第4讲 整式的乘除（讲练）-2022年中考数学一轮复习讲练测·学案

第4讲 整式的乘除

1、了解：因式分解的概念

2、理解：整式乘法法则的运算顺序，理解因式分解的定义。

3、会：推导幂的运算公式。

4、掌握：幂的运算及其注意事项，平方差公式和完全平方公式及其扩展，利用提公因式和公式法分解因式

5、能：利用整式的乘除进行计算，利用乘法公式化简求职

1．下列计算：①；②；③；④，其中计算正确的共有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．下列运算正确的是（　　　）

A． B．

C． D．

3．下列计算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

4．若3x2﹣5x+1＝0，则5x（3x﹣2）﹣（3x+1）（3x﹣1）＝（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2

5．若，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

6．若，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

7．下列各式变形中，是因式分解的是（    ）

A． B．

C． D．

8．如果x2+nx+2k＝（x﹣1）2，那么kn是（　　）

A．﹣ B． C．4 D．﹣4

9．若，则代数式的值是（    ）

A．0 B． C．20 D．

10．已知方程组，则的值为（    ）

A．-1 B．0 C．2 D．-3

一、思维导图

二、知识梳理

知识点一 幂的运算

• 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。（其中m、n为正整数）

【注意事项】

1）当底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，再根据指数的奇偶来确定结果的正负，并且化简到底。

2）不能疏忽指数为1的情况。例：a·a2＝a1＋2＝a3

3）乘数a可能是有理数、单项式或多项式。

4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。

5）逆用公式：（m,n都是正整数）

【扩展】三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（m，n，p都是正整数）

• 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.(其中m，n都是正整数).

【注意事项】

1）负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。

2）逆用公式：

【扩展】 (m，n，p均为正整数)

• 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。(其中n是正整数)。

【注意事项】逆用公式：

【扩展】 (n为正整数)

• 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数减。

（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）

【注意事项】

1）0不能做除数的底数。

2）运用同底数幂除法法则关键：看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。

3）注意指数为1的情况，如x8÷x=x7 ，计算时候容易遗漏将除数x的指数忽略。

4）逆用公式:（a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n）

【扩展】当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.即：（a≠0，m、n、p都是正整数，并且m＞n＞p），但计算时要按照顺序计算。

• 零指数幂：任何不等于零的数的0指数幂都等于l。a0＝1（a≠0）
• 负整数指数幂：任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数，

即（a≠0，n是正整数）.

【注意】：

1）a可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式。例如：。

2）引进零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，所学的幂的运算性质仍然成立。

①(其中m，n为整数，a≠0);

②(其中m，n为整数，a≠0);

③(其中n为整数，a≠0，b≠0)。

知识点二 整式乘除

         单项式×单项式

单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

单项式乘法易错点：

【注意】

1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用。

2）单项式乘以单项式的结果仍是单项式。

3）运算顺序：先算乘方，再算乘法。

         单项式×多项式

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加

【注意事项】

1）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。

2）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）

例：

3）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果。

         多项式×多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．

【注意事项】

多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。

知识点三 乘法公式

1)平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2  (特征：用相同项的平方减相反项的平方。)

【注意事项】

1）对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。
2）公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。

2）完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

                （a－b）2＝a2－2ab＋b2

         单项式÷单项式

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

         多项式÷单项式

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

【解题思路】

多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。

         整式的混合运算

运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。

知识点四 因式分解（难点）

概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

【注意事项】

1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；

2）因式分解必须是恒等变形；

3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为。

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．

因式分解的常用方法：

方法一：提公因式法

1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。                   

2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。                                           

3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。

4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。 

方法二：公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；

①平方差公式：  a2－b2＝（a＋b）（a－b）

②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2

                a2－2ab＋b2＝（a－b）2

考点一： 幂的混合运算

【经典例题】（2021·四川阿坝·中考真题）下列运算中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【举一反三】

变式1-1．（2021·山东枣庄·中考真题）计算正确的是（  ）

A． B． C． D．

变式1-2．（2021·江苏南通·中考真题）下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

变式1-3．（2021·浙江台州·中考真题）下列运算中，正确的是（       ）

A．a2＋a＝a3 B．（ab）2＝ab2 C．a5÷a2＝a3 D．a5・a2＝a10

考点二： 单项式乘单项式

【经典例题】（2021·浙江宁波·中考真题）计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

【举一反三】

变式2-1．（2021·山东临沂·中考真题）计算的结果是（   ）

A． B． C． D．

变式2-2．（2020·广西柳州·中考真题）2ab•a2的计算结果是（　　）

A．2ab B．4ab C．2a3b D．4a3b

考点三：单项式乘多项式

【经典例题】（2021·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ）

A． B． C． D．

【举一反三】

变式3-1．（2019·山东青岛·中考真题）计算的结果是（      ）

A．8m5 B．-8m5 C．8m6 D．-4m4+12m5

变式4-2．（2019·广西柳州·中考真题）计算：（　　）

A． B． C． D．

考点四：多项式乘多项式

【经典例题】（2021·四川广元·中考真题）下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【举一反三】

变式4-1．（2020·黑龙江穆棱·中考真题）下列运算正确的是（   ）

A．(a＋b)(a－2b)=a2－2b2 B．

C．－2(3a－1)=－6a＋1 D．(a＋3)(a－3)=a2－9

变式4-2．（2020·广西贺州·中考真题）我国宋代数学家杨辉发现了（，1，2，3，…）展开式系数的规律：

 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（    ）

A．64 B．128 C．256 D．612

考点五：多项式除单项式

【经典例题】（2021·山西·三模）计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

【举一反三】

变式5-1．（2021·浙江兰溪·一模）一幢房子一面墙的形状由一个长方形和一个三角形组成（如图），若把该墙面设计成长方形形状，面积保持不变，且底边长仍为a，则这面墙的高度应该为（    ）

A． B． C． D．

变式5-2．（2021·广西玉州·一模）计算：的结果是（    ）

A． B． C． D．﹣2

考点六：运用平方差公式进行计算

【经典例题】（2020·河北·中考真题）若，则（    ）

A．12 B．10 C．8 D．6

【举一反三】

变式6-1．（2021·湖北宜昌·中考真题）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ）

A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定

变式6-2．（2020·湖南郴州·中考真题）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）

A． B．C． D．

变式6-3．（2020·江苏淮安·中考真题）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（   ）

A．205 B．250 C．502 D．520

考点七： 运用完全平方公式进行计算

【经典例题】（2021·江苏苏州·中考真题）已知两个不等于0的实数、满足，则等于（    ）

A． B． C．1 D．2

【举一反三】

变式7-1．（2021·浙江台州·中考真题）已知（a＋b）2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝（   ）

A．24 B．48 C．12 D．2

变式7-2．（2021·内蒙古·中考真题）若，则代数式的值为（   ）

A．7 B．4 C．3 D．

变式7-3．（2020·贵州遵义·中考真题）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）

A．5 B．10 C．11 D．13

考点八：整式的混合运算

【经典例题】（2021·浙江温州·中考真题）（1）计算：．

（2）化简：．

【举一反三】

变式8-1．（2021·浙江金华·中考真题）已知，求的值．

变式8-2．（2020·北京·中考真题）已知，求代数式的值．

变式8-3．（2020·湖南邵阳·中考真题）已知：，

（1）求m，n的值；

（2）先化简，再求值：．

考点九：公式法分解因式

【经典例题】（2021·浙江杭州·中考真题）因式分解：（    ）

A． B．

C． D．

【经典例题】

变式9-1．（2020·广西柳州·中考真题）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　）

A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．a2+2ab+b2

变式9-2．（2020·浙江金华·中考真题）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（  ）

A． B． C． D．

变式9-3．（2020·广西·中考真题）因式分解a2﹣4的结果是（　　）

A．（a+2）（a﹣2） B．（a﹣2）2 C．（a+2）2 D．a（a﹣2）