人教版七年级下册第五章 相交线与平行线综合与测试习题

这是一份人教版七年级下册第五章 相交线与平行线综合与测试习题，共21页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。
第五章 相交线与平行线
一、选择题．
1．如图，AB⊥AE于点A，AB∥CD，∠CAE＝42°，则∠ACD＝（　　）

A．112° B．122° C．132° D．142°
【解答】解：∵AB⊥AE，∠CAE＝42°，
∴∠BAC＝90°﹣42°＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝132°．
故选：C．
2．如图，若直线l1∥l2，则下列各式成立的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠5 C．∠2+∠5＝180° D．∠1+∠3＝180°
【解答】解：∵直线l1∥l2，
∴∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°，
故选：D．
3．下列命题：①有理数与数轴上的点一一对应；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；④负数没有平方根．其中是真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①实数与数轴上的点一一对应，则本小题说法错误；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则本小题说法错误；
③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，则本小题说法错误；
④负数没有平方根，则本小题说法正确；
故选：A．
4．如图，BD为∠ABC的角平分线，AD∥BC，∠BDC＝90°，∠A与∠C的数量关系为（　　）

A．∠A+∠C＝180° B．∠A−12∠C＝90°
C．∠A＝2∠C D．12∠A+∠C＝90°
【解答】解：∵BD为∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴∠A+2∠DBC＝180°，
∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠C＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠C，
∴∠A+2（90°﹣∠C）＝180°，
∴∠A﹣2∠C＝0，
即∠A＝2∠C，
故选：C．
5．若将一块三角板按如图所示的方式放置，AB∥CD，∠GEF＝30°，∠1＝52°，则∠2的度数为（　　）

A．20° B．22° C．27° D．34°
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝52°，
∴∠1＝∠BEF＝52°，
∵∠BEF＝∠GEF+∠2，∠GEF＝30°，
∴∠2＝52°﹣30°＝22°，
故选：B．
6．如图，AB∥CD，则下列等式正确的是（　　）

A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1﹣∠2＝180°﹣∠3
C．∠1﹣∠3＝180°﹣∠2 D．∠1+∠2+∠3＝180°
【解答】解：如右图所示，
∵CD∥AB，
∴∠4＝∠3，
∵∠4＝∠2+（180°﹣∠1），
∴∠3＝∠2+（180°﹣∠1），
∴∠1﹣∠2＝180°﹣∠3，
故选：B．

7．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．

（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．

（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．

（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．

（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．
故选：B．
8．在△ABC中，BC＝6，AC＝3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：根据直角三角形的性质得：PC≤3，
∴CP长的最大值为3，
故选：C．
9．在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（　　）
A．20° B．55° C．20°或125° D．20°或55°
【解答】解：设∠B是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
∠B＝∠A＝x°，
x＝3x﹣40
解得，x＝20，
故∠A＝20°，
②两个角互补时，如图2：
x+3x﹣40＝180，
所以x＝55，
3×55°﹣40°＝125°
故∠A的度数为：20°或125°．
故选：C．

二、填空题．
10．如图，AB∥CE，∠ABC＝30°，∠BDE＝45°，则∠DBC＝　15°　．

【解答】解：∵AB∥CE，∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠BCE＝30°，
∵∠BDE＝45°，
∴∠DBC＝∠BDE﹣∠BCE＝45°﹣30°＝15°，
故答案为：15°．
11．如图所示的图形中，同位角有　4　对．

【解答】解：如图：

∠CAG的同位角是∠DBG，∠EAG的同位角是∠FBG，
∠CAG的同位角是∠FBG，∠EAG的同位角是∠DBG，
∴图中同位角有4对．
故答案为：4．
12．如图，已知点D，F分别在∠BAC边AB和AC上，点E在∠BAC的内部，DF平分∠ADE．若∠BAC＝∠BDE＝70°，则∠AFD的度数为　55°　．

【解答】解：因为∠BAC＝∠BDE，
所以DE∥AC，
所以∠BAC+∠ADE＝180°，
因为∠BAC＝70°，
所以∠ADE＝180°﹣∠BAC＝180°﹣70°＝110°，
因为DF平分∠ADE，
所以∠AFD=12∠ADE=12×110°＝55°．
故答案为：55°．
13．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为　46　°．

【解答】解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，
∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，
∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，
∴∠BCD＝46°，
故答案为：46．

14．如图，如果AB∥CD，则角α＝130°，γ＝20°，则β＝　70°　．

【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠D＝∠FED，
∴∠AEF＝180°﹣130°＝50°，∠FED＝20°，
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝50°+20°＝70°．
即β＝70°．
故答案为：70°．
15．如图，∠AOB＝60°，在∠AOB的内部有一点P，以P为顶点，作∠CPD，使∠CPD的两边与∠AOB的两边分别平行，∠CPD的度数为　60或120　度．

【解答】解：如图MN∥OB，EF∥OA，
分为两种情况：①当∠CPD＝∠MPF（或∠EPN）时，
∠CPD＝∠AOB＝60°；
②当∠CPD＝∠MPE（或∠FPN）时，∠CPD＝180°﹣∠AOB＝120°，
故答案为：60或120．
16．如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，有下列结论：①∠AOC与∠COE互为余角；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC＝∠COE；④∠COE与∠DOE互为补角；⑤∠AOC与∠DOE互为补角；⑥∠BOD与∠COE互为余角．其中错误的有　③⑤　．（填序号）

【解答】解：∵∠BOE＝90°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣90°＝90°＝∠AOC+∠COE，
因此①不符合题意；
由对顶角相等可得②不符合题意；
∵∠AOE＝90°＝∠AOC+∠COE，但∠AOC与∠COE不一定相等，因此③符合题意；
∠COE+∠DOE＝180°，因此④不符合题意；
∠EOC+∠DOE＝180°，但∠AOC与∠COE不一定相等，因此⑤符合题意；
∠BOD＝∠AOC，且∠COE+∠AOC＝90°，因此⑥不符合题意；
故答案为：③⑤
17．如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的度数为　68°　．

【解答】解：如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF＝∠GCF＝x，∠CGE＝∠MGE＝y．

则有2x=2y+∠GMC①x=y+∠E②，
①﹣②×2可得：∠GMC＝2∠E，
∵∠E＝34°，
∴∠GMC＝68°，
∵AB∥CD，
∴∠GMC＝∠B＝68°，
故答案为68°．
18．已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝　110°或70°　．
【解答】解：分两种情况进行讨论：
①如图1所示，若OM在AC上方，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD＝∠BOD，
∵4∠BOE+∠BOC＝180°，∠AOB+∠BOC＝180°，
∴∠AOB＝4∠BOE，即∠AOE＝3∠BOE，
设∠BOE＝α，则∠AOE＝3α，∠BOD＝70°﹣α＝∠COD，
∵∠AOC为平角，
∴∠AOE+∠DOE+∠COD＝180°，
即3α+70°+70°﹣α＝180°，
解得α＝20°，
∴∠BOE＝20°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠BOE+∠MOB＝20°+90°＝110°；
②如图2所示，若OM在AC下方，
同理可得，∠BOE＝20°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠MOB﹣∠BOE＝90°﹣20°＝70°；
综上所述，∠MOE的度数为110°或70°．
故答案为：110°或70°．


三、解答题．
19．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于E，DF平分∠ADC交BC于F，BE∥DF．求证：∠ABC＝∠ADC．

【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CFD．
∵BE∥DF，
∴∠CBE＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CBE．
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABC＝2∠CBE，∠ADC＝2∠ADF，
∴∠ABC＝∠ADC．
20．如图，∠1＝∠C，∠2+∠D＝90°，BE⊥FD，垂足为G．
（1）证明：AB∥CD．
（2）已知CF＝3，FD＝4，CD＝5，点P是线段CD上的动点，连接FP，求FP的最小值．

【解答】（1）证明：∵BE⊥FD，
∴∠DGE＝90°，
∴∠1+∠D＝90°，
∵∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠C，
∴∠2＝∠C，
∴AB∥CD；
（2）解：∵CF＝3，FD＝4，CD＝5，
∴CF2+DF2＝32+42＝52＝CD2，
∴∠CFD＝90°，
当FP⊥CD时，FP的值最小，
∵S△CFD=12CF•DF=12CD•FP，
∴PF=3×45=125，
∴FP的最小值是125．
21．如图，已知BE平分∠ABC，点D在射线BA上，且∠ABE＝∠BED．
（1）判断BC与DE的位置关系，并说明理由．
（2）当∠ABE＝25°时，求∠ADE的度数．

【解答】解：（1）BC∥DE，理由如下：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵∠ABE＝∠BED，
∴∠EBC＝∠BED，
∴BC∥DE；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°，
∵BC∥DE，
∴∠ADE＝∠ABC＝50°．
22．如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH，∠AEF+∠CHF=73∠EFH．
（1）直接写出∠EFH的度数为　108°　；
（2）如图2，HM平分∠CHF，交FE的延长线于点M，证明：∠FHD﹣2∠FMH＝36°；
（3）如图3，点P在FE的延长线上，点K在AB上，点N在∠PEB内，连NE，NK，NK∥FH，∠PEN＝2∠NEB，则2∠FHD﹣3∠ENK的值为　72°　．

【解答】解：（1）过点F作MN∥AB，如图1所示：

则∠BEF＝∠EFM，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠DHF＝∠HFM，
∴∠AEF+∠CHF+∠EFH＝360°，
∵∠AEF+∠CHF=73∠EFH，
故∠EFH＝108°，
故答案为108°；
（2）过点F作FF′∥AB，过点M作MM′∥AB．

∵AB∥CD，
∴FF′∥MM′∥AB∥CD，
∴∠F′FH＝∠FHD，
∴∠3＝∠EFH﹣∠F′FH＝108°﹣∠FHD，
∴∠M′MF＝∠3＝108°﹣∠FHD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1=180°−∠FHD2，
∵MM′∥CD，
∴∠M′MH＝∠1，
∴∠FMH+108°﹣∠FHD=180°−∠FHD2，
∴∠FHD﹣2∠FMH＝36°；
（3）延长NK交CD于点R，

∵∠AEF+∠CHF=73∠EFH，即∠1+∠2=73∠3，
而∠1+∠2+∠3＝360°，
故∠1+∠2＝252°，
设∠NEB＝α，则∠PEN＝2∠NEB＝2α，
则∠1＝∠PEB＝3α，
而∠2＝180°﹣∠4，
故3α﹣∠4＝72°，
则2∠FHD﹣3∠ENK＝2∠4﹣3（∠NKB﹣∠NEB）＝2∠4﹣3（∠4﹣α）＝3α﹣∠4＝72°，
故答案为72°．
23．如图：已知：∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，AF平分∠BAD交DC的延长线于点F，若∠ABC＝2∠E，则∠E+∠F＝90°，完成下列推理过程．
证明：
∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°
∴∠ADF＝∠BCF（　同角的补角相等　）
∴AD∥BC（　同位角相等，两直线平行　）
∵BE平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠ABE（　角平分线的定义　）
又∵∠ABC＝2∠E
∴∠ABE＝∠E
∴AB∥EF（　内错角相等，两直线平行　）
∵AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD
∴∠ABE=12∠ABC，∠BAF=12∠BAD
∴∠ABE+∠BAF=12∠ABC+12∠BAD=12×180°＝90°
∵AB∥EF（　已证　）
∴∠BAF＝∠F（　两直线平行，内错角相等　）
∵∠ABE＝∠E
∴∠E+∠F＝90°（　等量代换　）

【解答】证明：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°
∴∠ADF＝∠BCF（同角的补角相等）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
∵BE平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠ABE（角平分线定义）
又∵∠ABC＝2∠E
∴∠ABE＝∠E
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）
∵AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
BE平分∠ABC，AE平分∠BAD
∴∠ABE=12∠ABC，∠BAF=12∠BAD
∴∠ABE+∠BAF=12∠ABC+12∠BAD=12×180°＝90°
∵AB∥EF（己证）
∴∠BAF＝∠F（两直线平行，内错角相等）
∠ABE＝∠E
∴∠E+∠F＝90°（等量代换）
24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣5，1），B（4，0），C（2，5），将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到△EFG．
（1）画出平移后的图形，并写出△EFG的三个顶点坐标；
（2）求△EFG的面积．

【解答】解：（1）如图，△EFG即为所求，E（﹣3，0），F（6，﹣1），G（4，4）．

（2）S△EFG＝5×9−12×1×9−12×5×2−12×4×7＝21.5．
25．如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．
（1）求证：EF∥BH；
（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．

【解答】证明：（1）∵∠HCO＝∠EBC，
∴EB∥HC．
∴∠EBH＝∠CHB．
∵∠BHC+∠BEF＝180°，
∴∠EBH+∠BEF＝180°．
∴EF∥BH．
（2）∵∠HCO＝∠EBC，
∴∠HCO＝∠EBC＝64°，
∵BH平分∠EBO，
∴∠EBH＝∠CHB=12∠EBC＝32°．
∵EF⊥AO于F，EF∥BH，
∴∠BHA＝90°．
∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°．
∵∠CHO＝180°﹣∠FHC
＝180°﹣122°
＝58°．

26．[感知]如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：
解；（1）如图①，过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠PFD＝130°（已知），
∴∠2＝180°﹣130°＝50°（等式的性质），
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°（等式的性质）．
即∠EPF＝90°（等量代换）．
[探究]如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．
[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，则∠G的度数是　35　°．

【解答】[探究]如图②，过点P作PM∥AB，

∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EPF＝∠MPF﹣MPE＝120°50°＝70°（等式的性质）．
答：∠EPF的度数为70°；
[应用]如图③所示，
∵EG是∠PEA的平分线，PG是∠PFC的平分线，
∴∠AEG=12∠AEP＝25°，∠GCF=12∠PFC＝60°，

过点G作GM∥AB，
∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠G＝∠MGF﹣MGE＝60°﹣25°＝35°．
答：∠G的度数是35°．
故答案为：35．
27．已知点A在射线CE上，∠BDA＝∠C．
（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；
（2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请证明∠DAE+2∠C＝90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．（直接写出结果）

【解答】（1）证明：∵AC∥BD，
∴∠DAE＝∠BDA，
∵∠BDA＝∠C，
∴∠DAE＝∠C，
∴AD∥BC；
（2）证明：如图2，设CE与BD相交于点G，∠BGA＝∠BDA+DAE，

∵BD⊥BC，
∴∠BGA+∠C＝90°，
∴∠BDA+∠DAE+∠C＝90°，
∵∠BDA＝∠C，
∴∠DAE+2∠C＝90°；
（3）如图3，设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，

∵∠DFE+∠AFD＝180°，
∴∠AFD＝180°﹣8α，
∵DF∥BC，
∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，
又∵2∠C+∠DAE＝90°，
∴2（180°﹣8α）+α＝90°，
∴α＝18°，
∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB，
又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD，
∴∠ABC＝∠ABD=12∠CBD＝45°，
△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°．
答：∠BAD的度数是99°．