课时训练14　二次函数的图象及其性质(二)

课时训练(十四)　二次函数的图象及其性质(二)

(限时:40分钟)

|夯实基础|

1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点的个数是 (　　)

A.3                              B.2 

C.1                              D.0

2.[2017·宿迁] 将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线相应的函数表达式是 (　　)

A.y=(x+2)2+1 

B.y=(x+2)2-1

C.y=(x-2)2+1 

D.y=(x-2)2-1

3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图K14-1所示,则下列结论中正确的是 (　　)

图K14-1

A.a>0 

B.当-1<x<3时,y>0

C.c<0 

D.当x≥1时,y随x的增大而增大

4.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为直线x=-1,则使函数值y>0成立的x的取值范围是 (　　)

A.x<-4或x>2

B.-4≤x≤2

C.x≤-4或x≥2

D.-4<x<2

5.[2018·襄阳] 已知二次函数y=x2-x+m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是 (　　)

A.m≤5                                 B.m≥2

C.m<5                                 D.m>2

6.[2017·苏州] 若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为 (　　)

A.x1=0,x2=4 

B.x1=-2,x2=6

C.x1=,x2= 

D.x1=-4,x2=0

7.[2018·烟台] 如图K14-2,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0),B(3,0).下列结论:①2a-b=0;②(a+c)2<b2;③当-1<x<3时,y<0;④当a=1时,将抛物线先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,得到抛物线y=(x-2)2-2.其中正确的是              (　　)

图K14-2

A.①③                                       B.②③

C.②④                                       D.③④

8.[2018·黄冈] 当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为 (　　)

A.-1                                           B.2

C.0或2                                       D.-1或2

9.[2018·淮安] 将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是　　　　. 

10.[2018·孝感] 如图K14-3,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是　　　　. 

图K14-3

11.[2018·镇江] 已知二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,则实数k的取值范围是　　　　. 

12.[2018·广安] 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K14-4所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的有　　　　(填序号). 

①abc>0;②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3;③2a+b=0;④当x>0时,y随x的增大而减小.

图K14-4

13.[2018·黄冈] 已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.

(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;

(2)设直线l与该抛物线的两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.

|拓展提升|

14.[2018·乐山] 已知关于x的一元二次方程mx2+(1-5m)x-5=0(m≠0).

(1)求证:无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;

(2)若抛物线y=mx2+(1-5m)x-5与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且|x1-x2|=6,求m的值;

(3)若m>0,点P(a,b)与Q(a+n,b)在(2)中的抛物线上(点P,Q不重合),求代数式4a2-n2+8n的值.

参考答案

1.A　[解析] 抛物线的解析式为y=-3x2-x+4,

令x=0,解得y=4,∴抛物线与y轴的交点为(0,4).

令y=0,得-3x2-x+4=0,即3x2+x-4=0,解得x1=-,x2=1.

∴抛物线与x轴的交点分别为,(1,0).

综上,抛物线与坐标轴的交点个数为3,

故选A.

2.C　[解析] 根据函数图象平移的规律“左加右减,上加下减”得y=(x-2)2+1,故选C.

3.B

4.D　[解析] ∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为直线x=-1,

∴二次函数的图象与x轴另一个交点为(-4,0),

∵a<0,∴抛物线开口向下,

则使函数值y>0成立的x的取值范围是-4<x<2.

5.A　[解析] ∵二次函数的图象与x轴有交点,

∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×m-1≥0,解得m≤5.

故选A.

6.A　[解析] 根据题意可得4a+1=0,a=-,则-(x-2)2+1=0,解一元二次方程得x1=0,x2=4.

7.D　[解析] ①∵A(-1,0),B(3,0),∴对称轴是直线x=-==1,∴2a+b=0,又∵a≠0,b≠0,∴①错误,可以排除A选项;②∵x=-1时,y=a-b+c=0,∴a+c=b,∴(a+c)2=b2,∴②错误,可以排除B,C选项;③当-1<x<3时,抛物线在x轴下方,y<0,∴③正确;④当a=1时,抛物线y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3=(x-1)2-4,将抛物线先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,得抛物线y=(x-1-1)2-4+2=(x-2)2-2,∴④正确;故选D.

8.D　[解析] y=x2-2x+1=(x-1)2,该函数在实数范围内的最小值为0,但题中说当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,因此,当x=a或x=a+1时,函数值为1,令y=1,可得x1=0,x2=2,∴a+1=0或a=2,即a=-1或2,故选D.

9.y=x2+2

10.x1=-2,x2=1　[解析] ∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),∴的解为即方程ax2=bx+c的解是x1=-2,x2=1.

11.k<4　[解析] ∵二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,

∴二次函数y=x2-4x+k的图象与x轴有两个公共点.

∴b2-4ac>0,即(-4)2-4×1×k>0.解得k<4.

12.②③　[解析] ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口下,∴a<0.

∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴,

∴c>0.

∵对称轴x=->0,∴b>0,∴abc<0.

∴①错误.

由二次函数图象与x轴的一个交点的横坐标为3,对称轴为直线x=1,

则另一个交点的横坐标为2×1-3=-1,

∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3.

∴②正确.

∵对称轴为直线x=-=1,

∴2a+b=0.

∴③正确.

∵二次函数图象的开口向下,对称轴为直线x=1,

∴当0<x<1时,y随x的增大而增大,当x>1时,y随x的增大而减小.

∴④错误.

故正确的有②③.

13.解:(1)证明:联立两个函数,得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,其中Δ=(4+k)2+4>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l与抛物线总有两个交点.

(2)如图,连接AO,BO,联立两个函数,得x2-4x=-2x+1,解得x1=1-,x2=1+.设直线l与y轴交于点C,在一次函数y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),OC=1.

所以S△ABO=S△AOC+S△BOC=·OC·|xA|+·OC·|xB|=·OC·|xA-xB|=×1×2=.

14.解:(1)证明:由题意得:Δ=(1-5m)2-4m×(-5)=(5m+1)2≥0,

∴无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根.

(2)解方程mx2+(1-5m)x-5=0,

得x1=-,x2=5.

由|x1-x2|=6,得=6.

解得m=1或m=-.

(3)由(2)得,当m>0时,m=1.

此时抛物线解析式为y=x2-4x-5,

其对称轴为直线x=2.

由题意知,P,Q关于直线x=2对称.

∴=2,∴2a=4-n.

∴4a2-n2+8n=(4-n)2-n2+8n=16.