2022高考数学一轮复习专题40 概率中的单调性与最值问题（解析卷）

专题40  概率中的单调性与最值问题

一、题型选讲

题型一 、概率中的单调性问题

例1、【2019年高考浙江卷】设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是

则当a在（0，1）内增大时，

A．增大         B．减小

C．先增大后减小       D．先减小后增大

【答案】D

【解析】方法1：由分布列得，

则，

则当在内增大时，先减小后增大．故选D．

方法2：则，

则当在内增大时，先减小后增大．故选D．

例2、【2018年高考浙江卷】设，随机变量ξ的分布列是

则当p在（0，1）内增大时，

A．D（ξ）减小  B．D（ξ）增大

C．D（ξ）先减小后增大  D．D（ξ）先增大后减小

【答案】D

【解析】，，，∴先增大后减小，故选D．

例3、【2020年高考山东】（多选题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.

A．若n=1，则H(X)=0

B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大

C．若，则H(X)随着n的增大而增大

D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)

【答案】AC

【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.

对于B选项，若，则，，

所以，

当时，，

当时，，

两者相等，所以B选项错误.

对于C选项，若，则

，

则随着的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.

.

由于，所以，所以，

所以，

所以，所以D选项错误.

故选：AC

题型二、概率中的最值问题

例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）随机变量的可能值有1，2，3，且，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】D

【解析】随机变量的可能值有1，2，3，且，，

可得：，

由，可得

所以．

，

当时，的最大值为1．

故选：D．

例5、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）随机变量的分布列如下：

其中，，成等差数列，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，，成等差数列，

，

.

则的最大值为

例6、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知，两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球（），若从，盒中各取一个球，表示所取的2个球中红球的个数，则当取到最大值时，的值为（    ）

A．3 B．5 C．7 D．9

【答案】B

【解析】可能值为，，

，

，

分布列为

，

，当且仅当时，等号成立.

故选:B.

例7、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）随机变量的分布列如下：

其中，，成等差数列，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，，成等差数列，∴，∵，∴，，

∴，

则

，

当时取等号．

则的最大值为.

故选：D.

例8、（2020届山东省日照市高三上期末联考）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产万件的该种产品所需要的总成本（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在，，，，，，（单位：）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.

产品的品质情况和相应的价格（元/件）与年产量之间的函数关系如下表所示.

以频率作为概率解决如下问题：

（1）求实数的值；

（2）当产量确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列；

（3）估计当年产量为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.

【答案】（1）；（2）见解析（3）年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.

【解析】

（1）由题意得，解得；

（2）当产品品质为优时频率为，此时价格为；

当产品品质为中时频率为，此时价格为；

当产品品质为差时频率为，此时价格为；

以频率作为概率，可得随机变量的分布列为：

（3）设公司年利润为，则

整理得，

显然当时，，时，，

∴当年产量时，取得最大值.

估计当年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.

二、达标训练

1、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则

A．0.7  B．0.6

C．0.4  D．0.3

【答案】B

【解析】∵，∴或，

，

，可知，故．故选B．

2、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）设，随机变量的分布列如下表所示

已知，则当在内增大时，的变化情况（    ）

A．先增大再减小 B．先减小再增大

C．增大 D．减小

【答案】D

【解析】由分布列的性质可得.

，

.

当在内增大时，减小．

故选：.

3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知，随机变量，的分布列如表所示，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】，，

，由，所以，

故选：B.

4、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）已知随机变量ξ满足P (ξ=0) =x，P(ξ=1) =1-x，若则（    ）

A．E(ξ)随着x的增大而增大，D (ξ)随着x的增大而增大

B．E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增大

C．E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而减小

D．E(ξ)随着x的增大而增大，D(ξ)随着x的增大而减小

【答案】B

【解析】依题意，在区间上是减函数.

，注意到函数的开口向下，对称轴为，所以在区间上是增函数，也即在区间上是增函数.

故选：B

5、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知a，b为实数，随机变量X，Y的分布列如下：

若，随机变量满足，其中随机变量相互独立，则取值范围的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知，，所以，即，又，故

，所以，又随机变量的可能取值为-1，0，1，则，，

，

列出随机变量的分布列如下：

所以.

故选：B.

6、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）设，相互独立的两个随机变量，的分布列如下表：

则当在内增大时（    ）

A．减小，增大 B．减小，减小

C．增大，增大 D．增大，减小

【答案】D

【解析】，

，，，

，

，

，

当在内增大时，增大，减小，

故选：D．

7、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知随机变量X的分布列如下表：

其中a，b，.若X的方差对所有都成立，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由X的分布列可得X的期望为,

又,

所以X的方差

,

因为,所以当且仅当时,取最大值,

又对所有成立,

所以,解得,

故选:D.

8、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设，随机变量的分布列是：

则当在内增大时（    ）

A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大

【答案】A

【解析】根据随机变量的分布列，

则

＝

＝

由于函数的图象为关于的开口方向向下的抛物线，且，函数的对称轴为，

故增大.

故选：A.