专题06 全等三角形的五种模型--中考数学必备几何模型讲义（全国通用）

专题06 全等三角形的五种模型

全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复。

模型一、截长补短模型

①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。

如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，

可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，

∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.

②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。

如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），

可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，

又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，

所以BF=NG=NC+CG=DF+CG. 

例1.如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【变式训练1】如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．

（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；

（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．

【变式训练2】如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD至点E，使得DE=DA，则∠ECA=________．

【变式训练3】已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N．

(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN

(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系             

(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．

模型二、平移全等模型

例.如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D．（1）求证：；（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长．

【变式训练1】如图，AB//CD，AB=CD点E、F在BC上，且BF=CE．

（1）求证：△ABE≌△DCF（2）求证:AE//DF．

【变式训练2】如图，已知点是的中点，∥，且．

（1）求证：△ACD≌△CBE．（2）若，求∠B的度数．

模型三、对称全等模型

例.如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O，

（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．

【变式训练1】如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E＝∠F＝90º，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论有（　　）

A．4个   B．3个   C．2个   D．1个

【变式训练2】如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（　　）

A．① B．② C．①② D．①②③

模型四、旋转全等模型

例.如图，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，D，E在同一条直线上，若∠CAE+∠ACE+∠ADE=130°，则∠ADE的度数为（  ）

A．50°    B．65°    C．70°    D．75°

【变式训练1】如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AB′C′D′，线段CD，B′C′交于点E，若DE＝1，则正方形的边长等于_____．

【变式训练1】如图，，

求证：（1）；（2）．

【变式训练2】如图，，，．

（1）求证：；（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；

（3）若，求的度数．

【变式训练3】如图①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝＋1，BC＝2＋，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE＝1，DE＝．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为（0°＜＜180°）．如图②，连接CE、BD、CD．

（1）如图②，求证：CE＝BD；

（2）利用备用图进行探究，在旋转的过程中CE所在的直线能否垂直平分BD？如果能，请猜想α的度数，画出图形，并将你的猜想作为条件，给出证明；如果不能，请说明理由；

（3）在旋转的过程中，当△BCD的面积最大时，＝　 　°．（直接写出答案即可）

模型五、手拉手全等模型

例.如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点．

（1）求证：；（2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

【变式训练1】如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，AC、BD交于点M．(1) 如图1，求证：AC=BD，判断AC与BD的位置关系并说明理由；

 (2) 如图2，∠AOB＝∠COD＝60°时，∠AMD的度数为___________.

【变式训练2】如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD．（1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；（2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．（3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．

【变式训练3】已知：如图1，在和中，，，．（1）证明．（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数．

课后训练

1.如图，已知，，且，，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

2.如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AB＝CD，BF＝，则AD的长为________．

3.如图，，平分，，，则_____．

4.如图，正方形ABCD，将边CD绕点D顺逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段DE，连接AE，CE，过点A作AF⊥CE交线段CE的延长线于点F，连接BF．

（1）当AE＝AB时，求α的度数；

（2）求证：∠AEF＝45°；

（3）求证：AE∥FB．

5.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．

（1）求证：∠ABD＝∠ACD；

（2）若∠ACB＝65º，求∠BDC的度数．

6.如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

（1）求证：EF=AE；

（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF、AE的数量关系，并证明你的结论．

7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，

（1）求证：CF＝BG；

（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP＋CF；

（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．

8.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别为AB，BC上一点，BD＝BE，连接DE，DC，AC＝CD．

（1）如图1，若AC＝3，DE＝2，求EC的长；

（2）如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AE＝AM，求证：2DE＝MC；

（3）在（2）的条件下，若∠ACB＝45°，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系．