数学八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试优秀单元测试当堂达标检测题

人教版初中数学八年级下册第十七单元《勾股定理》单元测试卷

考试范围：第十七章；考试时间：120分钟；总分：100分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 直角三角形两边长分别为和，则另一边长为

A.  B.  C. 或 D. 不确定

2. 下列说法中正确的是

A. 已知，，是三角形的三边，则
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在中，，所以
D. 在中，，所以

3. 如图，在中，，，，，，则的长为     

A.
B.
C.
D.

4. 下列命题中是假命题的是

A. 中，若，则是直角三角形
B. 中，若，则是直角三角形
C. 中，若，则是直角三角形
D. 中，若，则是直角三角形

5. 如图，每个小正方形的边长为，，，是小正方形的顶点，则的度数为     

A.
B.
C.
D.

6. 下列命题中，是真命题的是

A. 如果三角形三个角的度数比是，那么这个三角形是直角三角形
B. 如果直角三角形两直角边的长分别为和，那么斜边的长为
C. 若三角形三边长的比为，则这个三角形是直角三角形
D. 如果直角三角形两直角边分别为和，斜边为，那么斜边上的高的长为

7. 如图所示，折叠直角三角形纸片，使点落在斜边上的点处，已知，，则的长为．

A.  B.  C.  D.

8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为

A.  B.  C.  D.

9. 如图所示，已知，且，，，则，两点间的距离是．

A.
B.
C.
D.

10. 如图是一个直角三角形纸片，，，将其折叠，使点落在斜边上的点处，折痕为，如图再将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，如图，则折痕的长为    ．

A.  B.  C.  D.

11. 如图，将两个大小、形状完全相同的和拼在一起，其中点与点重合，点落在边上，连接若，，则的长为   

A.
B.
C.
D.

12. 如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 在中，若，，，则的面积是______．
14. 已知两条线段的长为和，当第三条线段的长为________时，这三条线段能组成一个直角三角形．
15. 已知：如图中，，，在上，且，是上一动点，则的最小值为______．
    
     

16. 如图，将三角形纸片折叠，使点、都与点重合，折痕分别为、已知，，，则的长为______ ．

三、计算题（本大题共8小题，共48.0分）

17. 如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米．
     

18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点就做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形；
    使三角形的三边长分别为，，在图中画出一个即可；
    使三角形为钝角三角形且面积为在图中画出一个即可，并计算你所画三角形的三边的长．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一拖拉机在公路上以的速度沿方向行驶，拖拉机行驶时周围以内都会受到噪音声的影响，试问该校受影响的时间为多少秒？

20. 如图，已知，，，若为上一点，且到，两点距离相等．
    利用尺规，作出点的位置不写作法，保留作图痕迹；
    连结，若，，求的长．
     

21. 为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．
     

求出空地的面积．

若每种植平方米草皮需要元，问总共需投入多少元？






 

22. 钓鱼岛自古就是我国领土，我国海监船在钓鱼岛海域的巡航如图，，海里，海里，钓鱼岛位于点，我国海监船在点处发现有一不明国籍的渔船，自点出发沿着方向匀速驶向钓鱼岛所在地点，我国海监船立即从处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点处截住了渔船．
    请用直尺和圆规作出处的位置；
    求我国海监船行驶的航程的长．

23. 在中，，，，以为边向外作等腰直角三角形．
    

如图，当为斜边时，求的长；

如图，当为斜边时，求的长；

如图，当为斜边时，求的长．






 

24. 如图，中，，的平分线交于，过点作与垂直的直线动点从点出发沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，运动时间为秒，同时动点从点出发沿折线以相同的速度运动，当点到达点时、同时停止运动．
    求、的长；
    设的面积为，求与的函数关系式；
    当在上在上运动时，如图，设与交于点，当为何值时，为等腰三角形？求出所有满足条件的值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】略
 

2.【答案】
 

【解析】略
 

3.【答案】
 

【解析】略
 

4.【答案】
 

【解析】略
 

5.【答案】
 

【解析】略
 

6.【答案】
 

【解析】略
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题综合运用了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．根据折叠得到，，再结合含角的直角三角形的性质和勾股定理即可求得的长．
【解答】
解：根据题意，得，
，
．
设，则，根据勾股定理，得
，
解得．
故选A．  

8.【答案】
 

【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
，
，
，
故选：．
由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理．解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
先过作，交延长线于，根据图易求，，再利用勾股定理即可求．
【解答】
解：如图所示，过作，交延长线于，

根据题意，，，
在中，．
故选D．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了翻折变换的性质，利用勾股定理解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是角的直角三角形是解题的关键．根据直角三角形两锐角互余求出，翻折前后两个图形能够互相重合可得，，，然后求出，再解直角三角形求出，然后求出即可．
【解答】
解：是直角三角形，，
，
沿折痕折叠点落在斜边上的点处，
，，
沿折叠点落在的延长线上的点处，
，
，
在中，设，则，
由勾股定理，
即，
化得，
开平方得 ，
，
在中，由勾股定理得：
，
解得，
故选A．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理的知识，灵活运用勾股定理是解决本题的关键．
根据勾股定理求出的长，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可求解．

【解答】

解：由题意得与全等且均为等腰直角三角形，
，
，
，
在中，易知，
是直角三角形，
．
故选A．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
把圆柱沿母线剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图，由于，，然后利用勾股定理计算出即可．
【解答】
解：把圆柱沿母线剪开后展开，点展开后的对应点为，则蚂蚁爬行的最短路径为，如图，

，，
在，，
所以它爬行的最短路程为．
故选D．  

13.【答案】或
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理以及三角形的面积，求出，的长度是解题的关键．
过点作，垂足为，通过勾股定理可求出，，的长，进而可得出的长，再利用三角形的面积公式可求出的面积．
【解答】
解：过点作，垂足为，如图所示．

在中，，；
在中，，，
，
或，
或．
故答案为或．  

14.【答案】或
 

【解析】略
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
根据平面内线段最短，构建直角三角形，解直角三角形即可．
此题考查了勾股定理，线路最短的问题，确定动点何位置时，使的值最小是关键．
【解答】
解：过点作于，延长到，使，连接，交于，
此时的值最小，
连接，

，，，
，
，，
，
，
，
，
根据勾股定理可得，的长度就是的最小值．
故答案为．  

16.【答案】
 

【解析】解：把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为，，
，，，
，又，
，
，
是等边三角形，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
由折叠的性质得出，，，得出，由等腰三角形的性质得出，证出是等边三角形，得出，求出，证出，利用勾股定理求出，即，可得．
此题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质；根据折叠的性质得出相等的边和角是解题关键．
 

17.【答案】解：如图，设大树高为，
小树高为，
过点作于，则是矩形，
连接，
，，，
在中，，
故小鸟至少飞行．
 

【解析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

18.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
的三边的长分别为：，，．
 

【解析】三角形的三边长分别为，，，恰好为勾股数，利用网格直接作出即可，
利用三角形的面积为，固定底为整数，高为整数，例如等，即可画出；再利用勾股定理求得三角形的三边的长．
此题主要考查勾股定理及三角形的面积．
 

19.【答案】解：设拖拉机开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束了噪声的影响．

则有，
在中，，
，
，
该校受影响的时间为：．
答：该校受影响拖拉机产生的噪声的影响时间为秒．
 

【解析】设拖拉机开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束，在中求出，继而得出，再由拖拉机的速度可得出所需时间．
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，画出示意图，另外要求掌握时间路程速度．
 

20.【答案】解：如图，点为所作；

在中，，
设的长为，则的长为，
由题意得，
在中，，
，
解得，
的长为．
 

【解析】作的垂直平分线交于点，则；
先中利用勾股定理计算出，设的长为，则的长为，所有，然后在中利用勾股定理得到，再解方程求出即可．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理．
 

21.【答案】解：连接，

在中，，
在中，，，
而，
即，
，
则；
所需费用为：元．
 

【解析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
连接，在直角三角形中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到三角形为直角三角形，四边形面积等于三角形面积三角形面积，求出即可；
由求出的面积，乘以即可得到结果．
 

22.【答案】解：如图，作的垂直平分线与交于点；

连接，
由作图可得：为的中垂线，则．
由题意可得：．
，
在中，，
，
解得．
答：我国海监船行驶的航程的长为海里．
 

【解析】作的垂直平分线与交于点即可；
根据垂直平分线的性质可得，再根据勾股定理即可求出的长．
本题考查了作图应用与设计作图，勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握垂直平分线的作法．
 

23.【答案】解：如图，过作于，
，
，
，

≌，
，
，
．
同理：过作于，≌，易求．
同理：过作于，过作于，≌，设，则，，易求，，，
．
 

【解析】略
 

24.【答案】解：，，，
，
，
由勾股定理得：，
平分，
，
，
在中，，
，
，
答：，．

解：当在上，在上时，，
则，，
过作于，
，
，
，，
，
即；
当时，在点，在点，此时，不存在，
，

当在上，在上时，
过作于，过作于，
，，
，
，，
，
，
，，
，
即．
当时，在点，在上，如图

过作于，于，
，由知，
，
由勾股定理得：，
，
，
；
综合上述：与的函数关系式是：；
．

解：如图，，
，
，，
，
平分，
，
，
时，
，
，
，
，
解得：，
时，
此时，
，
，
此时不存在；
时，
过作于，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
解得：
综合上述：当为或时，是等腰三角形．
 

【解析】求出，根据直角三角形性质求出，求出，在中，根据勾股定理得出关于的方程，求出即可；
有四种情况：当在上，在上时，，过作于，求出，根据三角形的面积公式求出即可；当时，在点，在点，此时，不存在；当在上，在上时，过作于，过作于，求出和的值，求出和的面积，相减即可；时，求出即可；
有三种情况：时，求出，代入求出即可；时，此时不存在等腰三角形；时，过作于，求出和的值，代入，即可求出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，函数自变量的取值范围，解一元一次方程，勾股定理，含度角的直角三角形性质等知识点的运用，本题综合性比较强，难度偏大，主要考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力，并且运用了方程思想和分类讨论思想．