专题07 相似三角形的五种模型--中考数学必备几何模型讲义（全国通用）

专题07 相似三角形的五种模型

相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复。

模型一、A字型

A字型（平行）    反A字型（不平行）

例.如图，在中，点分别在上，且．

（1）求证：；

（2）若点在上，与交于点，求证：．

【变式训练1】已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．

（1）求证：EF∥BD；

（2）如果AC•CF＝BC•CE，求证：BD2＝DE•BA．

【变式训练2】如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．

（1）求CE的长．

（2）在△ABC中，点D，E，Q分别是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．小明认为，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．

【变式训练3】如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．

模型二、8字型与反8字型相似

例.如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC＝BD•BE．（1）求证：△ABD∽△EBC；（2）求证：AD2＝BD•DE．

【变式训练1】如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO＝1，CO＝3，AO，DO．

（1）求证：∠A＝∠D．

（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF．

【变式训练2】如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值

【变式训练3】如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）求证：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值．

模型三、AX型（A字型及X字型两者相结合）

例.如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．

（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度．

【变式训练1】如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求的长．

【变式训练2】如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，，．

（1）求证：AB∥EF；

（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．

【变式训练3】如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．

（1）求EB的长；（2）求FG的长．

模型四、共边角模型（子母型）

例.在中，，垂足为，求的长

【变式训练1】如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（　　）

A． B． C． D．

【变式训练2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（　　）

A．3：2 B．2：3 C． D．．

【变式训练3】如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．

模型五、手拉手模型

例.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（　　）

A．5：3 B．4：3 C．：2 D．2：

【变式训练1】如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BFAE，其中正确的是（　　）

A．①② B．③④ C．②③ D．②③④

【变式训练2】已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE•CE＝DE•EF．

（1）求证：△ADE∽△ACD；

（2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC．

【变式训练3】已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．

（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；

课后训练

1.如图，在中，、分别是边、的中点，、分别交于点、，则图中阴影部分图形的面积与的面积之比为　　

A． B． C． D．

2.如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为（　　）

A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2

3.如图平行四边形，为中点，延长至，使，连结交于点，则          　．

4.如图，等边三角形ABC中，AB＝3，点D是CB延长线上一点，且BD＝1，点E在直线AC上，当∠BAD＝∠CDE时，AE的长为　   　．

5.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．

6.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果，求的值．

7．已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）连接，交于点．①若，求的长；②作，垂足为，求证：．

8.如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．

（1）求证：；

（2）若，，，求的长．

9.如图1，在矩形中，于点．

（1）求证：；

（2）如图2，若点是边上一点，且．求证：．

10.已知，正方形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点，与交于点．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，连接，若，，求的值．