湖南省安仁县思源实验学校2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题

2021年下期八年级期末考试测试卷

一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分）

1. 下列各数：3.14，﹣2，0.1010010001…，0，﹣π，，0.6，其中无理数有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

【解析】

【分析】无理数常见的三种类型：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，如分数是无理数，因为是无理数．

【详解】解：在所列的实数中，无理数有，共2个，

故选：B．

【点睛】本题主要考查的是无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的常见类型．

2. 下列二次根式中不是最简二次根式的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，由此判断各选项可得出答案．

【详解】A、符合最简二次根式的条件，故本选项正确，不符合题意；

B、，不是最简二次根式，符合题意；

C、符合最简二次根式的条件，故本选项正确，不符合题意；

D、符合最简二次根式的条件，故本选项正确，不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查最简二次根式的知识，属于基础题，注意掌握二次根式的满足的两个条件．

3. 若分式的值为0，则x的值是（　　）

A. 0 B. 2 C. 2或﹣2 D. ﹣2

【答案】B

【解析】

【分析】根据分式的值为0的条件，可得，且，解出即可．

【详解】∵，，

∴，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了分式的值为0的条件，熟练掌握当分式的分子为0，分母不等于0时，分式的值为0是解题的关键．

4. 若把分式的x，y同时扩大2倍，则分式的值为（　　）

A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 缩小为原来的

【答案】D

【解析】

【分析】分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．

【详解】解：根据题意得：＝＝，

即把分式的x，y同时扩大2倍，则分式的值缩小为原来的，

故选：D．

【点睛】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．

5. 在数轴上表示不等式﹣1＜x2，其中正确的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】不等式﹣1＜x≤2在数轴上表示不等式x＞﹣1与x≤2两个不等式的公共部分，据此求解即可．

【详解】解：“＞”空心圆圈向右画折线，“≤”实心圆点向左画折线．

故在数轴上表示不等式﹣1＜x⩽2如下：

故选A．

【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

6. 如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）

A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN=BN，∵△BCN的周长是7cm，∴BN+NC+BC=7（cm），∴AN+NC+BC=7（cm），∵AN+NC=AC，∴AC+BC=7（cm），又∵AC=4cm，∴BC=7﹣4=3（cm）．故选C．

考点：线段垂直平分线的性质．

7. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）

A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：添加A可以利用ASA来进行全等判定；添加B可以利用SAS来进行判定；添加C选项可以得出AD=AE，然后利用SAS来进行全等判定.

考点：三角形全等的判定

8. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．

【详解】解：由图知：1＜a＜2，

∴a−1＞0，a−2＜0，

原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3．

故选D．

【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键．

二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）

9. 若有意义，则x的取值范围为_______________．

【答案】且

【解析】

【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．

【详解】解：由题意得：，且

解得：且

故答案为：且

【点睛】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，掌握：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

10. 的平方根是_________

【答案】．

【解析】

【详解】【分析】先确定，再根据平方根定义可得的平方根是±.

【详解】因为，6的平方根是±，所以的平方根是±.

故正确答案为±.

【点睛】此题考核算术平方根和平方根定义.此题关键要看清符号所表示的意义.

11. 、、的公分母是___________ .

【答案】12x3y－12x2y2

【解析】

【分析】根据确定最简公分母的方法进行解答即可．

【详解】系数的最小公倍数是12；

x的最高次数是2；

y与（x-y）的最高次数是1；

所以最简公分母是12x2y（x-y）．
故答案为12x2y（x-y）．

【点睛】此题考查了最简公分母的取法，确定最简公分母的方法有三步，分别为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，三步得到的因式的积即为最简公分母．

12. “x的3倍与2的和不大于5”用不等式表示为 _________．

【答案】3x+2≤5

【解析】

【分析】不大于就是小于等于的意思，根据x的3倍与2的和不大于5，可列出不等式．

【详解】解：由题意得：3x+2≤5，

故答案为：3x+2≤5．

【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．

13. 不等式(m－2)x>2－m的解集为x<－1，则m的取值范围是______．

【答案】m＜2

【解析】

【详解】当m-2>0时，解集x>=-1，无解；

当m-2<0时，解集是x<=-1，所以m<2．

故答案是m<2．

14. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝_____．

【答案】50°．

【解析】

【分析】利用角平分线的定义结合的度数可得出的值，进而可得出、的值，在中利用三角形内角和定理可求出的值，此题得解．

【详解】解：平分，，

，

，

．

，

，

．

故答案为50°．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的行政，熟悉相关性质是解题的关键．

15. 若实数m，n满足(m－1)2＋＝0，则(m＋n)5＝________．

【答案】-1

【解析】

【详解】由题意知，

m，n满足（m-1）2+=0，

∴m=1，n=-2，

∴（m+n）5=（1-2）5=-1．

16. 如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算______．

【答案】81

【解析】

【分析】根据作图痕迹可得AD是平分线，EF是线段BC的垂直平分线，根据角与角之间关系即可求解．

【详解】解：∵，，

∴，

根据作图痕迹可得AD是平分线，

∴，

根据作图痕迹可得EF是线段BC的垂直平分线，

∴，

∴，

∴．

故答案：81．

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质，解题的关键是掌握相关性质并熟练运用数形结合的思想．

三．解答题（共11小题，第17-19每小题各6分，20-23每小题各8分，24-25每小题各10分，26小题12分，共82分）

17. 计算：．

【答案】

【解析】

【分析】根据二次根式的化简、零指数幂的计算和负指数幂的计算得出结果．

【详解】原式

．

【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是掌握各类运算法则．

18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

【答案】-3＜x≤2.

【解析】

【详解】试题分析：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．

试题解析：

∵解不等式①得：x＞-3，

解不等式②得：x≤2，

∴不等式组的解集为-3＜x≤2，

在数轴上表示不等式组的解集为：．

考点：1.解一元一次不等式组；2.在数轴上表示不等式的解集．

19. 解分式方程：

【答案】

【解析】

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】解：去分母得：

解得：

经检验是分式方程的解；

所以，原方程解是．

【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

20. 先化简，再求值：，其中x＝﹣1．

【答案】3x+2，-1

【解析】

【分析】先把括号里通分，再把除法转化乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给数值代入计算．

【详解】解：原式＝×

=

＝3x+2，

当x＝﹣1时，

原式=3×(-1)+2＝﹣1．

【点睛】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．

21. 已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣15．

（1）求x的值；

（2）求a+1的立方根．

【答案】（1）x＝2；（2）2

【解析】

【分析】（1）根据正数a的两个平方根互为相反数列式求出x的值即可；

（2）把（1）中求出的a的值代入a+1，然后再求立方根即可．

【详解】解：（1）∵一个正数a的两个平方根分别是x+5和4x﹣15，

∴（x+5）+（4x﹣15）＝0，

∴5x﹣10＝0，解得x＝2；

（2）由（1）得x＝2，

∴a＝（2+5）2＝49．

a+1＝×49+1＝7+1＝8，

∴a+1的立方根是：＝2．

【点睛】本题主要考查了平方根的性质、立方根的性质等知识点，一个正数的两个平方根互为相反数；一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．

22. 受疫情影响，洗手液需求量猛增，某商场用4000元购进一批洗手液后，供不应求，商场用8800元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．

（1）求该商场购进的第一批洗手液的单价；

（2）商场销售这种洗手液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？

【答案】（1）元/瓶；（2）元

【解析】

【分析】（1）设商场购进第一批洗手液的单价为元/瓶，根据所购数量是第一批的2倍，但单价贵了1元，列出方程即可解决问题；

（2）根据题意分别求出两次的利润即可解决问题．

【详解】解：（1）设商场购进第一批洗手液的单价为元/瓶，

依题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，

∴商场购进的第一批洗手液的单价为元/瓶；

（2）共获利：（元），

∴这两笔生意中商场共获利元．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是学会设未知数，寻找等量关系，注意解分式方程必须检验．

23. 为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派小亮到文具店为获奖同学购买奖品．小亮发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要18元；如果买2个笔记本和5支钢笔，则需要31元．

（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？

（2）班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24名（每人奖励一件奖品），若购买的钢笔数不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？

【答案】（1）设每个笔记本3元，每支钢笔5元；（2）有三种购买方案：①购买笔记本10个，则购买钢笔14个；②购买笔记本11个，则购买钢笔13个；③购买笔记本12个，则购买钢笔12个．

【解析】

【分析】（1）每个笔记本x元，每支钢笔y元，根据题意列出方程组求解即可；

（2）设购买笔记本m个，则购买钢笔(24-m)个利用总费用不超过100元和钢笔数不少于笔记本数列出不等式组求得m的取值范围后即可确定方案．

【详解】解：（1）设每个笔记本x元，每支钢笔y元

依题意得：

解得：

答：设每个笔记本3元，每支钢笔5元．

（2）设购买笔记本m个，则购买钢笔(24-m)个

依题意得：

解得：12≥m≥10

∵m取正整数

∴m＝10或11或12

∴有三种购买方案：①购买笔记本10个，则购买钢笔14个．

②购买笔记本11个，则购买钢笔13个．

③购买笔记本12个，则购买钢笔12个．

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细的分析题意并找到等量关系列方程或不等关系列不等式．

24. 如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC.

(1)求证：△ABE≌△CBD；

(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠BDC=75°．

【解析】

【分析】（1）由条件可利用SAS证得结论；

（2）由等腰直角三角形的性质可先求得∠BCA，利用三角形外角的性质可求得∠AEB，再利用全等三角形的性质可求得∠BDC．

【详解】解：（1）证明：

∵∠ABC=90°，

∴∠DBC=90°，

在△ABE和△CBD中

，

∴△ABE≌△CBD（SAS）；

（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，

∴∠BCA=45°，

∴∠AEB=∠CAE+∠BCA=30°+45°=75°，

∵△ABE≌△CBD，

∴∠BDC=∠AEB=75°．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质．掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．

25. 如图，中，，现有两点、分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达B点时，、同时停止运动.

（1）点、运动几秒时，、两点重合？

（2）点、运动几秒时，可得到等边三角形？

（3）当点、在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时、运动的时间.

【答案】（1）12；（2）4；（3）能，此时M、N运动的时间为16秒．

【解析】

【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可；

（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN，三角形ANM就是等边三角形；

（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．

【详解】（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，

x×1+12=2x，

解得：x=12；

（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，

AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t．

∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12﹣2t，

解得：t=4，∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN．

（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，

由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，

如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB．

∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B，

在△ACM和△ABN中，

∵，∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN，

设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，

y﹣12=36﹣2y，

解得：y=16．故假设成立，∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．

26. 阅读下列材料，然后回答问题：

在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； .

以上这种化简过程叫做分母有理化.

还可以用以下方法化简：.

（1）请用其中一种方法化简；

（2）化简：.

【答案】(1) ＋；(2) 3-1.

【解析】

【分析】(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为；

（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案.

【详解】（1）原式=；

（2）原式=+++…

=3﹣1.

【点睛】本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.