2021年吉林省中考数学试卷（含答案解析）

2021年吉林省中考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. 化简的结果为

A.  B.  C.  D.

2. 据吉林日报年月日报道，第一季度一汽集团销售整车辆，数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 不等式的解集是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是

A.
B.
C.
D.
 

5. 如图，四边形内接于，点为边上任意一点点不与点，重合连接若，则的度数可能为

A.
B.
C.
D.

6. 古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是若设这个数是，则所列方程为

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7. ______．
8. 因式分解： ______ ．
9. 计算： ______ ．
10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______ ．
11. 如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下：
    分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点；
    作直线．
    上述作法中满足的条作为 ______ 填“”，“”或“”

12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为______ ．

13. 如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为______
     

14. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为______ 结果保留．
    
    
    
    
     

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分）

15. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
16. 第一盒中有个白球、个黑球，第二盒中有个白球，个黑球这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出个球，用画树状图或列表的方法，求取出的个球都是白球的概率．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，在上，在上，，，求证：．
    
    
     

18. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共其中桥梁长度比隧道长度的倍少求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
    
    
    
    
    
    
     
19. 图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
    在图中，以点，，为顶点画一个等腰三角形；
    在图中，以点，，，为顶点画一个面积为的平行四边形．

20. 年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长给出了快递业务的有关数据信息．
    
    年快递业务量增长速度统计表

说明：增长速度计算办法为：增长速度
根据图中信息，解答下列问题：
年快递业务量最多年份的业务量是______ 亿件．
年快递业务量增长速度的中位数是______ ．
下列推断合理的是______ 填序号．
因为年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估年的快递业务量应低于年的快递业务量；
因为年快递业务量每年的增长速度均在以上所以预估年快递业务量应在亿件以上．






 

21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点．
    求反比例函数的解析式；
    求的面积．

22. 数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：
    在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；
    如图，是经过南、北极的圆，地球半径约为弦，过点作于点，连接若，则以为半径的圆的周长是北纬纬线的长度；
    参考数据：取，，．
    
    小组成员给出了如下解答，请你补充完整：
    解：因为，，
    所以______ 填推理依据，
    因为，所以，
    在中，．
    ______ 填“”或“”．
    所以北纬的纬线长．
    ______ 填相应的三角形函数值
    ______ 结果取整数．

23. 疫苗接种，利国利民甲、乙两地分别对本地各万人接种新冠疫苗甲地在前期完成万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过天后接种人数达到万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果天完成接种任务，乙地天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数万人与各自接种时间天之间的关系如图所示．
    直接写出乙地每天接种的人数及的值；
    当甲地接种速度放缓后，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
    当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．
     

24. 如图，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点．
    
    若直接写出的长用含的代数式表示；
    若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如，判断四边形的形状，并说明理由；
    若，直接写出的度数．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在矩形中，，动点从点出发沿折线向终点运动，在边上以的速度运动；在边上以的速度运动，过点作线段与射线相交于点，且，连接，设点的运动时间为，与重合部分图形的面积为
    当点与点重合时，直接写出的长；
    当点在边上运动时，直接写出的长用含的代数式表示；
    求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点
    求此二次函数的解析式；
    当时，求二次函数的最大值和最小值；
    点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．
    求的取值范图；
    当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
故选：．

本题考查相反数，解题关键是掌握相反数的性质．
 

2.【答案】
 

【解析】解：，
故选：．
把一个数表示成与的次幂相乘的形式不为分数形式，为整数．
本题考查科学记数法，解题关键是熟练掌握用科学记数法表示较大的数．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
按照解不等式步骤：移项，合并同类项，系数化为求解．
本题考查解不等式，熟练掌握不等式的基本性质，不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变是解题关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．
故选：．
粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．
本题考查简单几何体的三视图，解题关键是掌握主视图是从正面看到的图形．
 

5.【答案】
 

【解析】解：四边形内接于，
，
，
，
为的外角，
，只有满足题意．
故选：．
由圆内接四边形的性质得度数为，再由为的外角求解．
本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．
 

6.【答案】
 

【解析】解：由题意可得．
故选：．
根据题意列方程．
本题考查列一元一次方程，解题关键是通过题干找出等量关系．
 

7.【答案】
 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用算术平方根的性质化简进而得出答案．
此题主要考查了实数运算，涉及算术平方根的知识．
 

8.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
利用提公因式法求解．
本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的各种方法．
 

9.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
根据分式的加减法则运算．
本题考查分式的加减法，解题关键是熟练掌握分式运算的法则．
 

10.【答案】
 

【解析】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
由判别式求解．
本题考查根的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
半径长度，
即．
故答案为：．
作图方法为以，为圆心，大于长度画弧交于，两点．
本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法．
 

12.【答案】
 

【解析】解：作轴于点，

由旋转可得，轴，
四边形为矩形，
，，
点坐标为．
故答案为：．
作轴于点，由旋转的性质可得，，进而求解．
本题考查平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题关键是通过添加辅助线求解．
 

13.【答案】
 

【解析】解：如图，过作于，则，

，即，
解得，
故答案为：．
根据，可得，进而得出即可．
本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．
 

14.【答案】
 

【解析】解：连接，

，
，
，
为等边三角形，
，，

，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
连接，由扇形面积三角形面积求解．
本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形为等边三角形与扇形面积的计算．
 

15.【答案】解：

，
当时，原式．
 

【解析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简与求值，能熟记平方差公式和单项式乘以多项式法则是解此题的关键．
 

16.【答案】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有种，
所以取出的个球都是白球的概率为．
答：取出的个球都是白球的概率为．
 

【解析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两次都是白球的概率即可．
本题考查列表法求简单的等可能事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
 

17.【答案】证明：在与中，
，
≌，
全等三角形的对应边相等．
 

【解析】根据全等三角形的判定定理可以证得≌，然后由“全等三角形的对应边相等”即可证得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角．
 

18.【答案】解：设港珠澳大桥隧道长度为，桥梁长度为．
由题意列方程组得：．
解得：
答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为和．
 

【解析】设港珠澳大桥隧道长度为，桥梁长度为由桥梁和隧道全长共，得桥梁长度比隧道长度的倍少，得，然后列出方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．
 

19.【答案】解：如图中，即为所求答案不唯一．
如图中，四边形即为所求．

 

【解析】根据等腰三角形的定义画出图形即可答案不唯一．
作应该底为，高为的平行四边形即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】 
 

 

【解析】解：由年快递业务量统计图可知，年的快递业务量最多是亿件，
故答案为：；
将年快递业务量增长速度从小到大排列处在中间位置的一个数是，因此中位数是，
故答案为：；
年快递业务量的增长速度下降，并不能说明快递业务量下降，而业务量也在增长，只是增长的速度没有那么快，因此不正确；
因为年快递业务量每年的增长速度均在以上．所以预估年快递业务量应在亿件以上，因此正确；
故答案为：．
根据年快递业务量统计图可得答案；
根据中位数的意义，将年快递业务量增长速度从小到大排列找出中间位置的一个数即可；
利用业务量的增长速度率估计年的业务量即可．
本题考查条形统计图，中位数，样本估计总体，理解“增长率”“增长速度”“增长量”的意义及相互关系是正确判断的前提．
 

21.【答案】解：点是直线与反比例函数交点，
点坐标满足一次函数解析式，
，
，
，
，
反比例函数的解析式为；
轴，
，轴，
，
令，则，
，
，
，
的面积为．
 

【解析】因为一次函数与反比例函数交于点，将代入到一次函数解析式中，可以求得点坐标，从而求得，得到反比例函数解析式；
因为轴，所以，利用一次函数解析式可以求得它与轴交点的坐标，由，，三点坐标，可以求得和的长度，并且轴，所以，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，会用坐标求解析式，会用解析式求坐标是解决此题的基本要求，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．
 

22.【答案】两直线平行，内错角相等；  ；  ； 
 

【解析】解：因为，，
所以两直线平行，内错角相等填推理依据，
因为，所以，
在中，．
填“”或“”．
所以北纬的纬线长．
填相应的三角形函数值
结果取整数．
故答案为：两直线平行，内错角相等；；；．

由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．
本题考查解直角三角形，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法．
 

23.【答案】解：乙地接种速度为万人天，
，
解得．
设，将，代入解析式得：
，
解得，
．
把代入得，
万人．
 

【解析】由接种速度接种人数接种天数求解．
利用待定系数法求解．
将代入问中解析式得出，然后由．
本题考查一次函数的应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解．
 

24.【答案】解：如图，在中，，
是斜边上的中线，，

四边形是菱形．
理由如下：
如图于点，
，
；
由折叠得，，
，
；
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
，
，
四边形是菱形．
如图，点与点在直线异侧，
，
；
由折叠得，，
；
如图，点与点在直线同侧，
，
，
，
由折叠得，，
，
．
综上所述，或．
 

【解析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得；
由题意可得，，由“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”，得，得，则四边形是平行四边形，再由折叠得，于是判断四边形是菱形；
题中条件是“点是射线上一点”，因此又分两种情况，即点与点在直线的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果．
此题重点考查直角三角形的性质、轴对称的特征、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解．
 

25.【答案】解：如图，

在中，，，
，
．
点在上运动时间为，
点在上时．
当时，点在上，作于点，交于点，作于点，

同可得．
，
当时，
时，点在上，
，
，
，
．
，
，
，
，
．
当时，点在延长线上，交于点，如图，


，，
，
，
．
当时，点在上，如图，

，
．
综上所述，
 

【解析】由求解．
点在上运动时间为，则点在上时．
分类讨论点在上，点在上．点在上，点在延长线上．点在上．
本题考查四边形综合应用，解题关键是熟练掌握矩形的性质及解直角三角形方法，通过数形结合求解．
 

26.【答案】解：将，点代入得：
，
解得，
．
，
抛物线开口向上，对称轴为直线．
当时，取最小值为，
，
当时，取最大值．
，
当时，，的长度随的增大而减小，
当时，，的长度随增大而增大，
满足题意，
解得．
，
，
解得，
如图，当时，点在最低点，与图象有交点，

增大过程中，，点与点在对称轴右侧，与图象只有个交点，

直线关于抛物线对称轴直线对称后直线为，
时，与图象有个交点，

当时，与图象有个交点，

综上所述，或时，与图象交点个数为，时，与图象有个交点．
 

【解析】利用待定系数法求解．
将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．
由求出取值范围，
通过数形结合求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．