的人数之比为6：5；
请从以上两个信息中选择一个作为条件，求甲、乙两公司的人数各有多少人？
你选择的条件是 　 　（填序号），并根据你选择的条件给出求解过程．
23．（6分）某工厂生产某种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为每天12000元，生产该产品的原料成本为每件900元．
（1）写出每天的生产成本y元（包括固定成本与原料成本）与每天的生产量x件之间的函数关系式；
（2）如果每件产品的出厂价为1200元，假设生产的产品全部售出，那么每天至少生产多少件产品，该工厂才有盈利？
24．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，射线BE交AC于点E，AB＝AE．
（1）作图：只用圆规在射线BE上作出点D，使∠ACD＝90°（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下连接CD，若CE＝1，DE＝2，求AB长．

25．（8分）如图①，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段PAi最短，则线段PAi的长度称为点P到图形l的距离．例如：图②中，线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离；线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离．
如图③，在平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为（2，1）、（3，2）、（5，0），直线AB与x轴相交于点C．点P（a，0）（a＞0）为x轴上一动点，设点P到线段AB的距离为d．
（1）①∠BCD＝　 　°；
②若a＝2，求d的值；
（2）若d＝，求a的值；
（3）若点P在线段OD上运动，且d为整数，求a的值．


26．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+b（b＜0）与x轴交于点C．点D为直线l上第一象限内一点，过D作DE⊥y轴于点E，CA⊥DE于点A．点B在线段DA上，DB＝AC．连接CB，P为线段CB上一动点，过点P作PR⊥x轴，分别交x轴、CD、DE于点R、Q、S．
（1）若点D坐标为（12，3）．
①求直线BC的函数关系式；
②若Q为RS中点，求点P坐标．
（2）在点P运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．


2021-2022学年江苏省泰州市泰兴市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）小篆，是在秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式．下列四个小篆字中为轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、本选项中小篆字不是轴对称图形，不符合题意；
B、本选项中小篆字不是轴对称图形，不符合题意；
C、本选项中小篆字不是轴对称图形，不符合题意；
D、本选项中小篆字是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
2．（2分）下列四个实数、π、、中，无理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数的概念求解即可．
【解答】解：＝3，
π，是无理数，共2个，
故选：B．
3．（2分）点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2）．
故选：B．
4．（2分）长城总长约为6.7×106米，下列关于6.7×106的精确程度说法正确的是（　　）
A．精确到十分位 B．精确到个位
C．精确到十万位 D．以上说法都不对
【分析】根据精确度的定义作答．
【解答】解：6.7×106＝6700000，由于7位于十万位上，所以6.7×106精确到十万位．
故选：C．
5．（2分）若方程x2＝5的解分别为a、b，且a＞b，下列说法正确的是（　　）
A．5的平方根是a B．5的平方根是b
C．5的算术平方根是a D．5的算术平方根是b
【分析】根据算术平方根、平方根的含义和求法，逐项判断即可．
【解答】解：∵x2＝5的解分别为a、b，
∴5的平方根是a、b，
∴选项A不符合题意；

∵x2＝5的解分别为a、b，
∴5的平方根是a、b，
∴选项B不符合题意；

∵x2＝5的解分别为a、b，且a＞b，
∴5的算术平方根是a，
∴选项C符合题意；

∵x2＝5的解分别为a、b，且a＞b，
∴5的算术平方根是a，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
6．（2分）如图，点P、Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形：△O1PQ、△O2PQ、…、△OnPQ、△On+1PQ…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长变化为（　　）

A．不断变大 B．不断变小
C．先变小再变大 D．先变大再变小
【分析】作点P关于直线AB的对称点P′，连接P′Q交直线AB于点O，当点O运动到此点时三角形的周长最短，由此即可得出结论．
【解答】解：作点P关于直线AB的对称点P′，连接P′Q交直线AB于点O，
∵两点之间线段最短，且PQ为定值，
∴当点O运动到此点时三角形的周长最短，
∴这些三角形的周长变化为先变小再变大．
故选：C．

二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）若分式有意义，则x的取值范围是 　x≠3　．
【分析】分式有意义的条件是分母不为0．
【解答】解：∵3﹣x≠0，
∴x≠3．
故答案为：x≠3．
8．（2分）直线y＝2x﹣3图象经过 　一、三、四　象限．
【分析】根据一次函数图象的性质进行解答即可．
【解答】解：∵直线y＝2x﹣3中k＝2＞0，b＝﹣3＜0，
∴此函数的图象经过一、三、四象限．
故答案为：一、三、四．
9．（2分）如图，已知AC＝DC，∠BCE＝∠ACD，添加一个条件，使△ABC≌△DEC，你添加的条件是 　CB＝CE（答案不唯一）　（填一个即可）．

【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，先根据∠BCE＝∠ACD求出∠BCA＝∠DCE，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
【解答】解：添加的条件是CB＝CE，
理由是：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ECA＝∠ACD+∠ECA，
∴∠BCA＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故答案为：CB＝CE（答案不唯一）．
10．（2分）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为8cm时，对应的时间t为 　15　min．
t（min）
…
1
2
3
5
…
h（cm）
…
2.4
2.8
3.4
4
…

【分析】先根据一次函数的性质判断出错误的h值，再利用待定系数法求出h与t的关系式，最后将h＝8代入即可．
【解答】解：设一次函数的表达式为h＝kt+b，t每增加一个单位h增加或减少k个单位，
∴由表可知，当t＝3时，h的值记录错误．
将（1，2.4）（2，2.8）代入得，，
解得k＝0.4，b＝2，
∴h＝0.4t+2，
将h＝8代入得，t＝15．
故答案为：15．
11．（2分）直线l1：y＝2x+b与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，3），则关于x，y的方程组的解为 　　．
【分析】根据方程组的解就是两函数图象的交点，于是得到结论．
【解答】解：∵直线l1：y＝2x+b与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，3），
∴关于x、y的方程组的解为：；
故答案为：．
12．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是 　　．

【分析】由角平分线的性质可求DE＝BD＝，即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，

∵AD是△ABC的角平分线．∠B＝90°，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝，
∴点D到AC的距离为，
故答案为．
13．（2分）如图所示的网格由边长为1的小正方形组成，点A、B、C在小正方形的顶点上，D为BC的中点，则AD长为 　　．

【分析】先运用勾股定理求出BC，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，
∴BC＝＝＝，
∵∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD＝BC＝，
故答案为：．
14．（2分）如图，在锐角△ABC中、∠A＝80°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为　10　°．

【分析】连接DA、DC，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝100°，根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，DA＝DC，进而得到DB＝DC，∠DBA＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：连接DA、DC，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC，
∴DA＝DB，DA＝DC，
∴DB＝DC，∠DBA＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA，
∴∠DBA+∠DCA＝∠DAB+∠DAC＝80°，
∴∠DBC＝∠DBC＝×（100°﹣80°）＝10°，
故答案为：10．

15．（2分）如图，点Q在线段AC上由A向C匀速运动，速度为a（cm/s），设运动时间为t（s）．CQ＝y（cm），y与t的函数图象经过点（3，2）和（1，6），则a的值为 　2　．

【分析】设y与t的函数关系式解为y＝kx+b，利用待定系数法求出y与t的函数关系式，其中k的绝对值即为速度为a．
【解答】解：设y与t的函数关系式解为y＝kx+b，根据题意，得：
，
解得，
∴y与t的函数关系式解为y＝﹣2x+8，
故速度为a＝|﹣2|＝2．
故答案为：2．
16．（2分）如图，在Rt△DEF中，∠D＝90°，DE＝3，DF＝4，点A、B分别在边DE、DF上，沿直线AB折叠∠D，使点D的对应点C恰好落在边EF上，若△DAB和△DEF中有一组锐角相等，则CE的长为 　或　．

【分析】根据△DAB和△DEF中有一组锐角相等，分两种情况画图：①当∠DAB＝∠E时，cos∠E＝＝，可得CE；②当∠DAB＝∠F时，根据翻折的性质证明CE＝CF＝EF＝即可．
【解答】解：在Rt△DEF中，∠D＝90°，
∵DE＝3，DF＝4，
∴EF＝＝5，
根据题意分两种情况画图：
①如图，当∠DAB＝∠E时，

∴AB∥EF，
由翻折可知：DC⊥AB，
∴DC⊥EF，
∴cosE＝＝，
∴＝，
∴CE＝；
②如图，当∠DAB＝∠F时，

由翻折可知：DC⊥AB，
∴∠EDC+∠DAB＝90°，
∵∠E+∠F＝90°，
∴∠EDC＝∠E，
∴CE＝CD，
同理，CD＝CF，
∴CE＝CF＝EF＝，
综上所述：CE的长为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题有10小题，共68分）
17．（6分）计算或解方程：
（1）﹣+|π﹣3|；
（2）＝+2．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
（2）按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
【解答】解：（1）﹣+|π﹣3|
＝3﹣2+π﹣3
＝π﹣2；
（2）＝+2，
2x+9＝3（4x﹣7）+2（3x﹣9），
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，3x﹣9＝0，
∴x＝3是原方程的增根，
∴原方程无解．
18．（6分）先化简，再求值：1﹣÷，其中a＝3．
【分析】先把除法变成乘法，算乘法，再算减法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：原式＝1﹣•
＝
＝
＝，
当a＝3时，原式＝．
19．（6分）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．求证：OB＝OC．

【分析】因为∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），推出∠OBC＝∠OCB可得结论．
【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠OBC＝∠OCB，
∴BO＝CO．
20．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3、4）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC沿x轴向左平移4个单位得到△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，五边形A2ABCC2的面积为 　15.5　．

【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）根据平移的性质即可画出△ABC沿x轴向左平移4个单位得到△A2B2C2；
（3）根据网格利用割补法即可求出五边形A2ABCC2的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）五边形A2ABCC2的面积＝4×3+（1+3）×3﹣1×31×2＝12+6﹣1.5﹣1＝15.5．
故答案为：15.5．
21．（7分）点A（m，p），B（m+3，q）为一次函数y＝kx+4（k＜0）图象上两点．
（1）若k＝﹣2．
①当y＜0时，x的范围为 　x＞2　．
②若将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图象的表达式为 　y＝﹣2x+7　．
（2）比较p、q的大小，并说明理由．
【分析】（1）①根据题意得到﹣2x+4＜0，解不等式即可求得；②根据平移的规律即可求得；
（2）根据一次函数的性质即可判断．
【解答】解：（1）∵k＝﹣2，
∴一次函数为y＝﹣2x+4，
①∵y＜0，
∴﹣2x+4＜0，
∴x＞2；
②将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图象的表达式为y＝﹣2x+4+3＝﹣2x+7；
故答案为：x＞2；y＝﹣2x+7；
（2）∵一次函数y＝kx+4中，k＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵点A（m，p），B（m+3，q）为一次函数y＝kx+4（k＜0）图象上两点，且m＜m+3，
∴p＞q．
22．（7分）甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元．乙公司比甲公司人均多捐20元．给出如下两个信息：
①甲公司的人数比乙公司的人数多20%；
②甲、乙两公司的人数之比为6：5；
请从以上两个信息中选择一个作为条件，求甲、乙两公司的人数各有多少人？
你选择的条件是 　①（或②）　（填序号），并根据你选择的条件给出求解过程．
【分析】选择①，设乙公司有x人，则甲公司有（1+20%）x人，根据乙公司比甲公司人均多捐20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出乙公司的人数，再将其代入（1+20%）x中即可求出甲公司的人数；
选择②，设乙公司有5y人，则甲公司有6y人，根据乙公司比甲公司人均多捐20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出y的值，再将其分别代入5y，6y中即可求出两公司的人数．
【解答】解：选择①，设乙公司有x人，则甲公司有（1+20%）x人，
依题意得：﹣＝20，
解得：x＝250，
经检验，x＝250是原方程的解，且符合题意，
∴（1+20%）x＝（1+20%）×250＝300．
答：甲公司有300人，乙公司有250人．
选择②，设乙公司有5y人，则甲公司有6y人，
依题意得：﹣＝20，
解得：y＝50，
经检验，y＝50是原方程的解，且符合题意，
∴5y＝5×50＝250，6y＝6×50＝300．
答：甲公司有300人，乙公司有250人．
23．（6分）某工厂生产某种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为每天12000元，生产该产品的原料成本为每件900元．
（1）写出每天的生产成本y元（包括固定成本与原料成本）与每天的生产量x件之间的函数关系式；
（2）如果每件产品的出厂价为1200元，假设生产的产品全部售出，那么每天至少生产多少件产品，该工厂才有盈利？
【分析】（1）根据每天的生产成本＝固定成本+所有产品的原料成本，就可以求出结论；
（2）根据每天产品的售价与每天产品生产成本之间的关系建立不等式求出其解即可．
【解答】解：（1）由题意，得
y＝900x+12000

（2）由题意，得
900x+12000＜1200x，
解得：x＞40
∵x为整数，
∴每天至少生产41件，该工厂才有盈利．
24．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，射线BE交AC于点E，AB＝AE．
（1）作图：只用圆规在射线BE上作出点D，使∠ACD＝90°（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下连接CD，若CE＝1，DE＝2，求AB长．

【分析】（1）以C点为圆心，CB为半径画弧交射线BE于D点；
（2）连接CD，如图，利用勾股定理计算出CD＝，再证明∠CBD＝∠D得到BC＝CD＝，设AB＝x，则AE＝x，利用勾股定理得到x2+（）2＝（x+1）2，然后解方程即可．
【解答】解：（1）如图，点D为所作；

（2）连接CD，如图，
∵∠ACD＝90°，
∴∠D+∠DEC＝90°，CD＝＝＝，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
而∠AEB＝∠DEC，
∴∠ABE＝∠DEC，
∵∠ABE+∠CBD＝90°，
∴∠CBD＝∠D，
∴BC＝CD＝，
设AB＝x，则AE＝x，
在Rt△ABC中，x2+（）2＝（x+1）2，
解得x＝1，
即AB的长为1．
25．（8分）如图①，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段PAi最短，则线段PAi的长度称为点P到图形l的距离．例如：图②中，线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离；线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离．
如图③，在平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为（2，1）、（3，2）、（5，0），直线AB与x轴相交于点C．点P（a，0）（a＞0）为x轴上一动点，设点P到线段AB的距离为d．
（1）①∠BCD＝　45　°；
②若a＝2，求d的值；
（2）若d＝，求a的值；
（3）若点P在线段OD上运动，且d为整数，求a的值．


【分析】（1）①利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而得到点C的坐标，过点A作AE⊥CD于点E，利用等腰三角形的判定与性质即可得出结论；
②利用新定义解答即可；
（2）利用分类讨论的思想方法分①当点P在点E的左侧时，②当点P在点E的右侧时，利用新定义的意义解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分当①点P在点E的左侧时，②当点P与点E重合时，③当点P在点E的右侧时，利用d为整数，令d＝2，d＝1，d＝2，利用勾股定理求出线段PE，PC的长度，进而求得线段OP的长，则结论可得．
【解答】解：（1）①设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：．
∴直线AB的解析式为y＝x﹣1．
令y＝0，则x﹣1＝0，
∴x＝1，
∴C（1，0）．
∴OC＝1．
过点A作AE⊥CD于点E，如图，

则E（2，0）．
∴OE＝2，AE＝1．
∴CE＝OE﹣OC＝1．
∴AE＝CE．
∴∠BCD＝∠CAE＝45°．
故答案为：45；
②若a＝2，点P与点E重合，
∴线段AE的长度为点P到线段AB的距离d，
∴d＝1；
（2）①当点P在点E的左侧时，PA的长为P到线段AB的距离d，
∵AC＝＝，d＝，
∴点P与点C重合．
∴a＝1．
②当点P在点E的右侧时，点P到线段AB的垂线段的长度为P到线段AB的距离d，
过点A作AF⊥AB交x轴于点F，如图，

∵∠BCD＝45°，
∴CF＝AC＝2，AF＝AC＝．
∴点P与点F重合．
∵OF＝OC+CF＝3，
∴P（3，0）．
∴a＝3．
综上，若d＝，a的值为1或3；
（3）①当点P在点E的左侧时，PA的长为P到线段AB的距离d，
∵PA＞AE，d为整数，
∴当d＝2，即PA＝2，如图，

∴PE＝＝．
∴OP＝OE﹣PE＝2﹣．
∴P（2﹣，0）．
∴a＝2﹣．
②当点P与点E重合时，PA＝d＝1，符合题意，
∴P（2，0）．
∴a＝2．
③当点P在点E的右侧时，点P到线段AB的垂线段的长度为P到线段AB的距离d，
过点P作PH⊥AB于点H，如图，

当d＝2时，即PH＝2，
∵∠BCD＝45°，
∴CP＝PH＝2．
∴OP＝OC+CP＝2+1．
∴a＝2+1．
当d＝3时，即PH＝3，
∵∠BCD＝45°，
∴CP＝PH＝3．
∴OP＝OC+CP＝3+1＞5，不合题意．
综上，若点P在线段OD上运动，且d为整数，则a的值为2﹣或1或2+1．
26．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+b（b＜0）与x轴交于点C．点D为直线l上第一象限内一点，过D作DE⊥y轴于点E，CA⊥DE于点A．点B在线段DA上，DB＝AC．连接CB，P为线段CB上一动点，过点P作PR⊥x轴，分别交x轴、CD、DE于点R、Q、S．
（1）若点D坐标为（12，3）．
①求直线BC的函数关系式；
②若Q为RS中点，求点P坐标．
（2）在点P运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．

【分析】（1）①求出，B，C两点坐标，利用待定系数法解决问题即可；
②设P（m，m﹣），则R（m，0），Q（m，m﹣1），S（m，3），根据QS＝QR，构建方程求出m即可解决问题；
（2）结论：＝．如图，过点D作DT⊥x轴于点T．设D（m，m+b），用m，b表示出直线BC的解析式y＝x+b，设P（t，t+b），则R（t，0），Q（t，t+b），用t，b表示出PQ，CR的长，可得结论．
【解答】解：（1）①∵点D（12，3）在直线y＝x+b上，
∴3＝×12+b，
∴b＝﹣1，
∴直线l的解析式为y＝x﹣1，
∴C（3，0），
∵DE⊥y轴，
∴OE＝3，
∵CA⊥OC，
∴AC＝OE＝3，
∴DB＝AC＝3，
∴B（9，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣；

②设P（m，m﹣），则R（m，0），Q（m，m﹣1），S（m，3），
∵QS＝QR，
∴3﹣（m﹣1）＝m﹣1，
∴m＝，
∴P（，）；

（2）结论：＝．
理由：如图，过点D作DT⊥x轴于点T．设D（m，m+b），
∵C（﹣3b，0），
∴OC＝3b，OT＝m，DT＝m+b，
∴CT＝OT﹣OC＝m+3b，
∴AC＝DT＝BD＝m+b，
∴B（m﹣b，m+b），
∴直线BC的解析式为y＝x+b，
设P（t，t+b），则R（t，0），Q（t，t+b），
∴PQ＝t+b﹣（t+b）＝t+b，CR＝t﹣（﹣3b）＝t+3b，
∴＝＝．