安徽省池州市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com2019-2020学年安徽池州一中高一第二学期期中数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题）.

1.在中，，，，则等于（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用余弦定理求得的值，结合角的取值范围可求得角的值.

【详解】因为在中，，，，

所以由余弦定理可得：，

，因此，.

故选：C.

【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.

2.下列函数中，在区间上为减函数的是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用余弦函数、正弦函数的单调性可判断A、C选项中函数在区间上的单调性，利用对数函数的单调性可判断B选项中的函数在区间上的单调性，利用反比例函数的单调性可判断D选项中函数在区间上的单调性，综合可得出结论.

【详解】结合余弦函数的性质可知，函数在上不单调，故A错误；

结合对数函数的性质及函数的图象平移可知，函数在上单调递增，故B错误；

结合正弦函数的性质可知，函数在上单调递减，故C正确；

结合反比例函数的性质及函数图象的平移可知在上单调递增，故D错误.

故选：C.

【点睛】本题考查基本初等函数在区间上单调性的判断，熟悉几种常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.

3.函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

函数表达式中含有绝对值及对数，分别求出满足的条件

【详解】要使函数有意义，应满足

则，且

所以的定义域为

故选

【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法，找出题目中的限制条件，有根号的要满足根号内大于或等于零，有对数的要满足真数位置大于零．

4.等比数列中，，则数列的前8项和等于( )

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：利用等比数列性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．

解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，

∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．

∴lga1+lga2+…+lga8

=lg（a1a2…×a8）

=

=4lg10

=4．

故选C．

考点：等比数列的前n项和．

5.实数，满足（），且的最大值是最小值的倍，则的值是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

试题分析：在直角坐标系中作出可行域如下图所示，当目标函数经过可行域中的点时有最大值，当目标函数经过可行域中的点时有最小值，由得，故选B．

考点：线性规划．

6.下列函数中，以为周期且在区间上单调递减的是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

求出各选项中函数的最小正周期，并判断各函数在区间上的单调性，由此可得出合适的选项.

【详解】对于选项A，，，则，A选项错误；

对于选项B，函数的最小正周期为，当时，，，该函数在区间上单调递增，B选项错误；

对于选项C，函数不存在单调递减区间，C选项错误；

对于选项D，函数的最小正周期为，当时，，，该函数在区间上单调递减，D选项正确.

故选：D.

【点睛】本题考查正弦、余弦和正切型函数单调性与周期性的判断，熟悉这几种函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于中等题.

7.在中，则的值等于（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

分析：先利用三角形的面积公式求得的值，进而利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.

详解：由题意，在中，

利用三角形的面积公式可得，

解得，

又由余弦定理得，解得，

由正弦定理得，故选A.

点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.

8.若，给出下列不等式：①；②|a|＋b＞0；③；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是(　　)

A. ①④ B. ①③ C. ②③ D. ②④

【答案】B

【解析】

【分析】

利用不等式的性质以及对数的单调性即可逐一判断.

【详解】，可得，

则下列不等式：①，成立；

②|a|＋b＞0，不成立；

③，则，

，成立，

④，不成立；

故选：B

【点睛】本题考查了不等式的性质，对数函数的单调性，需熟记性质，属于基础题.

9.已知的内角、、的对边分别为、、，，若，则的周长的取值范围为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可求得角值，利用基本不等式以及三角形三边关系可求得的取值范围，由此可得出的周长的取值范围.

【详解】，由正弦定理可得，

由余弦定理得，，，

由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，此时，

由三角形三边关系可得，所以，则，

所以，的周长的取值范围为.

故选：A.

【点睛】本题考查利用三角形周长取值范围的求解，考查了正弦定理边角互化与余弦定理的应用，同时也考查了基本不等式与三角形三边关系的应用，考查计算能力，属于中等题.

10.已知奇函数f（x）在[-1,0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（    ）

A. f（cosα）＞f（cosβ） B. f（sinα）＞f（sinβ）

C. f（sinα）＜f（cosβ） D. f（sinα）＞f（cosβ）

【答案】C

【解析】

∵奇函数y=f(x)在[−1,0]上为单调递减函数，

∴f(x)在[0,1]上为单调递减函数，

∴f(x)在[−1,1]上为单调递减函数，

又α、β为锐角三角形的两内角，

∴，

∴，

∴，

∴.

故选C.

点睛：（1）在锐角三角形中，，，同理可得：，即锐角三角形中的任意一个角的正弦值大于其它角的余弦值；

（2）奇函数图象关于原点对称，单调性在y轴左右两侧相同.

11.设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（    ）

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

【答案】C

【解析】

∵，∴，∴，，∴，，∴满足的正整数的值为12，故选C.

12.在中，有正弦定理：定值，这个定值就是的外接圆的直径如图2所示，中，已知，点M在直线EF上从左到右运动点M不与E、F重合，对于M的每一个位置，记的外接圆面积与的外接圆面积的比值为，那么　　

A. 先变小再变大

B. 仅当M为线段EF的中点时，取得最大值

C. 先变大再变小

D. 是一个定值

【答案】D

【解析】

【分析】

设△DEM的外接圆半径为R1，△DMF的外接圆半径为R2，由正弦定理得R1，R2，结合DE＝DF，sin∠DME＝sin∠DMF，得λ＝1，由此能求出结果．

【详解】设的外接圆半径为，的外接圆半径为，

则由题意，，

点M在直线EF上从左到右运动点M不与E、F重合，

对于M的每一个位置，由正弦定理可得：，，

又，，

可得：，

可得：．

故选D．

【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角形的外接圆、正弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.

13.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1，S3=7，则S5=____________.

【答案】

【解析】

∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4=1，

∴设{an}的公比为q，则q>0，且，即a3=1.

∵S3=7，∴a1＋a2＋a3=＋＋1=7，即6q2－q－1=0.

故q=或q=－(舍去)，∴a1==4.∴S5==8(1－)=.

点睛：等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．

14.年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，池州一中需要安排男教师名，女教师名做义工，和需满足条件，则该校安排教师最多为_____人.

【答案】

【解析】

分析】

作出不等式组所表示的可行域，可知目标函数为，结合图形找出使得取得最大值时对应的最优解，代入目标函数计算即可.

【详解】由于和需满足约束条件，画出可行域为：

对于需要求该校招聘教师人数最多，目标函数为，得，

则题意转化为：在可行域内任意取、且为整数，使得目标函数的斜率为定值，截距最大时的直线为过 的交点，

因为，当直线经过点时，取最大值，即.

故答案为：.

【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性规划中的整数解的问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

15.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____．

【答案】（-4，2）

【解析】

试题分析：因为当且仅当时取等号，所以

考点：基本不等式求最值

16.数列满足：，，若，且数列的单调递增数列，则实数的取值范围为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

由题意，数列满足，取倒数可得，

即，利用等比数列的通项公式可得，代入得，再利用数列的单调性，即可求解.

【详解】由题意，数列满足 ，取倒数可得，即，所以数列表示首项为2，公比为2的等比数列，所以，

所以，

因为数列是单调递增数列，所以当时，，

即；

当时，，因此.

【点睛】本题主要考查了等比数列的定义的通项公式，以及数列的递推关系式，数列的单调性等知识点的综合应用，其中解答中根据等比数列的定义和递推关系式，合理利用数列的单调性，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题10分，其它题均为12分.

17.（1）已知，求的最大值；

（2）已知、是正实数，且，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求得函数的最大值；

（2）由题意可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】（1）因为，，

，

当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，函数的最大值为；

（2）、是正实数，且，.

则，

当且仅当且时取等号，此时取得最小值.

【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解答的关键就是对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.

18.的内角、、所对的边分别为、、，已知.

（1）求角；

（2）若，求面积取值范围.

【答案】（1） ；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式可求得的值，再结合角的取值范围可求得角的值；

（2）利用正弦定理、两角和的正弦公式，结合三角恒等变换思想以及三角形的面积化简得出，求得角的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得面积的取值范围.

【详解】（1）由，及正弦定理得：，

所以，即，

因为，，所以，

又因为，所以；

（2）因为，由正弦定理得，则，，

因为，

，，，所以，

所以，即面积的取值范围为.

【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查了三角形面积取值范围的计算，考查了三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.

19.已知数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）令可求得的值，令，由得出，两式作差可推导出数列是等比数列，确定该等比数列的公比，进而可求得数列的通项公式；

（2）求得，然后利用错位相减法可求得数列的前项和.

【详解】（1），当时，则，解得；

当时，由得出，

上述两个等式作差得，，，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，；

（2）由（1）可得，

，

，

上式下式得，

因此，.

【点睛】本题考查利用与之间的关系求通项，同时也考查了错位相减求和法，考查了等比数列的定义的应用，考查计算能力，属于中等题.

20.在中，、、分别是、、的对边，设，是的面积，求证：

（1）；

（2）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用余弦定理角化边的思想可证得；

（2）由结合余弦定理和三角形的面积公式化简即可证得.

【详解】（1）由余弦定理可知，，，

左边右边，故得证；

（2），，

因此，.

【点睛】本题考查余弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了海伦公式的证明，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

21.已知，解关于的不等式.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

将所求不等式变形为，分和两种情况讨论，在时，代入计算可求得原不等式的解集；在时，对与的大小关系进行分类讨论，进而可求得所求不等式的解集.

【详解】关于的不等式，即，

当时，不等式即，解得，原不等式的解集为；

当时，

若，即时，不等式的解集为；

若，即时，不等式即，它的解集为；

若，

当，不等式的解集为；

当时，，原不等式的解集为.

综上，

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

【点睛】本题考查含参二次不等式的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.

22.已知数列满足，，数列满足.

（1）若数列的前项和为，求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用定义推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得等差数列的通项公式，求得，然后利用裂项求和法可求得；

（2）计算出，令，分和两种情况分别计算出，综合可得出的表达式.

【详解】（1），且，

所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，

，则，

因此，；

（2），，则，，

令，

①当时，；

②当 *时，.

综合①②有，即.

【点睛】本题考查分组求和法与并项求和法，第（2）问中计算出是解题的关键，同时也考查了等差数列定义的应用，考查计算能力，属于中等题.