2021年上海市中考数学试卷（含答案解析）
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2021年上海市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）
- 下列实数中，有理数是
A. B. C. D.
- 下列单项式中，的同类项是
A. B. C. D.
- 将函数的图象向下平移两个单位，以下错误的是
A. 开口方向不变 B. 对称轴不变
C. 随的变化情况不变 D. 与轴的交点不变
- 商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适
A. 包 B. 包 C. 包 D. 包
- 如图，在平行四边形中，已知，，为中点，则
A. B. C. D.
- 如图，长方形中，，，圆半径为，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是
A. 点在圆外，点在圆内
B. 点在圆外，点在圆外
C. 点在圆上，点在圆内
D. 点在圆内，点在圆外
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
- 计算：______．
- 已知，那么______．
- 已知，则______．
- 不等式的解集是______．
- 的余角是______．
- 若一元二次方程无实数根，则的取值范围为______ ．
- 已知数据、、、、、、、、，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为______．
- 已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式______．
- 某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本元千克，现以元卖出，挣得______元．
- 如图所示，已知在梯形中，，，则______．
|
- 六个带度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为，求中间正六边形的面积______．
|
- 定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为，中心为，在正方形外有一点，，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为______．
|
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
- 计算：．
- 解方程组：．
- 如图，已知中，，，，，为边上的中线．
求的长；
求的值．
|
- 现在手机非常流行，某公司第一季度总共生产万部手机，三个月生产情况如图．
求三月份生产了多少部手机？
手机速度很快，比下载速度每秒多，下载一部的电影，比要快秒，求手机的下载速度．
- 如图，在圆中，弦等于弦，且相交于点，其中、为、中点．
证明：；
连接、、，若，证明：四边形为矩形．
|
- 已知抛物线经过点、．
求抛物线的解析式；
若点在直线上，过点作轴于点，以为斜边在其左侧作等腰直角三角形．
当与重合时，求到抛物线对称轴的距离；
若在抛物线上，求的坐标．
- 如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，联结并延长交边或边于点．
当点在上，
求证：∽；
若，求的值；
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．，不是有理数，不合题意；
B.，不是有理数，不合题意；
C.，是有理数，符合题意；
D.，不是有理数，不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：、字母、的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；
B、有相同的字母，相同字母的指数相等，是同类项，故本选项符合题意；
C、字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；
D、相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；
故选：．
依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，据此判断即可．
本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、将函数的图象向下平移两个单位，不变，开口方向不变，故不符合题意．
B、将函数的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．
C、将函数的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则随的变化情况不变，故不符合题意．
D、将函数的图象向下平移两个单位，与轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．
故选：．
由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，不变，抛物线的增减性不变．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．
4.【答案】
【解析】解：由图知这组数据的众数为，取其组中值，
故选：．
最合适的包装即顾客购买最多的包装，而顾客购买最多的包装质量即这组数据的众数，取所得范围的组中值即可．
本题主要考查频数率分布直方图，解题的关键是根据最合适的包装即顾客购买最多的包装，并根据频数分布直方图得出具体的数据及众数的概念．
5.【答案】
【解析】解：，为中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故选：．
根据相等向量的几何意义和三角形法则解答．
本题考查平面向量，三角形法则，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，
设圆的半径为，
则：，
，圆半径为，
，即圆的半径等于，
，，由勾股定理可知，
，，
点在圆上，点在圆内，
故选：．
两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，得圆的半径等于，由勾股定理得，由点与圆的位置关系，可得结论．
本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．
7.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
根据同底数幂的除法法则进行解答即可．
此题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂相除，底数不变指数相减是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由题意将代入函数表达式，
则有：．
故答案为：．
将代入函数表达式，化简即可．
本题考查函数求值问题，只需将自变量的取值代入函数表达式．
9.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为进行解答即可．
此题考查的是算术平方根的概念，掌握其概念是解决此题关键．
10.【答案】
【解析】解：移项，得：，
系数化为，得：，
故答案为．
不等式移项，把系数化为，即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：根据定义一个角是，则它的余角度数是，
故答案为，．
根据余角的定义即可求解．
本题主要考查了余角的概念，掌握互为余角的两个角的和为度是解决此题关键，
12.【答案】
【解析】解：一元二次方程无实数根，
，
解得，
的取值范围是．
故答案为：．
根据根的判别式的意义得到，然后求出的取值范围．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
13.【答案】
【解析】解：共有个数据，其中偶数有个，
从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为，
故答案为：．
用偶数的个数除以数的总数即可求得答案．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
14.【答案】
【解析】解：函数经过二、四象限，
．
若函数经过，则，即，
故函数经过二、四象限，且函数不经过时，且，
函数解析式为，
故答案为．
根据正比例函数的性质以及正比例函数图象是点的坐标特征即可求解．
考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设卖出的苹果数量与售价之间的函数关系式为，
，
解得：，
，
时，，
现以元卖出，挣得，
故答案为：
根据图象求出函数关系式，计算售价为元时卖出的苹果数量，即可求解．
此题主要考查了函数图象，能够得出卖出的苹果数量与售价之间的函数关系式是解题关键．
16.【答案】
【解析】解：过作于，过作于，如图：
，，，
四边形是矩形，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过作于，过作于，由四边形是矩形，可得，，根据，可得，，即可得到．
本题考查平行线分线段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定与性质，掌握同等底三角形面积比等于高之比，同等高的三角形面积比等于底之比是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图，≌，
，
，
，
即，
，
中间正六边形的面积，
故答案为：．
利用≌得到，再根据含度的直角三角形三边的关系得到，接着证明可得结论．
本题考查了含度角的直角三角形：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了正多边形与圆，解题的关键是求出．
18.【答案】
【解析】解：如图：设的中点是，过点时，点与边上所有点的连线中，最小，此时最大，过顶点时，点与边上所有点的连线中，最大，此时最小，
如图：正方形边长为，为正方形中心，
，，，
，
，
；
如图：正方形边长为，为正方形中心，
，，，
，
，
；
的取值范围为．
故答案为：．
由题意以及正方形的性质得过正方形各边的中点时，最大，过正方形的顶点时，最小，分别求出的值即可得出答案．
本题考查正方形的性质，旋转的性质，根据题意得出最大、最小时点的位置是解题的关键．
19.【答案】解：
．
【解析】直接利用算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20.【答案】解：，
由得：，
把代入，得：，
化简得：，
解得：，．
把，依次代入得：
，，
原方程组的解为．
【解析】解方程组的中心思想是消元，在本题中，只能用代入消元法解题．
本题以解高次方程组为背景，旨在考查学生对消元法的灵活应用能力．
21.【答案】解：，，，
，
在中，由勾股定理得，
，
即的长为；
如图，
连接，过点作的垂线，垂足，
为边上的中线，
即为的中点，
，
在中，由勾股定理得，
，
三角形为等腰三角形，，
，
在中，，
．
解法二：为边上的中线，
是中点，
，，
，
是 的中位线，
，，
在 中，．
【解析】解锐角三角函数可得解；
解法一：连接，过作的垂线，垂足为，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，由勾股定理可得，，即可求．
解法二：直接用三角形中位线定理求解即可．
本题考查解直角三角形，解本题关键根据题意作辅助线，熟练掌握解锐角三角函数和勾股定理等基本知识点．
22.【答案】解：万部，
答：三月份生产了万部手机；
设手机的下载速度是每秒则手机的下载速度是每秒．
，
解得：，不合题意，舍去，
经检验，是原方程的解，
答：手机的下载速度是每秒．
【解析】先根据扇形统计图求出三月份所占百分比，即可利用总数乘以三月份所占百分比求解；
设手机的下载速度是每秒则手机的下载速度是每秒根据“下载一部的电影，比要快秒”，列方程求解即可．
此题主要考查的是如何观察扇形统计图并且从统计图中获取信息，分式方程的应用，理解题意，找出正确的等量关系列出方程是解题的关键．
23.【答案】证明：连接，，，，．
，，，
，，，
，
，
≌，
，
，，
≌，
，
，
．
证明：连接，设交于．
，，，
，，
，
，
，，
垂直平分线段，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
【解析】利用全等三角形的性质证明，，可得结论．
连接，设交于，想办法证明，可得结论．
本题属于圆综合题，考查了全等三角形的判定和性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，矩形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
24.【答案】解：、代入得：
，解得，
抛物线的解析式为：；
过作于，交轴于，如图：
当与重合时，，，
是等腰直角三角形，
和也是等腰直角三角形，
，
，
而抛物线的对称轴是轴，
到抛物线对称轴的距离是；
过作于，如图：
设直线解析式为，将、代入得：
，解得，
直线为，
设，则，
，
当，时，，
将代入得：
，
解得或与重合，舍去，
，，，
当，时，，
，由可知，
此时、、重合，舍去，
【解析】、代入即可得抛物线的解析式为；
过作于，交轴于，与重合时，，，由是等腰直角三角形，得，到抛物线对称轴的距离是；
过作于，先求出直线为，设，则，，，将代入解得或与重合，舍去，即可求出
本题考查二次函数综合应用，涉及解析式、对称轴、等腰直角三角形、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示的坐标．
25.【答案】证明：如图，
，
．
，
．
是斜边上的中线，
，
，
，
∽；
解：如图，若，
在中，，
．
过点作于点，
设，则，
在中，，
，
，
；
如图，当点在上时，
，
，，
是的中点，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形．
设，
，
，
，
，
在和中，，，
，
解得，或舍去．
．
如图，当点在上时，设，则，
设，
，
，
∽，
，
，
．
又，，
∽，
，
，
，
，
将代入，
整理得，，
解得，或舍去．
．
综合以上可得的长为或．
【解析】由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，由直角三角形的性质得出，根据相似三角形的判定定理可得出结论；
得出过点作于点，设，则，则可得出答案；
如图，当点在上时，证明四边形是矩形．设，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案；
如图，当点在上时，设，则，设，由相似三角形的性质得出，证明∽，得出比例线段，可得出方程，解方程可得出答案．
本题是相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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2023年上海市中考数学试卷（含答案解析）： 这是一份2023年上海市中考数学试卷（含答案解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
