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2021-2022学年浙江省衢州市开化县九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年浙江省衢州市开化县九年级（上）期末数学试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为1.5，则点P在（ ）
A．圆外B．圆上C．圆内D．不能确定
2．（3分）一个口袋里装有4个白球，5个黑球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7有（ ）
A．最大值﹣7B．最小值﹣7C．最大值7D．最小值7
4．（3分）两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（ ）
A．16B．8C．2D．1
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（ ）
A．sinA＝B．csA＝C．csB＝D．tanB＝
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．已知AC＝11，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．D．4
7．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
8．（3分）已知（﹣，y1），（1，y2），（，y3）是抛物线y＝2x2﹣8x+3上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1
9．（3分）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（ ）（1尺＝10寸）
A．12寸B．13寸C．24寸D．26寸
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，中线AD，BE相交于点F．EG∥BC，交AD于点G．GF＝1，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．10D．12
二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）二次函数y＝2（x﹣3）2+1图象的顶点坐标是 ．
12．（4分）已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边数是 ．
13．（4分）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有 个．
14．（4分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为点A，交y轴于点B．BC∥x轴，与抛物线交于点C，若将该抛物线进行平移，使顶点落在点C处，则平移后的抛物线表达式为 ．
15．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，∠ADE＝∠B，AE＝3，CE＝1．则CD的长为 ．
16．（4分）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，点D为上一动点，连结AD，BD．AE为⊙O上位于AD右边的一条弦，且∠DAE＝30°，连结CE，则BD与CE所在直线的夹角度数为 °．当BD＝，CE＝4时，此时⊙O的半径为 ．
三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题6分，第22～23小题每小题6分，第24小题12分，共66分请务必写出解答过程）
17．（6分）计算：2cs30°+tan45°﹣|﹣|．
18．（6分）当前疫情防控形势严峻，为确保校园平安，某校严格落实测体温进校园的防控要求．每天早上进校园开设了甲，乙，丙三个测温通道．某天早晨，小明和小丽两位同学随机通过测温通道进入校园．
（1）求小明从甲测温通道通过的概率．
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．
19．（6分）如图，在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），点O，B，C均在格点上．
（1）在网格图中画出△OBC绕点O顺时针旋转90°后的△OB1C1．
（2）在（1）的条件下，求旋转过程中，点C所经过的弧长．（结果保留π）
20．（8分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）若＝，△EFC的面积为9，求△ABC的面积．
21．（8分）如图，为了测量全国5A级景区根博园内醉根塔BC的高度，小凯采用了如下的方法：先从与醉根塔底端B在同一水平线上的点A出发．沿斜坡AD行走65米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得醉根塔顶端C的仰角为60°，醉根塔底端B的俯角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，斜坡AD的坡比i＝1：2.4．根据小凯的测量数据，求：
（1）坡顶D到地面AB的距离．
（2）醉根塔BC的高度（精确到0.1米，≈1.732）．
22．（10分）如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8．C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC，∠CBD＝30°．
（1）求∠COA的度数．
（2）求出CE的长度．
（3）求出图中阴影部分的面积（结果保留π）．
23．（10分）某奶茶店近期推出一款新品奶茶，该款奶茶的制作成本为5元/杯．据市场调查分析，在一个月内，销售单价定为15元时，月销售量为750杯；销售单价每上涨1元，月销售量就减少50杯．设销售单价为x元，月销售量为y杯，月获利为w元（月获利＝月销售额﹣月成本）．
（1）写出y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少元时，月获利w为5000元？
（3）因奶茶原料库存较多，必须保证月销售量不低于650杯，则销售单价为多少元时，月获利最大，最大月获利为多少？
24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点H为AD上的点，且AH＝8，连结BH．点F为BC的中点，点E为BH上的一动点，连结EF，过E点作EG⊥EF，交AD或CD于点G，连结FG．
（1）如图1，当点G与点H重合时，求EF的长．
（2）如图2，当GF∥BH时，求BE的长．
（3）如图3，点E从点B出发，当CG的长为2时，点E停止运动．请直接写出FG的中点T的运动路径长．
2021-2022学年浙江省衢州市开化县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为1.5，则点P在（ ）
A．圆外B．圆上C．圆内D．不能确定
【分析】根据点与圆的位置关系逐个判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为1.5，1.5＜2，
∴点P在⊙O内，
故选：C．
2．（3分）一个口袋里装有4个白球，5个黑球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】用白球的个数除以球的总个数即可求得摸到白球的概率．
【解答】解：∵一个口袋里装有4个白球，5个黑球，它们除颜色外其余都相同，
∴从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为：＝．
故选：A．
3．（3分）二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7有（ ）
A．最大值﹣7B．最小值﹣7C．最大值7D．最小值7
【分析】根据顶点式直接写出答案即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7中，k＝﹣3＜0，
∴二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7，当x＝﹣1时有最大值﹣7，
故选：A．
4．（3分）两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（ ）
A．16B．8C．2D．1
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．
【解答】解：设另一个三角形的周长为x，则
4：x＝，
解得：x＝8．
故另一个三角形的周长为8，
故选：B．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（ ）
A．sinA＝B．csA＝C．csB＝D．tanB＝
【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据锐角三角函数的定义对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∴sinA＝csB＝＝；csA＝＝；tanB＝＝．
故选：B．
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．已知AC＝11，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．D．4
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AC＝11，BC＝6，EF＝4，
∴＝，
解得：DF＝，
∴DE＝DE﹣EF＝﹣4＝，
故选：C．
7．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝60°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．
【解答】解：连接OB，如图，
∵点B是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝×120°＝60°，
∴∠D＝∠AOB＝30°．
故选：A．
8．（3分）已知（﹣，y1），（1，y2），（，y3）是抛物线y＝2x2﹣8x+3上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：∵y＝2x2﹣8x+3＝2（x﹣2）2﹣5，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝2，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵（﹣，y1），（1，y2），（，y3）是抛物线y＝2x2﹣8x+3上的点，
∴点（，y3）关于对称轴x＝2的对称点是（，y3），
∵﹣＜1＜＜2，
∴y1＞y2＞y3，
故选：B．
9．（3分）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（ ）（1尺＝10寸）
A．12寸B．13寸C．24寸D．26寸
【分析】连接OA、OC，由垂径定理得AC＝BC＝AB＝5寸，连接OA，设圆的半径为x寸，再在Rt△OAC中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．
【解答】解：连接OA、OC，如图：
由题意得：C为AB的中点，
则O、C、D三点共线，OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝5（寸），
设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．
在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝13．
∴圆材直径为2×13＝26（寸）．
故选：D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，中线AD，BE相交于点F．EG∥BC，交AD于点G．GF＝1，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．10D．12
【分析】首先根据三角形重心的定义得出点F为△ABC的重心，由重心的性质得出AF＝2DF．再证明△GEF∽△DBF，求出DF＝2GF＝2，那么AF＝2DF＝4，AD＝6，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出BC＝2AD＝12．
【解答】解：在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，
∴点F为△ABC的重心，AE＝EC，BD＝DC，
∴AF＝2DF．
∵EG∥BC，
∴△GEF∽△DBF，
∴＝＝，
∴DF＝2GF＝2×1＝2，
∴AF＝2DF＝4，
∴AD＝AF+FD＝4+2＝6，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，
∴AD＝BC，
∴BC＝2AD＝12．
故选：D．
二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）二次函数y＝2（x﹣3）2+1图象的顶点坐标是 （3，1） ．
【分析】根据顶点式直接解答即可．
【解答】解：二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（3，1）．
故答案为：（3，1）．
12．（4分）已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边数是 6 ．
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：外角是180﹣120＝60度，
360÷60＝6，
则这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
13．（4分）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有 9600 个．
【分析】用总数量乘以合格的头盔数稳定的频率即可．
【解答】解：估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有10000×0.96＝9600（个），
故答案为：9600．
14．（4分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为点A，交y轴于点B．BC∥x轴，与抛物线交于点C，若将该抛物线进行平移，使顶点落在点C处，则平移后的抛物线表达式为 y＝﹣（x﹣2）2+3 ．
【分析】先求得B的坐标，进而求得C的坐标，即可求得平移后的抛物线表达式．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3，
∴B（0，3），
把y＝3代入y＝﹣x2+2x+3得3＝﹣x2+2x+3，
解得x＝0或x＝2，
∴C（2，3），
∴平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x﹣2）2+3，
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+3．
15．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，∠ADE＝∠B，AE＝3，CE＝1．则CD的长为 2 ．
【分析】利用角平分线的定义得∠BAD＝∠CAD，再根据三角形内角和定理可证∠CED＝∠CDA，从而有△ADC∽△DEC，得，代入可得答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵∠ADE＝∠B，
∴∠AED＝∠ADB，
∴∠CED＝∠CDA，
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△DEC，
∴，
∵AE＝3，CE＝1，
∴，
∴CD＝±2（负值舍去），
∴CD＝2，
故答案为：2．
16．（4分）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，点D为上一动点，连结AD，BD．AE为⊙O上位于AD右边的一条弦，且∠DAE＝30°，连结CE，则BD与CE所在直线的夹角度数为 90 °．当BD＝，CE＝4时，此时⊙O的半径为 ．
【分析】延长BD，CE交于点F，连接OB，OC，CD，BE，根据同弧所对圆周角相等证明∠BFC＝90°；设DF＝m，EF＝n，可得BF＝BD+DF＝+m，然后根据含30度角的直角三角形可得n＝1+m，和m＝n+，解得m＝，n＝，然后根据勾股定理可得BC的长，过点O作OH⊥BC于点H，再根据含30度角的直角三角形即可求出OB．
【解答】解：如图，延长BD，CE交于点F，连接OB，OC，CD，BE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠DBC＝∠DAC，∠ECB＝∠BAE，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB
＝180°﹣∠DAC﹣∠BAE
＝180°﹣（∠DAC+∠BAD+∠DAE）
＝180°﹣（∠BAC+∠DAE）
＝180°﹣（60°+30°）
＝90°，
∴BD与CE所在直线的夹角度数为90°；
∵∠DAE＝30°，
∴∠DBE＝∠ECD＝30°，
在Rt△BEF中，设DF＝m，EF＝n，
∴BF＝BD+DF＝+m，
∵∠FBE＝30°，
∴tan30°＝，
∴＝，
∴n＝1+m，
在Rt△CDF中，CE＝4，
∴CF＝CE+EF＝4+n，
∵∠FCD＝30°，
∴tan30°＝，
∴＝，
∴m＝n+，
∴m＝（1+m）+，
解得m＝，
∴n＝，
∴BF＝+m＝+＝，
CF＝4+n＝4+＝，
∴BC＝＝＝，
如图，过点O作OH⊥BC于点H，
∵OB＝OC，
∴BH＝BC＝，
∵∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∴∠BOH＝60°，
∴sin60°＝，
∴OB＝BH÷＝，
∴⊙O的半径为．
故答案为：90；．
三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题6分，第22～23小题每小题6分，第24小题12分，共66分请务必写出解答过程）
17．（6分）计算：2cs30°+tan45°﹣|﹣|．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝2×+1﹣
＝+1﹣
＝1．
18．（6分）当前疫情防控形势严峻，为确保校园平安，某校严格落实测体温进校园的防控要求．每天早上进校园开设了甲，乙，丙三个测温通道．某天早晨，小明和小丽两位同学随机通过测温通道进入校园．
（1）求小明从甲测温通道通过的概率．
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小明从甲测温通道通过的概率为；
（2）列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中小明和小丽从同一个测温通道通过的有3种结果，
所以小明和小丽从同一个测温通道通过的概率为＝．
19．（6分）如图，在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），点O，B，C均在格点上．
（1）在网格图中画出△OBC绕点O顺时针旋转90°后的△OB1C1．
（2）在（1）的条件下，求旋转过程中，点C所经过的弧长．（结果保留π）
【分析】（1）根据旋转的性质即可在网格图中画出△OBC绕点O顺时针旋转90°后的△OB1C1．
（2）根据弧长公式即可求旋转过程中，点C所经过的弧长．
【解答】解：（1）如图，△OB1C1即为所求；
（2）∵OC＝＝2，
∴点C所经过的弧长＝＝π．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）若＝，△EFC的面积为9，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据平行线的性质得∠BED＝∠ECF，∠B＝∠FEC，可证明结论；
（2）由△ABC∽△FEC，得，从而得出答案．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠ECF，
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）∵EF∥AB，
∴△ABC∽△FEC，
∴，
∵，
∴，
∴＝，
又∵△EFC的面积为9，
∴△ABC的面积为49．
21．（8分）如图，为了测量全国5A级景区根博园内醉根塔BC的高度，小凯采用了如下的方法：先从与醉根塔底端B在同一水平线上的点A出发．沿斜坡AD行走65米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得醉根塔顶端C的仰角为60°，醉根塔底端B的俯角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，斜坡AD的坡比i＝1：2.4．根据小凯的测量数据，求：
（1）坡顶D到地面AB的距离．
（2）醉根塔BC的高度（精确到0.1米，≈1.732）．
【分析】（1）过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，得BF＝DH，在Rt△ADH中求出DH；
（2）解直角三角形求出EF、CF的长，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．
则四边形DHBF是矩形，
∴BF＝DH，在Rt△ADH中，AD＝65米，DH：AH＝1：2.4，
∴DH＝25（米），
答：坡顶D到地面AB的距离为25米；
（2）由（1）知，DH＝25米，
∴BF＝DH＝25（米），
在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴EF＝BF＝25（米），
在Rt△EFC中，∠CEF＝60°，tan∠CEF＝tan60°＝＝，
∴CF＝EF＝25≈43.3（米），
∴BC＝BF+CF＝68.3（米）．
即建筑物BC的高度约为68.3米．
22．（10分）如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8．C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC，∠CBD＝30°．
（1）求∠COA的度数．
（2）求出CE的长度．
（3）求出图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠OCB＝∠CBD＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC＝30°，即可求得∠COA＝60°；
（2）根据平行线的性质得到∠AEO＝∠ADB＝90°，由∠AOC＝60°，求得∠A＝30°，即可得到OE＝OA＝OC，即可求得CE＝＝2；
（3）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠COA＝∠OCB+∠OBC＝60°；
（2）∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝OA，
∴CE＝OC＝＝2；
（3）连接OD，
∵∠CBD＝∠OBC＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣＝π﹣4．
23．（10分）某奶茶店近期推出一款新品奶茶，该款奶茶的制作成本为5元/杯．据市场调查分析，在一个月内，销售单价定为15元时，月销售量为750杯；销售单价每上涨1元，月销售量就减少50杯．设销售单价为x元，月销售量为y杯，月获利为w元（月获利＝月销售额﹣月成本）．
（1）写出y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少元时，月获利w为5000元？
（3）因奶茶原料库存较多，必须保证月销售量不低于650杯，则销售单价为多少元时，月获利最大，最大月获利为多少？
【分析】（1）根据月销售量＝750﹣50×销售单价上涨钱数，即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）根据单件利润×销售数量＝5000列出关于x的一元二次方程，解方程求适合题意的x的值即可；
（3）根据月利润＝单件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数关系式，再根据月销售量不低于650杯，求出x的取值范围，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝750﹣50（x﹣15）＝﹣50x+1500，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1500；
（2）根据题意得：（x﹣5）（﹣50x+1500）＝5000，
整理得：x2﹣35x+250＝0，
解得：x1＝10＜15（舍去），x2＝25，
∴当销售单价为25元时，月获利w为5000元；
（3）根据题意得：w＝（x﹣5）（﹣50x+1500）＝﹣50x2+1750x﹣7500＝﹣50（x﹣17.5）2+7812.5，
∵﹣50x+1500≥650，
解得：x≤17，
∵a＝﹣50，
∴当x＜17.5时，w随x的增大而增大，
∴当x＝17时，w取最大值，最大值为7800，
∴当销售单价为17元时，月获利最大，最大月获利为7800元．
24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点H为AD上的点，且AH＝8，连结BH．点F为BC的中点，点E为BH上的一动点，连结EF，过E点作EG⊥EF，交AD或CD于点G，连结FG．
（1）如图1，当点G与点H重合时，求EF的长．
（2）如图2，当GF∥BH时，求BE的长．
（3）如图3，点E从点B出发，当CG的长为2时，点E停止运动．请直接写出FG的中点T的运动路径长．
【分析】（1）证明△BEF∽△HAB，进而求得结果；
（2）BE的值由两个：作EF⊥BC交BH于E，证得△BEF≌△FGC，可得EF＝CG，此时∠FEG＝90°，求得此时BE的值，以FG的中点O为圆心，以OE为半径作圆交BH于E′，作OR⊥BH于H，FT⊥BH于T，求得OR＝FT＝3，进一步求得此时BE的值；
（3）当G从点H运动到点D时，中点T从T′到T″，T′T″是△FHD的中位线，当点G从点D运动到点CG＝2时，TT″是△DFG的中位线，进一步求得结果．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，BC＝AD＝10，AD∥BC，
∴∠AHB＝∠FBE，BH＝＝10，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝，
∵EF⊥EG，
∴∠BEF＝90°，
∴∠BEF＝∠A，
∴△BEF∽△HAB，
∴，
∴，
∴EF＝3；
（2）如图1，
作EF⊥BC交BH于E，
∴∠EFB＝∠C＝90°，
∵FG∥BH，
∴∠EBF＝∠CFG，
∵BF＝CF，
∴△BEF≌△FGC（ASA），
∴EF＝CG，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴四边形EFCG是矩形，
∴∠FEG＝90°，
此时BE＝＝＝，
以FG的中点O为圆心，以OE为半径作圆交BH于E′，作OR⊥BH于H，FT⊥BH于T，
由（1）知：OR＝FT＝3
∴E′R＝ER＝＝＝，
∴BE′＝BE+2EB＝＝，
综上所述：BE＝或；
（3）如图2，
当G从点H运动到点D时，中点T从T′到T″，
T′T″是△FHD的中位线，
∴T′T″＝，
同理可得：TT″＝＝＝3﹣，
∴中点T的路径长是：T′T″+T″T＝4﹣．
抽查的头盔数n
100
200
300
500
800
1000
3000
合格的头盔数m
95
194
289
479
769
960
2880
合格头盔的频率
0.950
0.945
0.962
0.958
0.961
0.960
0.960
抽查的头盔数n
100
200
300
500
800
1000
3000
合格的头盔数m
95
194
289
479
769
960
2880
合格头盔的频率
0.950
0.945
0.962
0.958
0.961
0.960
0.960
甲
乙
丙
甲
（甲，甲）
（乙，甲）
（丙，甲）
乙
（甲，乙）
（乙，乙）
（丙，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丙，丙）
1．（3分）已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为1.5，则点P在（ ）
A．圆外B．圆上C．圆内D．不能确定
2．（3分）一个口袋里装有4个白球，5个黑球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7有（ ）
A．最大值﹣7B．最小值﹣7C．最大值7D．最小值7
4．（3分）两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（ ）
A．16B．8C．2D．1
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（ ）
A．sinA＝B．csA＝C．csB＝D．tanB＝
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．已知AC＝11，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．D．4
7．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
8．（3分）已知（﹣，y1），（1，y2），（，y3）是抛物线y＝2x2﹣8x+3上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1
9．（3分）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（ ）（1尺＝10寸）
A．12寸B．13寸C．24寸D．26寸
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，中线AD，BE相交于点F．EG∥BC，交AD于点G．GF＝1，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．10D．12
二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）二次函数y＝2（x﹣3）2+1图象的顶点坐标是 ．
12．（4分）已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边数是 ．
13．（4分）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有 个．
14．（4分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为点A，交y轴于点B．BC∥x轴，与抛物线交于点C，若将该抛物线进行平移，使顶点落在点C处，则平移后的抛物线表达式为 ．
15．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，∠ADE＝∠B，AE＝3，CE＝1．则CD的长为 ．
16．（4分）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，点D为上一动点，连结AD，BD．AE为⊙O上位于AD右边的一条弦，且∠DAE＝30°，连结CE，则BD与CE所在直线的夹角度数为 °．当BD＝，CE＝4时，此时⊙O的半径为 ．
三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题6分，第22～23小题每小题6分，第24小题12分，共66分请务必写出解答过程）
17．（6分）计算：2cs30°+tan45°﹣|﹣|．
18．（6分）当前疫情防控形势严峻，为确保校园平安，某校严格落实测体温进校园的防控要求．每天早上进校园开设了甲，乙，丙三个测温通道．某天早晨，小明和小丽两位同学随机通过测温通道进入校园．
（1）求小明从甲测温通道通过的概率．
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．
19．（6分）如图，在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），点O，B，C均在格点上．
（1）在网格图中画出△OBC绕点O顺时针旋转90°后的△OB1C1．
（2）在（1）的条件下，求旋转过程中，点C所经过的弧长．（结果保留π）
20．（8分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）若＝，△EFC的面积为9，求△ABC的面积．
21．（8分）如图，为了测量全国5A级景区根博园内醉根塔BC的高度，小凯采用了如下的方法：先从与醉根塔底端B在同一水平线上的点A出发．沿斜坡AD行走65米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得醉根塔顶端C的仰角为60°，醉根塔底端B的俯角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，斜坡AD的坡比i＝1：2.4．根据小凯的测量数据，求：
（1）坡顶D到地面AB的距离．
（2）醉根塔BC的高度（精确到0.1米，≈1.732）．
22．（10分）如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8．C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC，∠CBD＝30°．
（1）求∠COA的度数．
（2）求出CE的长度．
（3）求出图中阴影部分的面积（结果保留π）．
23．（10分）某奶茶店近期推出一款新品奶茶，该款奶茶的制作成本为5元/杯．据市场调查分析，在一个月内，销售单价定为15元时，月销售量为750杯；销售单价每上涨1元，月销售量就减少50杯．设销售单价为x元，月销售量为y杯，月获利为w元（月获利＝月销售额﹣月成本）．
（1）写出y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少元时，月获利w为5000元？
（3）因奶茶原料库存较多，必须保证月销售量不低于650杯，则销售单价为多少元时，月获利最大，最大月获利为多少？
24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点H为AD上的点，且AH＝8，连结BH．点F为BC的中点，点E为BH上的一动点，连结EF，过E点作EG⊥EF，交AD或CD于点G，连结FG．
（1）如图1，当点G与点H重合时，求EF的长．
（2）如图2，当GF∥BH时，求BE的长．
（3）如图3，点E从点B出发，当CG的长为2时，点E停止运动．请直接写出FG的中点T的运动路径长．
2021-2022学年浙江省衢州市开化县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为1.5，则点P在（ ）
A．圆外B．圆上C．圆内D．不能确定
【分析】根据点与圆的位置关系逐个判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为1.5，1.5＜2，
∴点P在⊙O内，
故选：C．
2．（3分）一个口袋里装有4个白球，5个黑球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】用白球的个数除以球的总个数即可求得摸到白球的概率．
【解答】解：∵一个口袋里装有4个白球，5个黑球，它们除颜色外其余都相同，
∴从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为：＝．
故选：A．
3．（3分）二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7有（ ）
A．最大值﹣7B．最小值﹣7C．最大值7D．最小值7
【分析】根据顶点式直接写出答案即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7中，k＝﹣3＜0，
∴二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7，当x＝﹣1时有最大值﹣7，
故选：A．
4．（3分）两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（ ）
A．16B．8C．2D．1
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．
【解答】解：设另一个三角形的周长为x，则
4：x＝，
解得：x＝8．
故另一个三角形的周长为8，
故选：B．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（ ）
A．sinA＝B．csA＝C．csB＝D．tanB＝
【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据锐角三角函数的定义对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∴sinA＝csB＝＝；csA＝＝；tanB＝＝．
故选：B．
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．已知AC＝11，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．D．4
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AC＝11，BC＝6，EF＝4，
∴＝，
解得：DF＝，
∴DE＝DE﹣EF＝﹣4＝，
故选：C．
7．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝60°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．
【解答】解：连接OB，如图，
∵点B是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝×120°＝60°，
∴∠D＝∠AOB＝30°．
故选：A．
8．（3分）已知（﹣，y1），（1，y2），（，y3）是抛物线y＝2x2﹣8x+3上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：∵y＝2x2﹣8x+3＝2（x﹣2）2﹣5，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝2，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵（﹣，y1），（1，y2），（，y3）是抛物线y＝2x2﹣8x+3上的点，
∴点（，y3）关于对称轴x＝2的对称点是（，y3），
∵﹣＜1＜＜2，
∴y1＞y2＞y3，
故选：B．
9．（3分）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（ ）（1尺＝10寸）
A．12寸B．13寸C．24寸D．26寸
【分析】连接OA、OC，由垂径定理得AC＝BC＝AB＝5寸，连接OA，设圆的半径为x寸，再在Rt△OAC中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．
【解答】解：连接OA、OC，如图：
由题意得：C为AB的中点，
则O、C、D三点共线，OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝5（寸），
设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．
在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝13．
∴圆材直径为2×13＝26（寸）．
故选：D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，中线AD，BE相交于点F．EG∥BC，交AD于点G．GF＝1，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．10D．12
【分析】首先根据三角形重心的定义得出点F为△ABC的重心，由重心的性质得出AF＝2DF．再证明△GEF∽△DBF，求出DF＝2GF＝2，那么AF＝2DF＝4，AD＝6，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出BC＝2AD＝12．
【解答】解：在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，
∴点F为△ABC的重心，AE＝EC，BD＝DC，
∴AF＝2DF．
∵EG∥BC，
∴△GEF∽△DBF，
∴＝＝，
∴DF＝2GF＝2×1＝2，
∴AF＝2DF＝4，
∴AD＝AF+FD＝4+2＝6，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，
∴AD＝BC，
∴BC＝2AD＝12．
故选：D．
二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）二次函数y＝2（x﹣3）2+1图象的顶点坐标是 （3，1） ．
【分析】根据顶点式直接解答即可．
【解答】解：二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（3，1）．
故答案为：（3，1）．
12．（4分）已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边数是 6 ．
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：外角是180﹣120＝60度，
360÷60＝6，
则这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
13．（4分）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有 9600 个．
【分析】用总数量乘以合格的头盔数稳定的频率即可．
【解答】解：估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有10000×0.96＝9600（个），
故答案为：9600．
14．（4分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为点A，交y轴于点B．BC∥x轴，与抛物线交于点C，若将该抛物线进行平移，使顶点落在点C处，则平移后的抛物线表达式为 y＝﹣（x﹣2）2+3 ．
【分析】先求得B的坐标，进而求得C的坐标，即可求得平移后的抛物线表达式．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3，
∴B（0，3），
把y＝3代入y＝﹣x2+2x+3得3＝﹣x2+2x+3，
解得x＝0或x＝2，
∴C（2，3），
∴平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x﹣2）2+3，
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+3．
15．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，∠ADE＝∠B，AE＝3，CE＝1．则CD的长为 2 ．
【分析】利用角平分线的定义得∠BAD＝∠CAD，再根据三角形内角和定理可证∠CED＝∠CDA，从而有△ADC∽△DEC，得，代入可得答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵∠ADE＝∠B，
∴∠AED＝∠ADB，
∴∠CED＝∠CDA，
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△DEC，
∴，
∵AE＝3，CE＝1，
∴，
∴CD＝±2（负值舍去），
∴CD＝2，
故答案为：2．
16．（4分）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，点D为上一动点，连结AD，BD．AE为⊙O上位于AD右边的一条弦，且∠DAE＝30°，连结CE，则BD与CE所在直线的夹角度数为 90 °．当BD＝，CE＝4时，此时⊙O的半径为 ．
【分析】延长BD，CE交于点F，连接OB，OC，CD，BE，根据同弧所对圆周角相等证明∠BFC＝90°；设DF＝m，EF＝n，可得BF＝BD+DF＝+m，然后根据含30度角的直角三角形可得n＝1+m，和m＝n+，解得m＝，n＝，然后根据勾股定理可得BC的长，过点O作OH⊥BC于点H，再根据含30度角的直角三角形即可求出OB．
【解答】解：如图，延长BD，CE交于点F，连接OB，OC，CD，BE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠DBC＝∠DAC，∠ECB＝∠BAE，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB
＝180°﹣∠DAC﹣∠BAE
＝180°﹣（∠DAC+∠BAD+∠DAE）
＝180°﹣（∠BAC+∠DAE）
＝180°﹣（60°+30°）
＝90°，
∴BD与CE所在直线的夹角度数为90°；
∵∠DAE＝30°，
∴∠DBE＝∠ECD＝30°，
在Rt△BEF中，设DF＝m，EF＝n，
∴BF＝BD+DF＝+m，
∵∠FBE＝30°，
∴tan30°＝，
∴＝，
∴n＝1+m，
在Rt△CDF中，CE＝4，
∴CF＝CE+EF＝4+n，
∵∠FCD＝30°，
∴tan30°＝，
∴＝，
∴m＝n+，
∴m＝（1+m）+，
解得m＝，
∴n＝，
∴BF＝+m＝+＝，
CF＝4+n＝4+＝，
∴BC＝＝＝，
如图，过点O作OH⊥BC于点H，
∵OB＝OC，
∴BH＝BC＝，
∵∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∴∠BOH＝60°，
∴sin60°＝，
∴OB＝BH÷＝，
∴⊙O的半径为．
故答案为：90；．
三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题6分，第22～23小题每小题6分，第24小题12分，共66分请务必写出解答过程）
17．（6分）计算：2cs30°+tan45°﹣|﹣|．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝2×+1﹣
＝+1﹣
＝1．
18．（6分）当前疫情防控形势严峻，为确保校园平安，某校严格落实测体温进校园的防控要求．每天早上进校园开设了甲，乙，丙三个测温通道．某天早晨，小明和小丽两位同学随机通过测温通道进入校园．
（1）求小明从甲测温通道通过的概率．
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小明从甲测温通道通过的概率为；
（2）列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中小明和小丽从同一个测温通道通过的有3种结果，
所以小明和小丽从同一个测温通道通过的概率为＝．
19．（6分）如图，在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），点O，B，C均在格点上．
（1）在网格图中画出△OBC绕点O顺时针旋转90°后的△OB1C1．
（2）在（1）的条件下，求旋转过程中，点C所经过的弧长．（结果保留π）
【分析】（1）根据旋转的性质即可在网格图中画出△OBC绕点O顺时针旋转90°后的△OB1C1．
（2）根据弧长公式即可求旋转过程中，点C所经过的弧长．
【解答】解：（1）如图，△OB1C1即为所求；
（2）∵OC＝＝2，
∴点C所经过的弧长＝＝π．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）若＝，△EFC的面积为9，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据平行线的性质得∠BED＝∠ECF，∠B＝∠FEC，可证明结论；
（2）由△ABC∽△FEC，得，从而得出答案．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠ECF，
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）∵EF∥AB，
∴△ABC∽△FEC，
∴，
∵，
∴，
∴＝，
又∵△EFC的面积为9，
∴△ABC的面积为49．
21．（8分）如图，为了测量全国5A级景区根博园内醉根塔BC的高度，小凯采用了如下的方法：先从与醉根塔底端B在同一水平线上的点A出发．沿斜坡AD行走65米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得醉根塔顶端C的仰角为60°，醉根塔底端B的俯角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，斜坡AD的坡比i＝1：2.4．根据小凯的测量数据，求：
（1）坡顶D到地面AB的距离．
（2）醉根塔BC的高度（精确到0.1米，≈1.732）．
【分析】（1）过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，得BF＝DH，在Rt△ADH中求出DH；
（2）解直角三角形求出EF、CF的长，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．
则四边形DHBF是矩形，
∴BF＝DH，在Rt△ADH中，AD＝65米，DH：AH＝1：2.4，
∴DH＝25（米），
答：坡顶D到地面AB的距离为25米；
（2）由（1）知，DH＝25米，
∴BF＝DH＝25（米），
在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴EF＝BF＝25（米），
在Rt△EFC中，∠CEF＝60°，tan∠CEF＝tan60°＝＝，
∴CF＝EF＝25≈43.3（米），
∴BC＝BF+CF＝68.3（米）．
即建筑物BC的高度约为68.3米．
22．（10分）如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8．C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC，∠CBD＝30°．
（1）求∠COA的度数．
（2）求出CE的长度．
（3）求出图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠OCB＝∠CBD＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC＝30°，即可求得∠COA＝60°；
（2）根据平行线的性质得到∠AEO＝∠ADB＝90°，由∠AOC＝60°，求得∠A＝30°，即可得到OE＝OA＝OC，即可求得CE＝＝2；
（3）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠COA＝∠OCB+∠OBC＝60°；
（2）∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝OA，
∴CE＝OC＝＝2；
（3）连接OD，
∵∠CBD＝∠OBC＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣＝π﹣4．
23．（10分）某奶茶店近期推出一款新品奶茶，该款奶茶的制作成本为5元/杯．据市场调查分析，在一个月内，销售单价定为15元时，月销售量为750杯；销售单价每上涨1元，月销售量就减少50杯．设销售单价为x元，月销售量为y杯，月获利为w元（月获利＝月销售额﹣月成本）．
（1）写出y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少元时，月获利w为5000元？
（3）因奶茶原料库存较多，必须保证月销售量不低于650杯，则销售单价为多少元时，月获利最大，最大月获利为多少？
【分析】（1）根据月销售量＝750﹣50×销售单价上涨钱数，即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）根据单件利润×销售数量＝5000列出关于x的一元二次方程，解方程求适合题意的x的值即可；
（3）根据月利润＝单件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数关系式，再根据月销售量不低于650杯，求出x的取值范围，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝750﹣50（x﹣15）＝﹣50x+1500，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1500；
（2）根据题意得：（x﹣5）（﹣50x+1500）＝5000，
整理得：x2﹣35x+250＝0，
解得：x1＝10＜15（舍去），x2＝25，
∴当销售单价为25元时，月获利w为5000元；
（3）根据题意得：w＝（x﹣5）（﹣50x+1500）＝﹣50x2+1750x﹣7500＝﹣50（x﹣17.5）2+7812.5，
∵﹣50x+1500≥650，
解得：x≤17，
∵a＝﹣50，
∴当x＜17.5时，w随x的增大而增大，
∴当x＝17时，w取最大值，最大值为7800，
∴当销售单价为17元时，月获利最大，最大月获利为7800元．
24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点H为AD上的点，且AH＝8，连结BH．点F为BC的中点，点E为BH上的一动点，连结EF，过E点作EG⊥EF，交AD或CD于点G，连结FG．
（1）如图1，当点G与点H重合时，求EF的长．
（2）如图2，当GF∥BH时，求BE的长．
（3）如图3，点E从点B出发，当CG的长为2时，点E停止运动．请直接写出FG的中点T的运动路径长．
【分析】（1）证明△BEF∽△HAB，进而求得结果；
（2）BE的值由两个：作EF⊥BC交BH于E，证得△BEF≌△FGC，可得EF＝CG，此时∠FEG＝90°，求得此时BE的值，以FG的中点O为圆心，以OE为半径作圆交BH于E′，作OR⊥BH于H，FT⊥BH于T，求得OR＝FT＝3，进一步求得此时BE的值；
（3）当G从点H运动到点D时，中点T从T′到T″，T′T″是△FHD的中位线，当点G从点D运动到点CG＝2时，TT″是△DFG的中位线，进一步求得结果．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，BC＝AD＝10，AD∥BC，
∴∠AHB＝∠FBE，BH＝＝10，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝，
∵EF⊥EG，
∴∠BEF＝90°，
∴∠BEF＝∠A，
∴△BEF∽△HAB，
∴，
∴，
∴EF＝3；
（2）如图1，
作EF⊥BC交BH于E，
∴∠EFB＝∠C＝90°，
∵FG∥BH，
∴∠EBF＝∠CFG，
∵BF＝CF，
∴△BEF≌△FGC（ASA），
∴EF＝CG，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴四边形EFCG是矩形，
∴∠FEG＝90°，
此时BE＝＝＝，
以FG的中点O为圆心，以OE为半径作圆交BH于E′，作OR⊥BH于H，FT⊥BH于T，
由（1）知：OR＝FT＝3
∴E′R＝ER＝＝＝，
∴BE′＝BE+2EB＝＝，
综上所述：BE＝或；
（3）如图2，
当G从点H运动到点D时，中点T从T′到T″，
T′T″是△FHD的中位线，
∴T′T″＝，
同理可得：TT″＝＝＝3﹣，
∴中点T的路径长是：T′T″+T″T＝4﹣．
抽查的头盔数n
100
200
300
500
800
1000
3000
合格的头盔数m
95
194
289
479
769
960
2880
合格头盔的频率
0.950
0.945
0.962
0.958
0.961
0.960
0.960
抽查的头盔数n
100
200
300
500
800
1000
3000
合格的头盔数m
95
194
289
479
769
960
2880
合格头盔的频率
0.950
0.945
0.962
0.958
0.961
0.960
0.960
甲
乙
丙
甲
（甲，甲）
（乙，甲）
（丙，甲）
乙
（甲，乙）
（乙，乙）
（丙，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丙，丙）
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