2021年湖北省荆门市中考数学一模试卷及答案

这是一份2021年湖北省荆门市中考数学一模试卷及答案，共28页。试卷主要包含了选择题，小器一容三斛；大器一，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．﹣的绝对值是（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．根据美国约翰斯•霍普金斯大学于美国东部时间4月10日18时16分（北京时间4月11日6时16分）统计的数据显示，美国新冠肺炎累计确诊病例已超过3114万例，达到31145168例．将数字3114万用科学记数法表示应为（ ）
A．0.3114×107B．3.114×106C．3.114×107D．31.14×105
4．如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
5．小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝70°，则∠1＝（ ）
A．22°B．20°C．25°D．30°
6．下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1B．a2•（﹣a）3＝﹣a5
C．a6÷a2＝a3D．（﹣2a）2＝﹣4a
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，△ABC是等边三角形，△BCD是等腰三角形，且BD＝CD，过点D作AB的平行线交AC于点E，若AB＝8，DE＝6，则BD的长为（ ）
A．6B．C．D．
9．如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（ ）
A．B．C．2D．4
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，其顶点为（m，n），有下列结论：①c＞0；②am2+bm﹣an2﹣bn＜0；③关于x的方程ax2﹣bx+c﹣n+1＝0无实数根；④的最大值为﹣3．其中，正确结论的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果直接填写在答题卡对应的横线上．）
11．计算：+（2cs60°）2021﹣（）﹣2﹣（3﹣2）0＝ ．
12．不等式组的解集是 ．
13．如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
14．如图，矩形OABC的顶点B在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，A，C两点分别在x轴，y轴的正半轴上，将矩形OABC绕点A顺时针旋转90°，得到矩形ADEF，边DE，EF分别交此双曲线于M，N两点，若OC＝2OA，△EMN的面积为1，则k＝ ．
15．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为 ．
16．如图，已知直线l1：y＝x和直线l2：y＝﹣x，过l1上的点P1（1，）作y轴的平行线交l2于点P2，过点P2作x轴的平行线交l1于点P3，过点P3作y轴的平行线交l2于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2021的横坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．请在答题卡对应的答题区域内作答．）
17．先化简，再求值：（+）÷，其中a＝﹣1．
18．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合．
（1）求证：△ABE≌△AGF；
（2）若AB＝4，BC＝8，求AE的长．
19．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？
（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？
（3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率．
20．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75海里．
（1）求B点到直线CA的距离；
（2）执法船从A到D航行了多少海里？
21．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
22．如图1，点C在以AB为直径的⊙O上，P是AB延长线上一点，∠PCB＝∠PAC，过点C作CE⊥AB，垂足为D，交⊙O于点E．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若点D是PA的中点，求∠P的度数；
（3）如图2，过点B作BM∥PC交⊙O于点M，交CD于点N，连接AM．若tan∠P＝，CN＝5，求AM的长．
23．某水果超市经销一种进价为18元/kg的水果，根据以前的销售经验，该种水果的最佳销售期为两周时间（14天），销售人员整理出这种水果的销售单价y（元/kg）与第x天（1≤x≤14）的函数图象如图所示，而第x天（1≤x≤14）的销售量m（kg）是x的一次函数，满足下表：
（1）请分别写出销售单价y（元/kg）与x（天）之间及销售量m（kg）是x（天）的之间的函数关系式；
（2）求在销售的第几天时，当天的利润最大，最大利润是多少？
（3）请求出试销的两周时间（14天）中，当天的销售利润不低于1680元的天数．
24．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax+2与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2﹣x1＝5，连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求点A，B的坐标及抛物线的解析式；
（2）设△CEF的面积为S1，△CDF的面积为S2，当最大时，求k的值；
（3）在（2）的条件下，点P是抛物线上一点，点Q是直线DE上一点，是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑．）
1．﹣的绝对值是（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
解：﹣的绝对值是，
故选：C．
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不合题意．
故选：B．
3．根据美国约翰斯•霍普金斯大学于美国东部时间4月10日18时16分（北京时间4月11日6时16分）统计的数据显示，美国新冠肺炎累计确诊病例已超过3114万例，达到31145168例．将数字3114万用科学记数法表示应为（ ）
A．0.3114×107B．3.114×106C．3.114×107D．31.14×105
解：3114万＝31140000＝3.114×107．
故选：C．
4．如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
解：从上面看，是一行两个矩形．
故选：B．
5．小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝70°，则∠1＝（ ）
A．22°B．20°C．25°D．30°
解：如图，过F作FG∥AD，则FG∥BC，
∴∠2＝∠EFG＝70°，
又∵∠AFE＝90°，
∴∠AFG＝90°﹣70°＝20°，
∴∠1＝∠AFG＝20°，
故选：B．
6．下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1B．a2•（﹣a）3＝﹣a5
C．a6÷a2＝a3D．（﹣2a）2＝﹣4a
解：A．3a﹣2a＝a，故本选项不符合题意；
B．a2•（﹣a）3
＝a2•（﹣a3）
＝﹣a5，故本选项符合题意；
C．a6÷a2＝a4，故本选项不符合题意；
D．（﹣2a）2＝4a2，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，
根据题意得：，
故选：A．
8．如图，△ABC是等边三角形，△BCD是等腰三角形，且BD＝CD，过点D作AB的平行线交AC于点E，若AB＝8，DE＝6，则BD的长为（ ）
A．6B．C．D．
解：连接AD交BC于点O，取AC中点N，连接ON，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABC＝60°，
∵△BCD是等腰三角形，
∴BD＝DC，
∴AD垂直平分BC，
∴BO＝CO＝4，
∵AN＝CN，
∴ON＝AB＝4，ON∥AB，
∵AB∥DE，
∴ON∥DE，
∴，
∴＝2，
∴OD＝AO，
∴tan∠ABO＝，即，
∴AO＝4，
∴OD＝2，
在Rt△BOD中，
BD＝＝2．
故选：B．
9．如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（ ）
A．B．C．2D．4
解：如图，过点C作CH⊥BO的延长线于点H，
∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，
∴∠COH＝60°，
∵OB＝2，OC＝4，
∴OH＝2
∴CH＝2，
∴△OBC的面积＝OB•CH＝2×2＝2．
故选：B．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，其顶点为（m，n），有下列结论：①c＞0；②am2+bm﹣an2﹣bn＜0；③关于x的方程ax2﹣bx+c﹣n+1＝0无实数根；④的最大值为﹣3．其中，正确结论的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
解：∵y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，
∴b2﹣4ac≤0，
∴4ac≥b2＞0，
∴c＞0，故①正确；
∵y＝ax2+bx+c（b＞a＞0），顶点为（m，n），
∴抛物线的开口向上，函数有最小值，，
即当x＝m时，最小值为n＝am2+bm+c，
当x＝n时，最小值为y＝an2+bn+c，
由函数的性质可得：am2+bm+c≤an2+bn+c，
又∵y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）的对称轴为：x＝m＝﹣＜0，
∴顶点在x轴的负半轴或第二象限，
∴m≠n，
∴am2+bm﹣an2﹣bn＜0，故②正确；
∵y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）关于y轴对称的函数解析式为：y＝ax2﹣bx+c，
则y＝ax2﹣bx+c的最小值为：y＝n，
∴ax2﹣bx+c≥n＞n﹣1，
∴y＝ax2﹣bx+c与y＝n﹣1没有交点，
当ax2﹣bx+c﹣n+1＝0，则ax2﹣bx+c＝n﹣1，
结合函数图象的交点坐标含义可得：ax2﹣bx+c＝n﹣1没有实数解，
∴关于x的方程ax2﹣bx+c﹣n+1＝0无实数根，故③正确；
∵y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c≥0，
∴c≥﹣4a+2b，
∴a+b+c≥﹣3a+3b，
∵b＞a＞0，
∴a﹣b＜0，
∴，
∴的最大值为：﹣3，故④正确．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果直接填写在答题卡对应的横线上．）
11．计算：+（2cs60°）2021﹣（）﹣2﹣（3﹣2）0＝ ﹣1 ．
解：原式＝3+（2×）2021﹣4﹣1
＝3+1﹣4﹣1
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．不等式组的解集是 ﹣3≤x＜﹣1 ．
解：解不等式≥﹣1，得：x≥﹣3，
解不等式3x+5＜2，得：x＜﹣1，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜﹣1，
故答案为：﹣3≤x＜﹣1．
13．如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为 2﹣π ．
解：连接OD，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠A＝∠AOB＝60°，
∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴OD＝OA•sinA＝，
同理可知，△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴图中阴影部分的面积＝2×﹣＝2﹣π，
故答案为：2﹣π．
14．如图，矩形OABC的顶点B在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，A，C两点分别在x轴，y轴的正半轴上，将矩形OABC绕点A顺时针旋转90°，得到矩形ADEF，边DE，EF分别交此双曲线于M，N两点，若OC＝2OA，△EMN的面积为1，则k＝ 12 ．
解：设OA＝a，
∵OC＝2OA，
∴OC＝2a，
∴B（a，2a），
∵点B在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，
∴k＝2a2，
由旋转可知，AD＝EF＝OC＝2a，AF＝DE＝OA＝a，
∴OD＝OA+AD＝3a，
∴点E的横坐标为3a，点N的纵坐标为a，
∵点E，N在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，
∴E（3a，a），N（2a，a），
∴DM＝a，EN＝a，EM＝a，
∵△EMN的面积为1，
∴•EM•EN＝＝1，
∴a2＝6，
∴k＝2a2＝12．
故答案为：12．
15．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为 1 ．
解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，
根据轴对称性质可知，PN＝PN'，
∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，
当P，M，N'三点共线时，取“＝”，
∵正方形边长为4，
∴AC＝AB＝4，
∵O为AC中点，
∴AO＝OC＝2，
∵N为OA中点，
∴ON＝，
∴ON'＝CN'＝，
∴AN'＝3，
∵BM＝3，
∴CM＝AB﹣BM＝4﹣3＝1，
∴＝＝，
∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，
∵∠N'CM＝45°，
∴△N'CM为等腰直角三角形，
∴CM＝MN'＝1，
即PM﹣PN的最大值为1，
故答案为：1．
16．如图，已知直线l1：y＝x和直线l2：y＝﹣x，过l1上的点P1（1，）作y轴的平行线交l2于点P2，过点P2作x轴的平行线交l1于点P3，过点P3作y轴的平行线交l2于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2021的横坐标为 31010 ．
解：由题意得：
P1，P5，P9•••在第一象限内的直线l1是图象上，
即P4n+1（n≥0的整数）在第一象限内的直线l1是图象上．
∵2021＝4×505+1，
∴P2021第一象限内的直线l1是图象上．
∵过l1上的点P1（1，）作y轴的平行线交l2于点P2，过点P2作x轴的平行线交l1于点P3，过点P3作y轴的平行线交l2于点P4，•••，
∴P2（1，﹣），P3（﹣3，﹣），P4（﹣3，3），P5（9，3）••••
按此作法进行下去，P9（81，27），•••，
∵1＝30，9＝32，81＝34•••，
1＝4×0+1，5＝4×1+1，9＝4×2+1，•••，
∴P4n+1（32n，3n）．
∵2021＝4×505+1，
∴P2021（32×505，3505）．
∴点P2021的横坐标为31010．
故答案为：31010．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．请在答题卡对应的答题区域内作答．）
17．先化简，再求值：（+）÷，其中a＝﹣1．
解：原式＝[+]•
＝•
＝，
当a＝﹣1时，原式＝＝．
18．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合．
（1）求证：△ABE≌△AGF；
（2）若AB＝4，BC＝8，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由翻折的性质得，AG＝CD，∠GAE＝∠C＝90°，∠G＝∠D，
∴∠BAE＝∠FAG，AB＝AG，
在△ABE和△AGF中，
，
∴△ABE≌△AGF（ASA）；
（2）解：设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝8﹣x，
∵沿EF翻折后点C与点A重合，
∴AE＝CE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴AE＝8﹣3＝5．
19．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？
（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？
（3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率．
解：（1）本次抽取的学生有：12÷20%＝60（人），
C组学生有：60﹣6﹣12﹣18＝24（人），
答：被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有24人；
（2）∵一共有60个数据，其中位数是第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均落在C组，
∴所抽取学生成绩的中位数落在C：80≤x＜90这一组内；
（3）分别记七，八年级的学生为A和B，记九年级同学为C、D，
则根据题意，画如下的树状图：
共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，
所以九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率为＝．
20．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75海里．
（1）求B点到直线CA的距离；
（2）执法船从A到D航行了多少海里？
解：（1）过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，如图．
∵∠EBC＝60°，
∴∠CBA＝30°，
∵∠FAD＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠BCA＝180°﹣∠BAC﹣∠CBA＝30°，
∴BH＝BC＝×150＝75（海里），
答：B点到直线CA的距离是75海里；
（2）∵BD＝75海里，BH＝75海里，
∴DH＝＝75（海里），
∵∠BAH＝180°﹣∠BAC＝60°，
在Rt△ABH中，tan∠BAH＝＝，
∴AH＝25，
∴AD＝DH﹣AH＝（75﹣25）（海里）．
答：执法船从A到D航行了（75﹣25）海里．
21．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，
解得：k≤﹣1．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．
∵+＝k﹣2，
∴＝＝k﹣2，
∴k2﹣6＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝．
又∵k≤﹣1，
∴k＝﹣．
∴存在这样的k值，使得等式+＝k﹣2成立，k值为﹣．
22．如图1，点C在以AB为直径的⊙O上，P是AB延长线上一点，∠PCB＝∠PAC，过点C作CE⊥AB，垂足为D，交⊙O于点E．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若点D是PA的中点，求∠P的度数；
（3）如图2，过点B作BM∥PC交⊙O于点M，交CD于点N，连接AM．若tan∠P＝，CN＝5，求AM的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠OCA+∠BCO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠PAC，
∴∠PAC+∠BCO＝90°，
∵∠PCB＝∠PAC，
∴∠PCB+∠BCO＝90°，
∴∠OCP＝90°，
∵OC是圆的半径，
∴PC是⊙O的切线．
（2）解：∵D是PA的中点，CE⊥AB，
∴AC＝CP，∠P＝∠PAC，
∵∠PCB＝∠PAC＝∠P，
∴∠ABC＝2∠PAC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠PAC+∠ABC＝90°，
∴3∠PAC＝90°，
∴∠P＝∠PAC＝30°．
（3）∵BM∥PC，
∴∠PCB＝∠CBM，
∵CE⊥AB，
∴，
∴∠BCE＝∠BAC，
∵∠PCB＝∠BAC，
∴∠BCE＝∠CBM，
∴CN＝BN＝5，
在Rt△DBN中，
∵BM∥PC，
∴∠DBN＝∠P，
∵tan∠DBN＝tan∠P＝，
∴DN：DB：BN＝3：4：5，
∵BN＝5，
∴DN＝3，BD＝4，
∴CD＝8，
在Rt△OCD中，设OC＝r，则r2﹣（r﹣4）2＝82，
解得r＝10，
∴AB＝2r＝20，
在Rt△ABM中，，
∴AM：AB＝3：5，
∴AM＝12．
23．某水果超市经销一种进价为18元/kg的水果，根据以前的销售经验，该种水果的最佳销售期为两周时间（14天），销售人员整理出这种水果的销售单价y（元/kg）与第x天（1≤x≤14）的函数图象如图所示，而第x天（1≤x≤14）的销售量m（kg）是x的一次函数，满足下表：
（1）请分别写出销售单价y（元/kg）与x（天）之间及销售量m（kg）是x（天）的之间的函数关系式；
（2）求在销售的第几天时，当天的利润最大，最大利润是多少？
（3）请求出试销的两周时间（14天）中，当天的销售利润不低于1680元的天数．
解：（1）当1≤x≤7时，y＝60；
当8≤x≤14时，设y＝kx+b，将（8，50）、（12，46）代入得：，
解得，
∴y＝﹣x+58；
综上，；
设m＝ax+c，将（1，20）、（2，24）代入得：，
解得，
∴m＝4x+16（1≤x≤14且x为整数）；
（2）设当天的总利润为w元，
①当1≤x≤7时，w＝（60﹣18）（4x+16）＝168x+672，
∵168＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴x＝7时，w取得最大值，最大值为1848元；
②当8≤x≤14时，w＝（﹣x+58﹣18）（4x+16）＝﹣4x2+144x+640，
∵﹣4＜0，
∴开口向下，且对称轴为直线x＝18，
∵8≤x≤14在对称轴的左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝14时，w取得最大值，最大利润为1872元；
综上，在销售的第14天时，当天的利润最大，最大利润是1872元；
（3）当1≤x≤7时，由168x+672≥1680解得x≥6，
∴此时满足条件的天数为第6、7这2天；
当8≤x≤14时，由﹣4x2+144x+640＝1680解得x1＝10，x2＝26，
由图象可知：当10≤x≤26时w≥1680，
又∵x≤14，
∴10≤x≤14，
∴此时满足条件的天数有5天．
综上，试销的两周时间中，当天的销售利润不低于1680元的有7天．
24．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax+2与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2﹣x1＝5，连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求点A，B的坐标及抛物线的解析式；
（2）设△CEF的面积为S1，△CDF的面积为S2，当最大时，求k的值；
（3）在（2）的条件下，点P是抛物线上一点，点Q是直线DE上一点，是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即x1+x2＝3，
由，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0）；
把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣3ax+2得，a+3a+2＝0，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点E作EH∥y轴交BC于点H，
∴CD∥EH，
∴，
∵y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，
∴D（0，1），
∴CD＝1．
设BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将B（4，0），C（0，2）代入得：，
解得，
∴BC的解析式为；
设E，则H，其中0＜t＜4，
∴＝，
∴当t＝2时，最大，
此时，点E的坐标为（2，3），
将点E（2，3）代入y＝kx+1，得k＝1；
（3）存在，由（2）得k＝1，
∴直线DE的解析式y＝x+1，
设P（n，﹣n2+n+2），则Q（q，q+1），
∵A（﹣1，0），C（0，2），
若以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形分以下三种情况：
①以AC为对角线，则，
解得（舍去）或，
∴Q（﹣2，﹣1）；
②以AQ为对角线，则，
解得或，
∴Q（，）或Q（，）；
③以AP为对角线，则，
解得（舍去）或，
∴Q（0，1）；
综上，符合条件的Q点坐标为（﹣2，﹣1）或（0，1）或（，）或（，）．
x（天）
1
2
3
…
m（kg）
20
24
28
…
x（天）
1
2
3
…
m（kg）
20
24
28
…