提分专练07　切线的性质与判定

提分专练(七)　切线的性质与判定

|类型1|　切线的性质

1.[2018·沈阳] 如图T7-1,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE的延长线于点C.

图T7-1

(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;

(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长.

2.[2018·随州] 如图T7-2,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,CN为☉O的切线,OM⊥AB于点O,分别交AC,CN于D,M两点.

(1)求证:MD=MC;

(2)若☉O的半径为5,AC=4,求MC的长.

图T7-2

|类型2|　切线的判定

3.[2018·怀化] 已知:如图T7-3,AB是☉O的直径,AB=4,点F,C是☉O上两点,连接AC,AF,OC,弦AC平分∠FAB,∠BOC=60°,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D,垂足为点D.

图T7-3

(1)求扇形OBC的面积(结果保留π);

(2)求证:CD是☉O的切线.

4.[2018·青海] 如图T7-4,△ABC内接于☉O,∠B=60°,CD是☉O的直径,点P是CD延长线上一点,且AP=AC.

图T7-4

(1)求证:PA是☉O的切线;

(2)若PD=,求☉O的直径.

参考答案

1.解:(1)如图,连接OA,

∵AC为☉O的切线,OA是☉O的半径,

∴OA⊥AC.

∴∠OAC=90°.

∵∠ADE=25°,∴∠AOE=2∠ADE=50°.

∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.

(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C.

∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,∴3∠C=90°,∠C=30°.

∴OA=OC.

设☉O的半径为r,

∵CE=2,∴r=(r+2).∴r=2.

∴☉O的半径为2.

2.解:(1)证明:连接OC,

∵CN为☉O的切线,

∴OC⊥CM,

∴∠OCA+∠MCD=90°.

∵OM⊥AB,

∴∠OAC+∠ODA=90°.

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA,

∴∠MCD=∠ODA.

又∵∠ODA=∠MDC,

∴∠MCD=∠MDC,

∴MD=MC.

(2)依题意可知AB=5×2=10,AC=4,

∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,

∴BC==2.

∵∠AOD=∠ACB,∠A=∠A,

∴△AOD∽△ACB,

∴=,即=,得OD=.

设MC=MD=x,在Rt△OCM中,

由勾股定理得x+2=x2+52,

解得x=,即MC=.

3.解:(1)∵∠BOC=60°,直径AB=4,即半径等于2,

∴扇形OBC的面积==π.

(2)证明:∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.

又∵AC平分∠BAF,∴∠OAC=∠FAC,

∴∠FAC=∠OCA,∴OC∥AD.

又∵CD⊥AD,∴CD⊥OC,∴CD是☉O的切线.

4.解:(1)证明:连接OA,

∵∠B=60°,

∴∠AOC=2∠B=120°,

又∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA=30°,

又∵AP=AC,

∴∠P=∠ACP=30°,

∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°,

∴OA⊥PA,

∴PA是☉O的切线.

(2)在Rt△OAP中,

∵∠P=30°,

∴PO=OD+PD=2OA,

又∵OA=OD,

∴PD=OA,

∵PD=,

∴2OA=2PD=2.

∴☉O的直径为2.