2020-2021学年四川省成都市新都一中高一上学期期中考试数学试卷

2020-2021学年四川省成都市新都一中高一上学期期中考试数学试卷

考试时间：120分钟     满分：150分

 第Ⅰ卷 选择题（满分 60分）

一、选择题（每题5分，共60分）

1．已知幂函数的图象经过点（2，8），则实数的值是（）

A． B． C．2 D．3

2．已知集合，集合，则（）

A． B． C． D．

3．函数的定义域为（）

A． B． C． D．

4．函数在区间上的最大值为（）

A． B． C． D．不存在

5．已知函数，则（）

A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数

6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）

A． B． C． D．

7．函数在上单调递减，且为奇函数．若，则满足的x的取值范围是     

A.  B.  C.  D.

8．函数的图象是（     ）

A．B．C．D．

9．已知为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量（）与时间（）成正比（）；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到（）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前(    )分钟进行消毒工作

A．30 B．40 C．60 D．90

10．函数的单调递减区间是（）

A． B． C． D．

11．已知函数的定义域为R，且对任意的且都有成立，若对恒成立，则实数的取值范围是（  ）

A． B． 

C． D．

12．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（）

①的图象关于直线对称；②是周期函数，且2是其一个周期；③；④关于的方程（）在区间上的所有实根之和是12.

A．①④ B．①②④ C．③④ D．①②③

第Ⅱ卷 非选择题（满分 90分）

二、填空题（每题5分，共20分）

13．__________

14．已知函数（，且）的图像恒过定点，则_______

15．已知,若,则________

16．若平面直角坐标系内两点P，Q满足条件：，Q都在函数的图象上；，Q关于原点对称，则称点对是函数的图象上的一个“友好点对”已知函数且，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则实数a的取值范围是________

三、解答题（共70分）

 17．（本小题满分10分）设全集，集合，．求：

（1）；

（2）．

18．（本小题满分12分）已知幂函数在上为增函数．

（1）求解析式；

（2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围．

19．（本小题满分12分）已知函数是定义在上的奇函数，满足，

当时，有．
求实数a，b的值；
 求函数在区间上的解析式，并利用定义证明函数在上的单调性．

20．（本小题满分12分）

已知定义在R上的函数满足对任意且不恒为0．
求和的值；
试判断的奇偶性，并加以证明；
若时为增函数，求满足不等式的x的取值集合．

21．（本小题满分12分）习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

（1）求出2020年的利润（万元）关于年产量的函数关系式；（利润=销售额—成本）

（2）当2020年产量为多少辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

22．（本小题满分12分）在函数定义域内，若存在区间，使得函数值域为，则称此函数为“p档类正方形函数”，已知函数，

当时，求函数的值域；

若函数的最大值是1，求实数k的值；

当时，是否存在，使得函数为“1档类正方形函数”？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

1．【答案】C

【解析】因为幂函数的图象经过点（2，8），所以，解得.

2．【答案】C

【解析】因为，，

所以.

3．【答案】D

【解析】函数有意义等价于，

所以定义域为，

4．【答案】A

【解析】因为函数在上单调递增，是由向左平移一个单调后得到的函数，所以在上单调递增，则在区间上单调递增，所以最大值为.

5．【答案】A

【解析】函数的定义域为， 即函数 是奇函数，又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数．

6．【答案】A

7．【答案】D
解：为奇函数，，．在上单调递减，
由，得，即．
8．【答案】C

【解析】由题意，函数可化简得：

则可将反比例函数的图象由左平移一个单位，再向上平移一个单位，

即可得到函数的图象，答案为选项C.

9．【答案】C

【解析】根据图像：函数过点，故，

当时，取，解得小时分钟.

10．【答案】B

【解析】由得，解得：，

由和复合而成，

在定义域内单调递增，对称轴为，开口向下，

所以在单调递增，在单调递减，

所以的单调减区间为，

11．【答案】A

【解析】由，则函数在R上为增函数，由对恒成立，故，即解得，

12．【答案】A

【解析】由可知的图象关于直线对称，①正确；

因为是奇函数，所以，所以，所以是周期函数，其一个周期为4，但不能说明2是的周期，故②错误；

由的周期性和对称性可得.又当时，，所以在时单调递增，所以，即，③错误；

又时，，则可画出在区间上对应的函数图象变化趋势，如图.易得（）即（）在区间上的根分别关于1，5对称，故零点之和为，④正确.

13．【答案】1

【解析】根据指数幂运算及对数的性质,化简可得

.

14．【答案】【解析】令x﹣8＝0，解得x＝8，则y＝3﹣1＝2，即恒过定点A（8，2），

∴m＝8，n＝2，∴＝.

15．【答案】．

解：∵
∴∵

16．【答案】
解：当时，函数关于原点对称的函数为，
即，，
若此函数的“友好点对”有且只有一对，
则等价为函数，与，，只有一个交点，作出两个函数的图象如图：
若，则，与，

，只有一个交点，满足条件，

当时，，若，

要使两个函数只有一个交点，则满足，即得，
得或，，，综上或，
即实数a的取值范围是，故答案为：．

17．【解析】（1），，

因此，；

（2）全集，或，因此，或.

18．【解析】（1）∵幂函数解析式为，

∴，即，解得或，

当时，在上为减函数，不合题意，舍去；

当时，在上为增函数，符合题意，∴．

（2）在区间上为单调函数，

函数对称轴为，∴有或，解得或，

∴实数的取值范围为或．

19．【解析】解：函数是定义在上的奇函数，
，即，，又因为，所以，
即，所以，综上可知，，
由可知当时，，
当时，，且函数是奇函数，
当时，函数的解析式为，
任取，，且，则，
，，且，，，，
于是，即，故在区间上是单调增函数

20.【答案】解：令，得，，
令，得，，
是偶函数：令，则，
是偶函数．
由式得式，
由得，函数是偶函数，则不等式等价为，
时为增函数，不等式等价为，
平方得，即，即，
即满足不等式的x取值集合为．

21．【解析】（1）由题意，当时，

；

当时，；

所以；

（2）当时，，

当且仅当时，；

当时，

(当且仅当，即时，“”成立)

因为，所以，当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.

22．解：时，，因为，所以，所以函数的值域为．
设，，则，

若，则函数无最大值，即无最大值，不合题意；故，因此最大值在时取到，

且，所以，解得或，

由，所以．
因为时，设，设真数为，此时对称轴，所以当时，为增函数，且，

即在上为增函数 所以，，

即方程在上有两个不同实根，

即，设，

所以

即方程有两个大于1的不等实根，

因为，所以

解得，由，得．

即存在，使得函数为“1档类正方形函数”，且．