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2021-2022学年福建省南平市武夷山市九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年福建省南平市武夷山市九年级（上）期末数学试卷 解析版，共26页。试卷主要包含了选择题，三象限D．第二，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省南平市武夷山市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（4分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（4分）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）已知x＝2是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则实数c的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．（4分）若反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣1），则该反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
5．（4分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．乘坐公共汽车恰好有空座
B．同位角相等
C．打开手机就有未接电话
D．三角形内角和等于180°
6．（4分）下列图形中，∠B＝2∠A的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（4分）关于抛物线y＝（x﹣1）2，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线x＝1
D．顶点（1，0）
8．（4分）在⊙O中，将圆心绕着圆周上一点A旋转一定角度θ，使旋转后的圆心落在⊙O上，则θ的值可以是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0，当k＞6时，方程根的情况是（ ）
A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
10．（4分）某数学兴趣小组在研究二次函数y＝x2+ax+b的图象时，得出如下四个命题：
甲：图象与x轴的一个交点为（3，0）；
乙：图象与x轴的一个交点为（1，0）；
丙：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线；
丁：图象与x轴的交点在原点两侧．
若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）点（2，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（4分）有5个完全相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5这5个数字，现把卡片背面朝上，从中随机抽取一个卡片，其数字是奇数的概率为 ．
13．（4分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为 ．
14．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P是抛物线与x轴的一个交点，若点P的坐标为（4，0），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 ．
15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为（2，3），点Q为图形M上一点，则我们将线段PQ长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．现有⊙O，O为原点，半径为2，则点P视角下⊙O的“宽度”为 ．
16．（4分）如图，A，B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且B为线段AC的中点，过点A作AD⊥x轴于点D，E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE，BE．若S△ABE＝7，则k的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）解下列方程．
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）x（2x+3）＝5（2x+3）．
18．（8分）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．
19．（8分）2020年9月8日，全国抗击新冠肺炎疫情表彰大会在北京人民大会堂隆重举行．中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平向“共和国勋章”获得者钟南山，“人民英雄”国家荣誉称号获得者张伯礼、张定宇、陈薇颁授勋章奖章．如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是“人民英雄”国家荣誉称号获得者张伯礼、张定宇和陈薇的头像，依次记为A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后小华再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明和小华抽取的是同一位“人民英雄”的概率．
20．（8分）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP．
求证：PC是⊙O的切线．
21．（8分）如图，空地上有一段旧墙MN的长为20米，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．
（1）矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）请你设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．
（1）求证：DC＝AC；
（2）若DC＝DB，⊙O的半径为1，求DC的长．
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，2）作x轴，y轴的垂线，与反比例函数y＝（k＜4）的图象分别交于点B，C，直线AB与x轴相交于点D．
（1）当k＝﹣4时，求线段AC，BD的长；
（2）当AC＜2BD时，直接写出k的取值范围．
24．（12分）如图，C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△HAC与等边△DCB，连接DH．
（1）如图1，当∠DHC＝90°时，直接写出DC与CH的数量关系为 ；
（2）在（1）的条件下，点C关于直线DH的对称点为E，连接AE、BE，求证：CE平分∠AEB；
（3）现将图1中△DCB绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），如图2，点C关于直线DH的对称点为E，则（2）中的结论是否成立并证明．
25．（14分）已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．
（1）若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6）．
①求抛物线的解析式；
②若当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；
（2）若点P在第一象限，且PA＝PO，过点P作PD⊥x轴于D，将抛物线y＝x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形OABC的形状，并说明理由．
2021-2022学年福建省南平市武夷山市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（4分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣2|＝2．
故选：A．
2．（4分）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
3．（4分）已知x＝2是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则实数c的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】将x＝2代入x2﹣2x+c＝0得到关于c的方程，解之可得．
【解答】解：根据题意，将x＝2代入x2﹣2x+c＝0，得：22﹣2×2+c＝0，
解得：c＝0，
故选：B．
4．（4分）若反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣1），则该反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【分析】根据反比例函数图象在第一、三象限或在第二、四象限，根据（2，﹣1）所在象限即可作出判断．
【解答】解：点（2，﹣1）在第四象限，则该反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限．
故选：D．
5．（4分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．乘坐公共汽车恰好有空座
B．同位角相等
C．打开手机就有未接电话
D．三角形内角和等于180°
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别．根据实际情况即可解答．
【解答】解：A．乘坐公共汽车恰好有空座，是随机事件；
B．同位角相等，是随机事件；
C．打开手机就有未接电话，是随机事件；
D．三角形内角和等于180°，是必然事件．
故选：D．
6．（4分）下列图形中，∠B＝2∠A的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据圆周角定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A中，∠A＝∠B；
B中，∠A与∠B的大小无法判定；
C中，∠A+∠B＝180°；
D中，∠B＝2∠A．
故选：D．
7．（4分）关于抛物线y＝（x﹣1）2，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线x＝1
D．顶点（1，0）
【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是（1，0），对称轴是直线x＝1，根据a＝1＞0，得出开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2，
A、因为a＝1＞0，开口向上，故说法正确，不符合题意；
B、当x＞1时，y随x的增大而增大，故说法错误，符合题意；
C、因为对称轴是直线x＝1，故说法正确，不符合题意；
D、因为顶点为（1，0），故说法正确，符合题意；
故选：B．
8．（4分）在⊙O中，将圆心绕着圆周上一点A旋转一定角度θ，使旋转后的圆心落在⊙O上，则θ的值可以是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】首先依据题意画出图形，然后依据等边三角形的性质进行判断即可．
【解答】解：如图所示：
由旋转的性质可知：AO＝AO′，
∴OO′＝OA＝AO′，
∴△OAO′为等边三角形．
∴θ＝∠OAO′＝60°．
故选：C．
9．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0，当k＞6时，方程根的情况是（ ）
A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
【分析】先计算判别式的值，再利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义以及根与系数的关系判断方程根的情况．
【解答】解：x2﹣kx+k+3＝0（k＞6），
∵Δ＝（﹣k）2﹣4×1×（k+3）＝k2﹣4k﹣12＝（k﹣2）2﹣16．
∵k＞6，
∴Δ（k﹣2）2﹣16＞0．
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
10．（4分）某数学兴趣小组在研究二次函数y＝x2+ax+b的图象时，得出如下四个命题：
甲：图象与x轴的一个交点为（3，0）；
乙：图象与x轴的一个交点为（1，0）；
丙：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线；
丁：图象与x轴的交点在原点两侧．
若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据抛物线的对称性、抛物线与x轴的交点判断即可．
【解答】解：对于y＝x2+ax+b，二次项系数为1＞0，
∴抛物线开口向上，
当图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线，图象与x轴的一个交点为（3，0）时，
图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），图象与x轴的交点在原点两侧，
∴乙是假命题，
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）点（2，3）关于原点对称的点的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
【分析】根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，结合题意易得答案．
【解答】解：根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
故点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），
故答案为：（﹣2，﹣3）．
12．（4分）有5个完全相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5这5个数字，现把卡片背面朝上，从中随机抽取一个卡片，其数字是奇数的概率为 ．
【分析】让正面的数字是奇数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张卡片中抽取一张，其中正面数字是奇数的有1、3、5这3种结果，
∴正面的数字是奇数的概率为；
故答案为：．
13．（4分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为 ．
【分析】根据已知条件得到∠AOB＝60°，推出△AOB是等边三角形，得到OA＝OB＝AB＝2，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴扇形AOB的面积＝＝，
故答案为：．
14．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P是抛物线与x轴的一个交点，若点P的坐标为（4，0），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 x1＝4，x2＝﹣2 ．
【分析】根据函数的对称轴和点P的坐标可以得出另一交点坐标，从而得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P是抛物线与x轴的一个交点，坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝4，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝4，x2＝﹣2．
15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为（2，3），点Q为图形M上一点，则我们将线段PQ长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．现有⊙O，O为原点，半径为2，则点P视角下⊙O的“宽度”为 4 ．
【分析】连接PA，PB，连接PO并延长，交⊙O于点E，F，利用图形的“宽度”的定义分别求出这点到图形的长度的最大值与最小值即可得出结论．
【解答】解：连接PA，PB，连接PO并延长，交⊙O于点E，F，如图，
则PE，PF为点P到⊙O的长度的最大值与最小值，
∴在点P视角下，⊙O的“宽度”为PF﹣PE＝EF＝4；
故答案为：4．
16．（4分）如图，A，B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且B为线段AC的中点，过点A作AD⊥x轴于点D，E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE，BE．若S△ABE＝7，则k的值为 ﹣12 ．
【分析】连接EC，OA．因为AB＝BC，推出S△AEC＝2•S△AEB＝14，根据S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，构建方程即可解决问题．
【解答】解：设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），
∵AB＝BC，
∴B（）
∴＝k，
∴k+mn＝4k，
∴mn＝3k，
连接EC，OA．
∵AB＝BC，
∴S△AEC＝2•S△AEB＝14，
∵S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，
∴14＝，
∴14＝﹣，
∴k＝﹣12．
解法二：如图，作BH⊥OD于H．
设A（a，），则B（，），OE＝﹣a，DE＝﹣a，HE＝﹣a，BH＝，DH＝﹣a，
∵S△ABE＝S梯形ABHD+S△BHE﹣S△ADE＝7，
∴（+）×（﹣a）+×（﹣a）×﹣×（﹣a）×＝7，
解得k＝﹣12．
故答案为﹣12．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）解下列方程．
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）x（2x+3）＝5（2x+3）．
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式，然后求解即可；
（2）先移项并分解因式，然后求解即可．
【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
∴x+5＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝1；
（2）x（2x+3）＝5（2x+3），
x（2x+3）﹣5（2x+3）＝0，
（2x+3）（x﹣5）＝0，
∴2x+3＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝﹣，x2＝5．
18．（8分）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．
【分析】欲证AE＝DF，可证△ABE≌DCF．由AB∥CD，得∠B＝∠C．又因为∠A＝∠D，BE＝CF，所以△ABE≌△DCF．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
∴AE＝DF．
19．（8分）2020年9月8日，全国抗击新冠肺炎疫情表彰大会在北京人民大会堂隆重举行．中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平向“共和国勋章”获得者钟南山，“人民英雄”国家荣誉称号获得者张伯礼、张定宇、陈薇颁授勋章奖章．如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是“人民英雄”国家荣誉称号获得者张伯礼、张定宇和陈薇的头像，依次记为A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后小华再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明和小华抽取的是同一位“人民英雄”的概率．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数即可，找出符合条件的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意，列表如下：
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
从表中可以看出，有9种等可能结果，而小明小华两次抽到图案都是同一位“人民英雄“的有3种可能结果，
所以P（小明和小华抽取的是同一位“人民英雄”）＝＝．
20．（8分）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP．
求证：PC是⊙O的切线．
【分析】连接OC，根据线段中点的定义得到OE＝EP，求得OE＝EC＝EP，得到∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：连接OC，
∵点E是线段OP的中点，
∴OE＝EP，
∵EC＝EP，
∴OE＝EC＝EP，
∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，
∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，
∴∠ECO+∠ECP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
21．（8分）如图，空地上有一段旧墙MN的长为20米，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．
（1）矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）请你设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
【分析】（1）设AD＝x米，则米，根据矩形的面积公式得出，解之求出x的值，由MN＝20，且x≤MN可确定最终符合题意的x的值，从而得出答案；
（2）设AD＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米，依题意得出，利用二次函数的性质求解可得答案．
【解答】解：（1）设AD＝x米，则米，
依题意得，，
解得x1＝10，x2＝90，
∵MN＝20，且x≤MN，
∴x＝90舍去，
∴利用旧墙AD的长为10米．
（2）设AD＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米，
依题意得：，
∴当0＜x≤20时，S随x的增大而增大，
∴当x＝20时，S最大＝800，
即墙AD的长为20米时，矩形菜园的面积最大，最大面积为800平方米．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．
（1）求证：DC＝AC；
（2）若DC＝DB，⊙O的半径为1，求DC的长．
【分析】（1）连接OD，利用切线的性质可以得到∠ODC＝90°，然后利用等腰三角形的性质，以及等角的余角相等证明∠A＝∠ADC，即可解答；
（2）利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理求出∠DCB＝∠DBC＝∠BDO＝30°，然后在Rt△ODC中进行计算即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，
∴∠BDO+∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠A＝∠ADC，
∴CD＝AC；
（2）∵DC＝DB，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO，
∵∠DCB+∠DBC+∠BDO+∠ODC＝180°，
∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO＝30°，
∴．
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，2）作x轴，y轴的垂线，与反比例函数y＝（k＜4）的图象分别交于点B，C，直线AB与x轴相交于点D．
（1）当k＝﹣4时，求线段AC，BD的长；
（2）当AC＜2BD时，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）分别把x＝2，y＝2分别代入解析式求得对应的函数值和自变量的值，即可求得B（2，﹣2），C（﹣2，2），D（2，0），从而求得AC＝4，BD＝2；
（2）根据题意得出AB＜2BD，即可得出2﹣＜2×或2﹣＜2×（﹣），解得即可．
【解答】解：（1）当k＝﹣4时，反比例函数为y＝﹣，
把x＝2代入得，y＝﹣2，把y＝2代入得，x＝﹣2，
∴B（2，﹣2），C（﹣2，2），D（2，0）．
∴AC＝4，BD＝2；
（2）∵点A（2，2），
∴B（2，），D（2，0），C（，2），
∵AB＝2﹣，AC＝2﹣，
∴AB＝AC，
∵AC＜2BD，
∴AB＜2BD，
当k＞0时，如图1，
2﹣＜2×，
∴k＞，
∴＜k＜4；
当k＜0时，如图2，
2﹣＜2×（﹣），
∴k＜﹣4，
综上，当AC＜2BD时，直接写出k的取值范围是k＜﹣4或．
24．（12分）如图，C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△HAC与等边△DCB，连接DH．
（1）如图1，当∠DHC＝90°时，直接写出DC与CH的数量关系为 CD＝2CH ；
（2）在（1）的条件下，点C关于直线DH的对称点为E，连接AE、BE，求证：CE平分∠AEB；
（3）现将图1中△DCB绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），如图2，点C关于直线DH的对称点为E，则（2）中的结论是否成立并证明．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠HCD＝180°﹣∠ACH﹣∠DCB＝60°，从而得出答案；
（2）由EH＝CH＝AH，则，由（1）可得BC＝2CH＝EC，得，等量代换即可；
（3）根据HC＝HA＝HE，则A，C，E都在以H为圆心，HA为半径的圆上，得，同理可得．，从而证明结论．
【解答】解：（1）CD＝2CH，
∵△HAC与△DCB都是等边三角形，
∴∠ACH＝∠DCB＝60°，AC＝HC，BC＝CD，
∴∠HCD＝180°﹣∠ACH﹣∠DCB＝60°，
∵∠DHC＝90°，
∴∠HDC＝180°﹣∠DHC﹣∠HCD＝30°，
∴CD＝2CH，
故答案为：CD＝2CH；
（2）如图1，由对称性得∠EHD＝90°，EH＝HC，
∵AH＝HC，
∴EH＝AH，
∴，
由（1）可得BC＝2CH＝EC，
∴，
∴∠AEC＝∠BEC，
即CE平分∠AEB；
（3）结论仍然正确，理由如下：
如图，由对称性可知：HC＝HE，
又∵AH＝HC，
∴HC＝HA＝HE，
∴A，C，E都在以H为圆心，HA为半径的圆上，
∴，
同理可得．，
∴∠AEC＝∠BEC，
∴EC平分∠AEB．
25．（14分）已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．
（1）若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6）．
①求抛物线的解析式；
②若当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；
（2）若点P在第一象限，且PA＝PO，过点P作PD⊥x轴于D，将抛物线y＝x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形OABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）①首先求出b的值，然后把b＝﹣2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y＝x2+bx+c求出c的值，抛物线的解析式即可求出；
②运用配方法求出顶点P（1，2）．再求得点（3，6）关于对称轴x＝1的对称点B′的坐标为（﹣1，6），根据抛物线的增减性解答即可；
（2）由PA＝PO，OA＝c，可得PD＝，又知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为P （﹣，），即可求出b和c的关系，进而得到A（0，b2），P（﹣b，b2），D（﹣b，0）．根据B点是直线与抛物线的交点，求出B点的坐标，由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y＝x2+mx+b2．再求出b与m之间的关系，再求出C点的坐标，根据两对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合∠AOC＝90°即可证明四边形OABC是矩形．
【解答】解：（1）①∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点P的横坐标为1，
∴﹣＝1，
解得：b＝﹣2．
∴y＝x2﹣2x+c，
∵抛物线y＝x2﹣2x+c经过点B（3，6），
∴6＝32﹣2×3+c，
解得：c＝3．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+3；
②由y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2知，P（1，2）．
∴点（3，6）关于对称轴x＝1的对称点B′的坐标为（﹣1，6），如图1，
∵当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，
∴﹣1≤m≤1；
（2）如图2，由 PA＝PO，OA＝c，可得PD＝．
∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为 P（﹣，），
∴＝．
∴b2＝2c．
∴抛物线y＝x2+bx+b2，A（0，b2），P（﹣b，b2），D（﹣b，0）．
可得直线OP的解析式为y＝﹣bx．
∵点B是抛物线y＝x2+bx+b2与直线y＝﹣bx的图象的交点，
令﹣bx＝x2+bx+b2．
解得x1＝﹣b，x2＝﹣．
可得点B的坐标为（﹣b，b2）．
由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y＝x2+mx+b2．
将点D（﹣b，0）的坐标代入y＝x2+mx+b2，得m＝b．
则平移后的抛物线解析式为y＝x2+bx+b2．
令y＝0，即x2+bx+b2＝0．
解得x1＝﹣b，x2＝﹣b．
依题意，点C的坐标为（﹣b，0）．
则BC＝b2．
则BC＝OA．
又∵BC∥OA，
∴四边形OABC是平行四边形．
∵∠AOC＝90°，
∴四边形OABC是矩形．
2021-2022学年福建省南平市武夷山市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（4分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（4分）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）已知x＝2是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则实数c的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．（4分）若反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣1），则该反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
5．（4分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．乘坐公共汽车恰好有空座
B．同位角相等
C．打开手机就有未接电话
D．三角形内角和等于180°
6．（4分）下列图形中，∠B＝2∠A的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（4分）关于抛物线y＝（x﹣1）2，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线x＝1
D．顶点（1，0）
8．（4分）在⊙O中，将圆心绕着圆周上一点A旋转一定角度θ，使旋转后的圆心落在⊙O上，则θ的值可以是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0，当k＞6时，方程根的情况是（ ）
A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
10．（4分）某数学兴趣小组在研究二次函数y＝x2+ax+b的图象时，得出如下四个命题：
甲：图象与x轴的一个交点为（3，0）；
乙：图象与x轴的一个交点为（1，0）；
丙：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线；
丁：图象与x轴的交点在原点两侧．
若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）点（2，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（4分）有5个完全相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5这5个数字，现把卡片背面朝上，从中随机抽取一个卡片，其数字是奇数的概率为 ．
13．（4分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为 ．
14．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P是抛物线与x轴的一个交点，若点P的坐标为（4，0），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 ．
15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为（2，3），点Q为图形M上一点，则我们将线段PQ长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．现有⊙O，O为原点，半径为2，则点P视角下⊙O的“宽度”为 ．
16．（4分）如图，A，B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且B为线段AC的中点，过点A作AD⊥x轴于点D，E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE，BE．若S△ABE＝7，则k的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）解下列方程．
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）x（2x+3）＝5（2x+3）．
18．（8分）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．
19．（8分）2020年9月8日，全国抗击新冠肺炎疫情表彰大会在北京人民大会堂隆重举行．中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平向“共和国勋章”获得者钟南山，“人民英雄”国家荣誉称号获得者张伯礼、张定宇、陈薇颁授勋章奖章．如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是“人民英雄”国家荣誉称号获得者张伯礼、张定宇和陈薇的头像，依次记为A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后小华再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明和小华抽取的是同一位“人民英雄”的概率．
20．（8分）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP．
求证：PC是⊙O的切线．
21．（8分）如图，空地上有一段旧墙MN的长为20米，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．
（1）矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）请你设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．
（1）求证：DC＝AC；
（2）若DC＝DB，⊙O的半径为1，求DC的长．
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，2）作x轴，y轴的垂线，与反比例函数y＝（k＜4）的图象分别交于点B，C，直线AB与x轴相交于点D．
（1）当k＝﹣4时，求线段AC，BD的长；
（2）当AC＜2BD时，直接写出k的取值范围．
24．（12分）如图，C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△HAC与等边△DCB，连接DH．
（1）如图1，当∠DHC＝90°时，直接写出DC与CH的数量关系为 ；
（2）在（1）的条件下，点C关于直线DH的对称点为E，连接AE、BE，求证：CE平分∠AEB；
（3）现将图1中△DCB绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），如图2，点C关于直线DH的对称点为E，则（2）中的结论是否成立并证明．
25．（14分）已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．
（1）若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6）．
①求抛物线的解析式；
②若当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；
（2）若点P在第一象限，且PA＝PO，过点P作PD⊥x轴于D，将抛物线y＝x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形OABC的形状，并说明理由．
2021-2022学年福建省南平市武夷山市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（4分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣2|＝2．
故选：A．
2．（4分）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
3．（4分）已知x＝2是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则实数c的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】将x＝2代入x2﹣2x+c＝0得到关于c的方程，解之可得．
【解答】解：根据题意，将x＝2代入x2﹣2x+c＝0，得：22﹣2×2+c＝0，
解得：c＝0，
故选：B．
4．（4分）若反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣1），则该反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【分析】根据反比例函数图象在第一、三象限或在第二、四象限，根据（2，﹣1）所在象限即可作出判断．
【解答】解：点（2，﹣1）在第四象限，则该反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限．
故选：D．
5．（4分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．乘坐公共汽车恰好有空座
B．同位角相等
C．打开手机就有未接电话
D．三角形内角和等于180°
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别．根据实际情况即可解答．
【解答】解：A．乘坐公共汽车恰好有空座，是随机事件；
B．同位角相等，是随机事件；
C．打开手机就有未接电话，是随机事件；
D．三角形内角和等于180°，是必然事件．
故选：D．
6．（4分）下列图形中，∠B＝2∠A的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据圆周角定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A中，∠A＝∠B；
B中，∠A与∠B的大小无法判定；
C中，∠A+∠B＝180°；
D中，∠B＝2∠A．
故选：D．
7．（4分）关于抛物线y＝（x﹣1）2，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线x＝1
D．顶点（1，0）
【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是（1，0），对称轴是直线x＝1，根据a＝1＞0，得出开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2，
A、因为a＝1＞0，开口向上，故说法正确，不符合题意；
B、当x＞1时，y随x的增大而增大，故说法错误，符合题意；
C、因为对称轴是直线x＝1，故说法正确，不符合题意；
D、因为顶点为（1，0），故说法正确，符合题意；
故选：B．
8．（4分）在⊙O中，将圆心绕着圆周上一点A旋转一定角度θ，使旋转后的圆心落在⊙O上，则θ的值可以是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】首先依据题意画出图形，然后依据等边三角形的性质进行判断即可．
【解答】解：如图所示：
由旋转的性质可知：AO＝AO′，
∴OO′＝OA＝AO′，
∴△OAO′为等边三角形．
∴θ＝∠OAO′＝60°．
故选：C．
9．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0，当k＞6时，方程根的情况是（ ）
A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
【分析】先计算判别式的值，再利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义以及根与系数的关系判断方程根的情况．
【解答】解：x2﹣kx+k+3＝0（k＞6），
∵Δ＝（﹣k）2﹣4×1×（k+3）＝k2﹣4k﹣12＝（k﹣2）2﹣16．
∵k＞6，
∴Δ（k﹣2）2﹣16＞0．
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
10．（4分）某数学兴趣小组在研究二次函数y＝x2+ax+b的图象时，得出如下四个命题：
甲：图象与x轴的一个交点为（3，0）；
乙：图象与x轴的一个交点为（1，0）；
丙：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线；
丁：图象与x轴的交点在原点两侧．
若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据抛物线的对称性、抛物线与x轴的交点判断即可．
【解答】解：对于y＝x2+ax+b，二次项系数为1＞0，
∴抛物线开口向上，
当图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线，图象与x轴的一个交点为（3，0）时，
图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），图象与x轴的交点在原点两侧，
∴乙是假命题，
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）点（2，3）关于原点对称的点的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
【分析】根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，结合题意易得答案．
【解答】解：根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
故点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），
故答案为：（﹣2，﹣3）．
12．（4分）有5个完全相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5这5个数字，现把卡片背面朝上，从中随机抽取一个卡片，其数字是奇数的概率为 ．
【分析】让正面的数字是奇数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张卡片中抽取一张，其中正面数字是奇数的有1、3、5这3种结果，
∴正面的数字是奇数的概率为；
故答案为：．
13．（4分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为 ．
【分析】根据已知条件得到∠AOB＝60°，推出△AOB是等边三角形，得到OA＝OB＝AB＝2，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴扇形AOB的面积＝＝，
故答案为：．
14．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P是抛物线与x轴的一个交点，若点P的坐标为（4，0），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 x1＝4，x2＝﹣2 ．
【分析】根据函数的对称轴和点P的坐标可以得出另一交点坐标，从而得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P是抛物线与x轴的一个交点，坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝4，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝4，x2＝﹣2．
15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为（2，3），点Q为图形M上一点，则我们将线段PQ长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．现有⊙O，O为原点，半径为2，则点P视角下⊙O的“宽度”为 4 ．
【分析】连接PA，PB，连接PO并延长，交⊙O于点E，F，利用图形的“宽度”的定义分别求出这点到图形的长度的最大值与最小值即可得出结论．
【解答】解：连接PA，PB，连接PO并延长，交⊙O于点E，F，如图，
则PE，PF为点P到⊙O的长度的最大值与最小值，
∴在点P视角下，⊙O的“宽度”为PF﹣PE＝EF＝4；
故答案为：4．
16．（4分）如图，A，B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且B为线段AC的中点，过点A作AD⊥x轴于点D，E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE，BE．若S△ABE＝7，则k的值为 ﹣12 ．
【分析】连接EC，OA．因为AB＝BC，推出S△AEC＝2•S△AEB＝14，根据S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，构建方程即可解决问题．
【解答】解：设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），
∵AB＝BC，
∴B（）
∴＝k，
∴k+mn＝4k，
∴mn＝3k，
连接EC，OA．
∵AB＝BC，
∴S△AEC＝2•S△AEB＝14，
∵S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，
∴14＝，
∴14＝﹣，
∴k＝﹣12．
解法二：如图，作BH⊥OD于H．
设A（a，），则B（，），OE＝﹣a，DE＝﹣a，HE＝﹣a，BH＝，DH＝﹣a，
∵S△ABE＝S梯形ABHD+S△BHE﹣S△ADE＝7，
∴（+）×（﹣a）+×（﹣a）×﹣×（﹣a）×＝7，
解得k＝﹣12．
故答案为﹣12．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）解下列方程．
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）x（2x+3）＝5（2x+3）．
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式，然后求解即可；
（2）先移项并分解因式，然后求解即可．
【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
∴x+5＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝1；
（2）x（2x+3）＝5（2x+3），
x（2x+3）﹣5（2x+3）＝0，
（2x+3）（x﹣5）＝0，
∴2x+3＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝﹣，x2＝5．
18．（8分）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．
【分析】欲证AE＝DF，可证△ABE≌DCF．由AB∥CD，得∠B＝∠C．又因为∠A＝∠D，BE＝CF，所以△ABE≌△DCF．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
∴AE＝DF．
19．（8分）2020年9月8日，全国抗击新冠肺炎疫情表彰大会在北京人民大会堂隆重举行．中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平向“共和国勋章”获得者钟南山，“人民英雄”国家荣誉称号获得者张伯礼、张定宇、陈薇颁授勋章奖章．如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是“人民英雄”国家荣誉称号获得者张伯礼、张定宇和陈薇的头像，依次记为A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后小华再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明和小华抽取的是同一位“人民英雄”的概率．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数即可，找出符合条件的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意，列表如下：
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
从表中可以看出，有9种等可能结果，而小明小华两次抽到图案都是同一位“人民英雄“的有3种可能结果，
所以P（小明和小华抽取的是同一位“人民英雄”）＝＝．
20．（8分）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP．
求证：PC是⊙O的切线．
【分析】连接OC，根据线段中点的定义得到OE＝EP，求得OE＝EC＝EP，得到∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：连接OC，
∵点E是线段OP的中点，
∴OE＝EP，
∵EC＝EP，
∴OE＝EC＝EP，
∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，
∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，
∴∠ECO+∠ECP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
21．（8分）如图，空地上有一段旧墙MN的长为20米，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．
（1）矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）请你设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
【分析】（1）设AD＝x米，则米，根据矩形的面积公式得出，解之求出x的值，由MN＝20，且x≤MN可确定最终符合题意的x的值，从而得出答案；
（2）设AD＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米，依题意得出，利用二次函数的性质求解可得答案．
【解答】解：（1）设AD＝x米，则米，
依题意得，，
解得x1＝10，x2＝90，
∵MN＝20，且x≤MN，
∴x＝90舍去，
∴利用旧墙AD的长为10米．
（2）设AD＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米，
依题意得：，
∴当0＜x≤20时，S随x的增大而增大，
∴当x＝20时，S最大＝800，
即墙AD的长为20米时，矩形菜园的面积最大，最大面积为800平方米．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．
（1）求证：DC＝AC；
（2）若DC＝DB，⊙O的半径为1，求DC的长．
【分析】（1）连接OD，利用切线的性质可以得到∠ODC＝90°，然后利用等腰三角形的性质，以及等角的余角相等证明∠A＝∠ADC，即可解答；
（2）利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理求出∠DCB＝∠DBC＝∠BDO＝30°，然后在Rt△ODC中进行计算即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，
∴∠BDO+∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠A＝∠ADC，
∴CD＝AC；
（2）∵DC＝DB，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO，
∵∠DCB+∠DBC+∠BDO+∠ODC＝180°，
∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO＝30°，
∴．
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，2）作x轴，y轴的垂线，与反比例函数y＝（k＜4）的图象分别交于点B，C，直线AB与x轴相交于点D．
（1）当k＝﹣4时，求线段AC，BD的长；
（2）当AC＜2BD时，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）分别把x＝2，y＝2分别代入解析式求得对应的函数值和自变量的值，即可求得B（2，﹣2），C（﹣2，2），D（2，0），从而求得AC＝4，BD＝2；
（2）根据题意得出AB＜2BD，即可得出2﹣＜2×或2﹣＜2×（﹣），解得即可．
【解答】解：（1）当k＝﹣4时，反比例函数为y＝﹣，
把x＝2代入得，y＝﹣2，把y＝2代入得，x＝﹣2，
∴B（2，﹣2），C（﹣2，2），D（2，0）．
∴AC＝4，BD＝2；
（2）∵点A（2，2），
∴B（2，），D（2，0），C（，2），
∵AB＝2﹣，AC＝2﹣，
∴AB＝AC，
∵AC＜2BD，
∴AB＜2BD，
当k＞0时，如图1，
2﹣＜2×，
∴k＞，
∴＜k＜4；
当k＜0时，如图2，
2﹣＜2×（﹣），
∴k＜﹣4，
综上，当AC＜2BD时，直接写出k的取值范围是k＜﹣4或．
24．（12分）如图，C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△HAC与等边△DCB，连接DH．
（1）如图1，当∠DHC＝90°时，直接写出DC与CH的数量关系为 CD＝2CH ；
（2）在（1）的条件下，点C关于直线DH的对称点为E，连接AE、BE，求证：CE平分∠AEB；
（3）现将图1中△DCB绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），如图2，点C关于直线DH的对称点为E，则（2）中的结论是否成立并证明．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠HCD＝180°﹣∠ACH﹣∠DCB＝60°，从而得出答案；
（2）由EH＝CH＝AH，则，由（1）可得BC＝2CH＝EC，得，等量代换即可；
（3）根据HC＝HA＝HE，则A，C，E都在以H为圆心，HA为半径的圆上，得，同理可得．，从而证明结论．
【解答】解：（1）CD＝2CH，
∵△HAC与△DCB都是等边三角形，
∴∠ACH＝∠DCB＝60°，AC＝HC，BC＝CD，
∴∠HCD＝180°﹣∠ACH﹣∠DCB＝60°，
∵∠DHC＝90°，
∴∠HDC＝180°﹣∠DHC﹣∠HCD＝30°，
∴CD＝2CH，
故答案为：CD＝2CH；
（2）如图1，由对称性得∠EHD＝90°，EH＝HC，
∵AH＝HC，
∴EH＝AH，
∴，
由（1）可得BC＝2CH＝EC，
∴，
∴∠AEC＝∠BEC，
即CE平分∠AEB；
（3）结论仍然正确，理由如下：
如图，由对称性可知：HC＝HE，
又∵AH＝HC，
∴HC＝HA＝HE，
∴A，C，E都在以H为圆心，HA为半径的圆上，
∴，
同理可得．，
∴∠AEC＝∠BEC，
∴EC平分∠AEB．
25．（14分）已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．
（1）若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6）．
①求抛物线的解析式；
②若当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；
（2）若点P在第一象限，且PA＝PO，过点P作PD⊥x轴于D，将抛物线y＝x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形OABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）①首先求出b的值，然后把b＝﹣2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y＝x2+bx+c求出c的值，抛物线的解析式即可求出；
②运用配方法求出顶点P（1，2）．再求得点（3，6）关于对称轴x＝1的对称点B′的坐标为（﹣1，6），根据抛物线的增减性解答即可；
（2）由PA＝PO，OA＝c，可得PD＝，又知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为P （﹣，），即可求出b和c的关系，进而得到A（0，b2），P（﹣b，b2），D（﹣b，0）．根据B点是直线与抛物线的交点，求出B点的坐标，由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y＝x2+mx+b2．再求出b与m之间的关系，再求出C点的坐标，根据两对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合∠AOC＝90°即可证明四边形OABC是矩形．
【解答】解：（1）①∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点P的横坐标为1，
∴﹣＝1，
解得：b＝﹣2．
∴y＝x2﹣2x+c，
∵抛物线y＝x2﹣2x+c经过点B（3，6），
∴6＝32﹣2×3+c，
解得：c＝3．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+3；
②由y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2知，P（1，2）．
∴点（3，6）关于对称轴x＝1的对称点B′的坐标为（﹣1，6），如图1，
∵当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，
∴﹣1≤m≤1；
（2）如图2，由 PA＝PO，OA＝c，可得PD＝．
∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为 P（﹣，），
∴＝．
∴b2＝2c．
∴抛物线y＝x2+bx+b2，A（0，b2），P（﹣b，b2），D（﹣b，0）．
可得直线OP的解析式为y＝﹣bx．
∵点B是抛物线y＝x2+bx+b2与直线y＝﹣bx的图象的交点，
令﹣bx＝x2+bx+b2．
解得x1＝﹣b，x2＝﹣．
可得点B的坐标为（﹣b，b2）．
由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y＝x2+mx+b2．
将点D（﹣b，0）的坐标代入y＝x2+mx+b2，得m＝b．
则平移后的抛物线解析式为y＝x2+bx+b2．
令y＝0，即x2+bx+b2＝0．
解得x1＝﹣b，x2＝﹣b．
依题意，点C的坐标为（﹣b，0）．
则BC＝b2．
则BC＝OA．
又∵BC∥OA，
∴四边形OABC是平行四边形．
∵∠AOC＝90°，
∴四边形OABC是矩形．
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