福建省南平市高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

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高一年级数学期中考试试题卷

时间：120分钟  总分：150分

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.已知，则的值为（     ）

A. -4 B.  C.  D. 4

【答案】A

【解析】

由题 ，解得. 故选A.

2.化简得（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用向量的加法法则和减法法则求解即可

【详解】由题,,

故选:A

【点睛】本题考查向量加法运算和减法运算,属于基础题

3. （    ）

A. 0 B. -1 C. 1 D.

【答案】C

【解析】

.

故选C.

4.已知，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用二倍角正弦公式可求得的值.

【详解】，，

由二倍角正弦公式得.

故选：C.

【点睛】本题考查利用二倍角公式求值，考查计算能力，属于基础题.

5.将图像向左平移个单位，所得的函数为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三角函数的图象的平移变换得到所求．

【详解】由已知将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位，所得的函数为y＝cos2（x）＝cos（2x）；

故选A．

【点睛】本题考查了三角函数的图象的平移；明确平移规律是解答的关键．

6.已知向量，且，则由x的值构成的集合是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由，得，列方程即可求得。

【详解】因为向量，且，

所以，解得，故选C.

【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题。

7.若向量，满足，，，则向量，的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平面向量数量积的运算性质和定义，对等式进行变形，最后结合平面向量的夹角定义和特殊角的三角函数值进行求解即可.

【详解】，

即.

故选：C

【点睛】本题考查了求平面向量的夹角，考查了平面向量的数量积的运算性质和定义，考查了数学运算能力.

8.已知函数，则下列说法正确的是（  ）

A. 的最小正周期为 B. 在区间上是增函数

C. 的图像关于点对称 D. 的图像关于直线对称

【答案】D

【解析】

函数.，

得：的最小正周期为，A不正确；

在区间上，，此时函数不单调，B不正确；

当时，，所以的图像关于点对称，C不正确；

当时，，的图像关于直线对称正确.

故选D.

9.如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据图象得出的值以及函数的最小正周期，利用周期公式可求出的值，再将点的坐标，代入函数的解析式，结合的取值范围可求得的值.

【详解】由图象可得，函数的最小正周期为，，

将点的坐标代入函数的解析式，且函数在附近递增，

所以，，则，得，

，所以，当时，，因此，.

故选：D.

【点睛】本题考查利用图象求正弦型函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.

10.在中，点D为边AB的中点，则向量　　

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量加法的平行四边形法则即可得出，从而得出．

【详解】如图，

点D为边AB的中点；

；

．

故选A．

【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，中线向量的表示，向量的数乘运算，属于基础题．

11.已知角的终边经过点P(4，－3)，则的值等于(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据角的终边过点，利用任意角三角函数的定义，求出和的值，然后求出的值.

【详解】因为角的终边过点，

所以利用三角函数的定义，

求得，

，故选A.

【点睛】本题主要考查三角函数的定义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.

12.若△ABC外接圆圆心为，半径为4，且则值为（   ）

A. 14 B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

取中点，化简已知条件，求出，结合圆的知识求出三角形各边长，然后计算出结果

【详解】取中点，

即

,

则三点共线

为中点，

则

,

,

,

故选A

【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，在计算过程中对已知条件的化简较为重要，本题属于中档题

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用二倍角公式计算得到答案.

【详解】.

故答案为：.

【点睛】本题考查了二倍角的计算，意在考查学生的计算能力.

14.函数，若为偶函数，则最小的正数的值为______

【答案】

【解析】

分析】

根据三角函数的奇偶性知应可用诱导公式化为余弦函数．

【详解】，其为偶函数，则，，，

其中最小的正数为．

故答案为．

【点睛】本题考查三角函数的奇偶性，解题时直接利用诱导公式分析即可．

15.已知向量，则在方向上的投影为_______________

【答案】

【解析】

在方向上的投影为.

16.若都是锐角，，，则        .

【答案】

【解析】

①

因为，所以 ，又因为，所以 ， ，代入①得，故填：

三.解答题：本大题共6小题，共70分.

17.已知向量，，

（1）求；

（2）当时，求的值.

【答案】（1）（2）.

【解析】

【分析】

（1）先利用向量线性运算坐标公式求得，之后应用向量模的坐标公式求得结果；

（2）利用向量线性运算坐标公式求得，之后利用向量共线坐标所满足的条件求得结果.

【详解】（1）

（2）

当时，

，

解得.

【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量线性运算坐标公式，向量模的坐标公式，向量共线坐标表示，属于简单题目.

18.已知，，

（1）若与垂直，求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）（2）或.

【解析】

【分析】

（1）先分别写出，坐标，由数量积为0可求得k的值；

（2）先求出，由的模为10，坐标运算可得k的值．

【详解】（1），

；

由，得

，

解得.

（2）由，得，

解得或.

【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的坐标运算，向量数量积的坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，向量的模长，属于简单题目.

19.已知.

（1）化简；

（2）若是第三象限角，且，求值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用诱导公式化简的表达式即可；

（2）利用诱导公式求得的值，结合同角三角函数的基本关系可求得的值.

【详解】解：（1）；

（2），所以，

又由是第三象限角，所以，故.

【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于基础题.

20.已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2当时，求函数的值域.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由三角函数的公式化简已知函数可得f（x）=，易得周期；

（2）由x的范围，结合不等式的性质，一步步可得值域，先求函数的单调区间，结合函数的定义域可得答案．

【详解】（1）因为，

所以函数的最小正周期为．

（2）时，，

∴．

∴．

∴的值域为．

【点睛】本题考查三角函数的公式的应用，涉及正弦函数的单调性以及函数值域的求解，属中档题．

21.已知函数.

（1）求的周期和单调递减区间；

（2）若，且，计算的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）先化简函数，再求函数的周期，利用复合函数的单调性求函数的单调递减区间；（2）先求出，再利用差角的余弦公式求解.

【详解】（1）由题得，

所以函数的周期为.

令,

所以，

因为，

所以函数的单调递减区间为，此时.

(2)由题得，所以，

因，所以，所以，

所以.

【点睛】本题主要考查三角函数的周期的求法和单调区间的求法，考查同角的三角函数的求值，考查差角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.

22.已知函数的最小正周期为．

求函数的单调递增区间；

将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上零点的和．

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的正弦函数的单调性，得出结论；

（2）利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的零点的定义求出求函数g（x）在区间[0，5π]上零点的和．

【详解】解：函数的最小正周期为，，

令，求得，可得函数的增区间为，．

将函数的图象向左平移个单位长度，可得  的图象；

再向上平移2个单位长度，得到函数的图象．

令，求得，，，．

函数在区间上零点的和为．

【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的正弦函数的单调性，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的零点，属于中档题．