四川省攀枝花市第十五中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学（理科）试题 Word版含解析

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一､选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

1.不等式的解集为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

原不等式可变形为,所以 .
故本题正确答案是

2.已知向量，，则（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意得，故选B.

考点：本题考查平面向量的坐标运算，属于容易题.

3.设、、且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用特殊值法可判断B、D选项的正误，利用不等式的基本性质可判断A选项的正误，利用作差法可判断C选项的正误，进而可得出正确选项.

【详解】对于A选项，当时，，，A选项错误；

对于B选项，取，，则，B选项错误；

对于C选项，，

，则、中至少有一个不为零，所以，，则，

所以，，即，C选项正确；

对于D选项，取，，则，D选项错误.

故选：C.

【点睛】本题考查代数式的大小比较，一般利用不等式的基本性质、作差（商）法、特殊值法来比较，考查推理能力，属于基础题.

4.在，内角所对的边分别为，且，则（   ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用余弦定理求解.

【详解】由余弦定理得.

故选C

【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

5.在等差数列中，，则前项的和为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由等差数列的性质得出的值，再利用等差数列的前项和公式即可求出等差数列的前项和.

【详解】由等差数列的性质可得，由等差数列的前项和公式可知，等差数列的前项和为，故选A.

【点睛】本题考查等差数列性质应用，同时也考查了等差数列前项和公式的应用，灵活利用等差数列的基本性质进行计算，可简化计算，考查计算能力，属于基础题.

6.已知正的边长为4，点为边的中点，点满足，那么的值为（　　）

A.  B.  C. 1 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】

由二倍角公式得求得tan∠BED，即可求得cos∠BEC，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．

【详解】

由已知可得：EB=EC= ，

又

所以

所以

故选B．

【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．

7.在等差数列{an}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（    ）

A. ﹣5 B. ﹣7 C. ﹣9 D. ﹣11

【答案】B

【解析】

【分析】

由a3＝5，S4＝24用通项公式和前项和公式列出关于,的方程，得到的通项公式，从而求出答案.

【详解】数列{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，

∵a3＝5，S4＝24，

∴a1+2d＝5，4a1+d＝24，

联立解得a1＝9，d＝﹣2，

则a9＝9﹣2×8＝﹣7．

故选：B.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式的应用，属于基础题.

8.古代数字著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于100尺，该女子所需的天数至少为（    ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，得到女子每天所织的布构成等比数列，求出首项，得到求和公式，进而可求出结果.

【详解】由题意，该女子每天所织的布构成等比数列，记为，其前项和记为，

根据题中数据可得，公比为，，所以，即，

因此，

由可得，，

又，所以只需.

即该女子所需的天数至少为10天.

故选：C.

【点睛】本题主要考查等比数列的简单应用，熟记等比数列的求和公式即可，属于常考题型.

9.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的面积是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，利用余弦定理可得ab，再利用三角形面积计算公式即可得出答案．

【详解】由c2＝（a﹣b）2+6，可得c2＝a2+b2﹣2ab+6，

由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab，

所以：a2+b2﹣2ab+6＝a2+b2﹣ab，

所以ab＝6；

则S△ABCabsinC；

故选：C．

【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积计算公式，关键是利用余弦定理求出ab的值.

10.已知等比数列的前项和为，若，，则的公比为（    ）

A. 或 B. 或 C. 或2 D. 3或

【答案】A

【解析】

【分析】

利用已知可得：及，联立方程组，解方程组即可得解.

【详解】设等比数列的公比为，

则，，

所以两式相除，得，即，

解得或，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前项和公式，考查了方程思想及计算能力，属于基础题.

11.的外接圆的圆心为O，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

化简，可得，则共线，由均在圆上，且为圆心，故为直径，求得，利用数量积的几何意义可得结果,.

【详解】

因为，所以，

所以，

所以，

所以共线，

因为均在圆上，且为圆心，故为直径，长度为2，在圆上直径所对的角为直角，所以，

因为，所以，

又因为，所以

，如图所示．

所以向量在向量方向上的投影为.

【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．

12.设首项为1的数列的前n项和为，已知，

现有下面四个结论

①数列为等比数列；

②数列的通项公式为；

③数列为等比数列；

④数列的前n项和为.

其中结论正确的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据递推关系可得，可得①正确，利用等比数列求出，根据前n项和求，可判断②③，计算，并分组求和可判断④.

【详解】因为，

所以，

又.

所以数列为首项是2，公比是2的等比数列，

所以，

则.

当时，，

但，

所以①正确，②③错误，

因，

所以的前n项和为，

所以④正确.

故选：B

【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列的证明，由求数列的通项公式，属于中档题.

二､填空题：(本题共4小题，每小题5分)

13.已知向量，，且，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据向量共线的坐标表示，得到，即可求出结果.

【详解】因为，，且，

所以，解得.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.

14.不等式的解集为________.

【答案】

【解析】

【分析】

将分式不等式转化为不等式组可解得.

【详解】解：原不等式等价于不等式组

解得，

所以所求不等式的解集为.

故答案为: .

【点睛】本题考查了分式不等式,一元二次不等式,属于基础题.

15.设x，y，z是实数3x，4y，5z成等比数列，且，，成等差数列，则的值是________．

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可得到与之间的关系，将等式左端展开整理即可得答案．

【详解】3x，4y，5z成等比数列，，

又，，成等差数列，，即，

，由，得，

展开得：，等式左端分子分母同时除以得：，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查等差数列和等比数列性质的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.

16.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为________．

【答案】

【解析】

【分析】

△ACD中求出AC，△ABD中求出BC，△ABC中利用余弦定理可得结果.

【详解】解：由已知，△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，

∴∠DAC=15°由正弦定理得，

△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，

∴∠DBC=30°，

由正弦定理，，

所以BC；

△ABC中，由余弦定理，

AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB＝

解得：AB，

则两目标A，B间的距离为．

故答案为．

点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题．

三､解答题：(17题10分，其余每小题12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)

17.已知平面向量，．

（1）若与垂直，求；

（2）若，求．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

(1)根据垂直数量积为0求解即可.

(2)根据平行的公式求解,再计算即可.

【详解】解：（1）由已知得,,解得或．

因为,所以．

（2）若,则,所以或．

因为,所以．所以,所以．

【点睛】本题主要考查了向量垂直与平行的运用以及模长的计算,属于基础题型.

18.已知等差数列满足．

（1） 求的通项公式；

（2） 设等比数列满足,求的前项和．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据基本元的思想，将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组可求得的值.并由此求得数列的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，根据基本元的思想，，将其转化为的形式，由此求得的值，根据等比数列前项和公式求得数列的前项和.

【详解】解：（1）设的公差为，则由得,

故的通项公式，即．

（2）由（1）得．

设的公比为，则，从而，

故的前项和．

【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想解有关等差数列和等比数列的问题，属于基础题.

19.设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.

(1)求B的大小．

(2)若，，求b.

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理可解得角B；（2）由余弦定理，将已知代入，可得b．

【详解】解：（1）由，得，又因B为锐角，解得．

(2)由题得，解得．

【点睛】本题考查正，余弦定理解三角形，属于基础题．

20.设为正项数列的前项和，且满足.

（1）求的通项公式；

（2）令，，若恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）代入求得，根据与的关系可求得，可知数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得结果；验证后可得最终结果；（2）由（1）可得，采用裂项相消的方法求得，可知，从而得到的范围.

【详解】（1）由题知：，……①

令得：，解得：

当时，……②

①-②得：    ∴，即

是以为首项，为公差的等差数列   

经验证满足

（2）由（1）知：

即

【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求和，关键是能够利用与的关系证得数列为等差数列，从而求得通项公式，属于常规题型.

21.在中，、、分别是角、、的对边，且成等差数列.

（1）求角的大小；

（2）若，求周长的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由等差数列得，利用正弦定理化边为角后右边通分应用两角和的正弦公式及诱导公式化简变形，可得，即得角；

（2）由正弦定理可把边用角表示，利用三角函数恒等变换及正弦函数性质可得所求范围．

【详解】解：（1）由题意得

由正弦定理得：

∵， 

∴，

所以.

（2）由正弦定理

则周长为

 ，

∵

∴

从而周长的取值范围为

【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和与差的正弦公式，考查正弦函数的性质，解题中边角转换是解题关键，

22.已知数列的前项和为，满足，，数列满足，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列是等差数列，求数列的通项公式；

（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）或.

【解析】

【分析】

（1）运用数列的递推式以及数列的和与通项的关系可得，再由等比数列的定义、通项公式可得结果；（2）对等式两边除以，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（3）求得，由数列的错位相减法求和，可得，化简,即，对任意的成立，运用数列的单调性可得最大值，解不等式可得所求范围．

【详解】(1)，可得，即；

时,,又，

相减可得,即，

则；

(2)证明：，

可得，

可得是首项和公差均为1的等差数列，

可得,即；

(3) ，

前n项和为，

，

相减可得

，

可得，

,即为，

即,对任意的成立，

由，

可得为递减数列，即n=1时取得最大值1−2=−1，

可得，即或.

【点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.