福建省莆田第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

这是一份福建省莆田第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质结合特殊值法对A、B二个选项进行判断，利用作差比较法对选项C、D进行判断.
【详解】A：根据不等式的性质可知当，时，能得到.例如当，，显然，成立，但是不成立，故本选项说法不正确；
B：当时，显然不成立，故本选项说法不正确；
C：，故本选项说法不正确；
D：
，故本选项说法是正确的.
故选：D
【点睛】本题考查了不等式的性质应用，考查了作差比较法的应用，考查了数学运算能力.
2.已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},B={x|x2-2x-3<0},则A∩B=( )
A. {-1,0}B. {0,1,2}
C. {-1,0,1}D. {-2,-1,0}
【答案】B
【解析】
【详解】
【分析】
由x22x3<0解得，
故B={x|}．
又A={，，0，1，2，3}，
∴A∩B={0，1，2}．选B．
3.在中，若，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
由利用正弦定理可得，结合可得结果．
【详解】利用正弦定理化简，得：，
，
，故选A．
【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
4.在数列中，，，且，则（ ）
A. 22B. -22C. 16D. -16
【答案】C
【解析】
【分析】
由数列的递推关系，带入，，即可求出，再将带入，即可求出．
【详解】令，则，又，，所以；再令，则，所以，故选C
【点睛】本题考查数列的递推公式，对赋值，求解数列中的项，属于简单题．
5.在 中，若，则 是（ ）
A. 锐角三角形；B. 直角三角形；
C. 钝角三角形；D. 直角三角形或钝角三角形
【答案】B
【解析】
分析：由利用两角和的正弦公式，得到，可得，从而可得结果.
详解：中，若，
则，
， ，故三角形是直角三角形，故选B.
点睛：判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
6.若x，y满足 则x + 2y的最大值为
A. 1B. 3
C. 5D. 9
【答案】D
【解析】
试题分析：如图，画出可行域，
表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.
【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值时常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式.
7.在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由等差中项的性质可得，又为等比数列，所以，化简整理可求出q的值．
【详解】由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所以，
所以或（舍），故选A
【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题．
8.已知不等式的解集是,则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据所给的不等式的解集，并结合一元二次方程根与系数的关系求出的值，然后再解不等式即可．
【详解】∵不等式的解集是，
∴是方程的两根，
∴，解得．
∴不等式为，
解得，
∴不等式的解集为．
故选A．
【点睛】本题考查二次不等式的解法，解题时注意结合“三个二次”间的关系，注意不等式解集的端点值、二次方程的根与二次函数图象与x轴交点横坐标间的关系，解题的关键是根据条件求出的值．
9. 在下列各函数中，最小值等于2的函数是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：时，，故A错；∵，∴，∴中等号不成立，故B错；∵，∴中等号也取不到，故C错；故选D.
考点：基本不等式.
【易错点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题：(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
10.已知数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用数列通项与前项和的关系，结合可得的递推公式，进而得到为等比数列并求得通项，从而求得的通项公式即可.
【详解】因为，故…①，故当时，…②
①-②有，化简可得，故是以为首项，2为公比的等比数列.故，故.
故选：A
【点睛】本题主要考查了根据数列通项与前项和的关系求解数列的递推公式，进而证明等比数列并求出通项公式的方法.属于中档题.
11.设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为( )
A. 1009B. 1010C. 1011D. 1012
【答案】C
【解析】
分析】
对任意正整数，都有，为数列中的最小的正数项或最大的负数项，根据已知结合前项和公式，即可得出结论.
【详解】等差数列中，
，
，所以对任意正整数，都有，
则的值为
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列的前项和公式以及等差数列的性质，考查计算求解能力，属于中档题.
12.在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据余弦定理得到，再根据正弦定理得到，故，，计算得到答案.
【详解】由余弦定理及可得，
即，得，整理得.
，，得.
由正弦定理得，又，，
整理得.
易知在锐角三角形中， ，， 且.
， ，
，
当且仅当时等号成立.
故选：B.
【点睛】本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若正数满足，则的最小值是___________.
【答案】5
【解析】
【详解】试题分析：，
，
当且仅当，即时取等号．
考点：基本不等式
14.若不等式对一切恒成立，则的最小值是__________．
【答案】.
【解析】
试题分析：不等式对一切成立，等价于对于一切成立．设，则．因为函数在区间上是增函数，所以，所以，所以的最小值为．
考点：1、不等式的解法；2、函数的单调性．
【方法点睛】利用分离参数法求解不等式的恒成立问题，前提条件是参数较易从变量中分离出来，基本的解题程序一般分三步：(1)分离参数，得到(或)；(2)求函数的最值，得到＝)；(3)极端原理，即()，把不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题．
15.在内角的对边满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用余弦定理结合基本不等式求解即可.
【详解】根据题意，由得：
由余弦定理得
当且仅当，即时取等号
故答案为
【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用以及基本不等式的应用，属于中档题.
16.设数列的前项和为，若，且，则__________.
【答案】-2020
【解析】
【分析】
将代入条件等式，得出成等差数列，即可求出结论.
【详解】，
，
是为首项，公差为的等差数列，
.
故答案为：
【点睛】本题考查等差数列的定义，注意通项公式与前项和关系的应用，考查计算求解能力，属于中档题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.
(1)求B的大小．
(2)若，，求b.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理可解得角B；（2）由余弦定理，将已知代入，可得b．
【详解】解：（1）由，得，又因B为锐角，解得．
(2)由题得，解得．
【点睛】本题考查正，余弦定理解三角形，属于基础题．
18.已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）各项均为正数的等比数列中，，，求的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求出等差数列的公差，即可求出的通项公式；
（2）根据条件求出等比数列的通项公式，结合等差数列和等比数列的前项和公式，即可得出结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，，
（2）设等比数列的公比为，
，且.
，或.
又，，，
，
.
【点睛】本题考查等差、等比数列通项公式基本量的计算以及前项和公式，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
19.已知数列的前项和为，且.
（1）求证：为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【解析】
【分析】
(1) 利用数列的通项与前项和的关系，结合可得的递推公式，进而得到为等比数列并求得通项.
(2)根据(1)可得，代入可得，再利用裂项求和求解数列的前项和即可.
【详解】（1）当时，，
则
当时，，即.
数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
.
（2）
【点睛】本题主要考查了根据数列通项与前项和的关系求解数列的递推公式，进而证明等比数列并求出通项公式的方法.同时也考查了裂项相消求和的方法，属于基础题.
20.如图，在四边形中，，且，，.
（1）求的面积；
（2）若，求的长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据，，，再根据，求得，然后结合，，由求解.
（2）由（1）求得，然后利用余弦定理求得，设，结合，利用余弦定理，由求解.
【详解】（1），，
，
又，
，
.
（2）由（1）得，
由余弦定理可得，
设，
，
，
整理得，
解得或（舍去）.
的长为.
【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21.如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB = y km，并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB = AC  1，且∠ABC = 60．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？
【答案】（1）（x ＞ 1）；（2）时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．
【解析】
试题分析：
(1)利用题意结合余弦定理可得函数的解析式，其定义域是.
(2)结合(1)的结论求得利润函数，由均值不等式的结论即可求得当km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价为490万元.
试题解析：
（1）在中,,所以.
在中，，
由余弦定理，得，
即 ，
所以 .
由， 得. 又因为，所以.
所以函数定义域是.
(2) .
因为（）， 所以
即 .
令则. 于是 ，
由基本不等式得，
当且仅当，即时取等号.
答：当km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价为490万元.
22.已知数列的前项和为，，数列满足，点在直线上．
（1）求数列，的通项和；
（2）令，求数列的前项和；
（3）若，求对所有的正整数都有成立的的范围．
【答案】（1），；（2）（3）
【解析】
【详解】(1)解: ∵，∴,当时，，∴，∴，∴是首项为，公比为2的等比数列，因此，当时，满足，所以，因为在直线上，所以，而，所以.
(2)∵，∴③，因此④，③-④得：，∴
(3)证明:由(1)知，，∵，∴数列为单调递减数列；∴当时，即最大值为1，由可得，，而当时，当且仅当时取等号，∴.