专题04 半角模型与倍角模型--中考数学必备几何模型讲义（全国通用）

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专题04 半角模型与倍角模型
模型一、正方形中含半角模型
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.

例.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为　4　．

【答案】4
【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，
在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，
∵CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1，
设AF＝x，则DF＝4﹣x，GF＝1+（4﹣x）＝5﹣x，∴EF＝＝，
∴（5﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即AF＝，∴DF＝4﹣＝，
∴CF＝＝＝4，
故答案为：4．
【变式训练1】已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N．
(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN
(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系
(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）3
【详解】（1）证明：如图，延长到使，连接AG，

∵四边形ABCD是正方形，∴，，
在与中，， ，，，
，，∴，
，，
在与中，， ，，
又∵，，；
（2），理由如下：
如图，在BM上取一点G，使得，连接AG，

∵四边形ABCD是正方形，∴，，
在与中，， ，，，
∴，∴，
又，，
在与中，， ，，
又∵，，∴，故答案为：；
（3）如图，在DN上取一点G，使得，连接AG，

∵四边形ABCD是正方形，
∴，，，
在与中，， ，，，
∴，∴，
又，，
在与中，， ，，
设，
∵，，∴，，
∵，∴，解得：，∴，
∵，∴，
在与中，， ，，
∴CP的长为3．
【变式训练2】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠MAN＝∠BAD．
（1）如图1，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；
（2）如图2，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（3）如图3，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．


【答案】见解析
【详解】解：（1）证明：延长MB到G，使BG＝DN，连接AG．
∵∠ABG＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADN．∴AG＝AN，BG＝DN，∠1＝∠4．
∴∠1+∠2＝∠4+∠2＝∠MAN＝∠BAD．∴∠GAM＝∠MAN．
又AM＝AM，∴△AMG≌△AMN．∴MG＝MN．
∵MG＝BM+BG．∴MN＝BM+DN．
（2）MN＝BM﹣DN．证明：在BM上截取BG，使BG＝DN，连接AG．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝AB，∴△ADN≌△ABG，
∴AN＝AG，∠NAD＝∠GAB，∴∠MAN＝∠NAD+∠BAM＝∠DAB，
∴∠MAG＝∠BAD，∴∠MAN＝∠MAG，∴△MAN≌△MAG，∴MN＝MG，∴MN＝BM﹣DN．
（3） MN＝DN﹣BM．

模型二、 等腰直角三角形角含半角模型
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.

例.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD'，当∠DAE=45°时，求证：DE=D'E；在（1）的条件下，猜想：BD2，DE2，CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.

【答案】见解析
【详解】解析：因为△ABD绕点A旋转，得到△ACD'
∴AD=AD'，∠DAD’=∠BAC=90°
∵∠DAE=45°，∴∠EAD’=∠DAD’-∠DAE=45°
∴在△AED和△AED'中，AE=AE，∠EAD=∠AED’，AD=AD’
∴△AED≌△AED’，∴DE=D’E
由（1）得△AED≌△AED’，ED=ED’
在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°
∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD’，∴BD=CD’,∠B=∠ACD’=45°
∴∠BCD’=∠ACB+∠ACD’=45°+45°=90°
【变式训练1】在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90º，O为AB的中点，∠EOF＝45º，交CA于F，交BC的延长线于E.
（1）求证：EF＝CE＋AF；
（2）如图2，当E在BC上，F在CA的反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）见解析；（2）AF－EF＝CE.
【解析】（1）连接CO，过点O作OG⊥OF交BE于点G，如图所示：

由题意可得△AOF≌△COG，∴OF＝OG，∴△EOF≌△EOG，∴EF＝EG，
∴EF＝EG＝EC＋CG＝EC＋AF；
（2）AF－EF＝CE.
【变式训练2】如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点（E左F右），且∠ECF＝45°，求证：．

【答案】见解析
【详解】解：，理由如下：
如图，将△BCF绕点C旋转得△ACF′，使△BCF的BC与AC边重合，即△ACF′≌△BCF，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAF′＝∠B＝45°，∴∠EAF′＝90°，
∵∠ECF＝45°，∴∠ACE＋∠BCF＝45°，
∵∠ACF′＝∠BCF，∴∠ECF′＝45°，在△ECF和△ECF′中
∴△ECF≌△ECF′（SAS），∴EF＝EF′，
在Rt△AEF′中，，∴．
【变式训练3】如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC＝120º，以D为顶点作一个60º的角，使其两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，则△AMN的周长是多少？

【答案】6
【详解】∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120º，∴∠BCD＝∠DBC＝30º，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60º，∠DBA＝∠DCA＝90º，
如图，延长AB至点F，使BF＝CN.

连接DF，在△BDF与△CND中，
，
∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，
∵∠MDN＝60º，∴∠BDM＋∠CDN＝60º，
∴∠BDM＋∠BDF＝60º，
在△DMN与△DMF中，，
∴MN＝MF，
∴△AMN的周长是：AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋BF＋AN＝AB＋AC＝6.
模型三、 二倍角模型
（1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形.
（2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.

例.已知，求及的值（利用倍半角模型解题）.
【答案】，.
【解析】由图1可得，

由图2可得.
【变式训练1】如图，在正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过点A作AF⊥BE交CD边于点F，M是AD边上一点，且BM＝DM＋CD.
（1）求证：点F是CD边上的中点；
（2）求证：∠MBC＝2∠ABE.

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝AB＝BC，∠C＝∠D＝∠BAD＝90º，AB∥CD，
∵AF⊥BE，∴∠AOE＝90º，∴∠EAF＋∠AEB＝90º，∠EAF＋∠BAF＝90º，∴∠AEB＝∠BAF，
∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AFD，∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠BAD＝∠D，AB＝AD，∴△BAE≌△ADF，∴AE＝DF，
∵点E是边AD的中点，∴点F是CD边上的中点；
（2）延长AD至点G，使得MG＝MB，连接FG、FB，如图所示：

∵BM＝DM＋CD，∴DG＝DC＝BC，
∵∠GDF＝∠C＝90º，DF＝CF，∴△FDG≌△FCB，∴∠DFG＝∠CFB，∴点B、F、G共线，
∵点E为AD边上的中点，点F是CD边上的中点，AD＝CD，∴AE＝CF，
∵AB＝BC，∠C＝∠BAD＝90º，AE＝CF，∴△ABE≌△CBF，∴∠ABE＝∠CBF，
∵AG∥BC，∴∠AGB＝∠CBF＝∠ABE，∴∠MBC＝∠AMB＝2∠AGB＝2∠GBC＝2∠ABE，
∴∠MBC＝2∠ABE.
【变式训练2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE，求线段CE的长.

【解答】
【解析】如图，连接BE交AD于点O，作AH⊥BC于点H.

在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，∴BC＝5，
∵CD＝DB，∴AD＝DC＝DB＝，
，
∵AE＝AB，DE＝DB＝DC，∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，
，∴BE＝2OB＝，
在Rt△BCE中，.
课后训练
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，D是AB边上的一点，M是CD的中点，若∠AMD＝∠BMD.求证：∠CDA＝2∠ACD.

【答案】见解析
【解析】证明：过点A作AG∥DC交BM延长线于点H交BC的延长线于点G，连接HC，如图所示：

由题意可得∠BMD＝∠AHB，∠AMD＝∠HAM，∠HAC＝∠ACD，即，
∵CM＝DM，∴HG＝AH，即点H是AG的中点，
∵AC⊥BC，∴，∴∠HCA＝∠HAC＝∠ACD，
∴∠HCM＝∠HCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠ACD＝2∠ACD，
∵∠HAM＝∠AMD，∠AMD＝∠BMD，∠BMD＝∠AHB，∠BMD＝∠HMC，∴HM＝AM，
∵MD＝MC，∠AMD＝∠HMC，AM＝HM，∴△AMD≌△HMC，∴∠ADM＝∠HCM＝2∠ACD.
2.在△ABC中，∠C＝90º，AC＝8，AB＝10，点P在AC上，AP＝2，若的圆心在线段BP上，且与AB、AC都相切，试求的半径.

【答案】的半径为1
【解析】过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，延长CA至点F，使得AF＝AB＝10，连接OA、BF，如图所示：

由题意可得OD＝OE，AO平分∠EAO，∠F＝∠BAC，∴tan∠EAO＝tan∠F＝，
设的半径为，由BC＝PC＝6，∴△PBC为等腰直角三角形，∴EP＝OE＝，EA＝＋2，
∴，解得，即的半径为1.
3.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180º，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE＋FD.

【答案】见解析
【解析】如图，将△ADF顺时针旋转得到△ABG，使得AD与AB重合.

∵旋转，∴△ADF≌△ABG，∴∠FAG＝∠BAD，AF＝AG，DF＝GB，
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠EAG，又∵AE＝AE，∴△EAG≌△EAF，∴GE＝EF，
∵GE＝GB＋BE＝DF＋BE，∴EF＝BE＋FD.
4.已知，在正方形ABCD中，∠MAN＝45º，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM＋DN＝MN.
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时 （如图2），线段BM、DN、和MN之间有怎样的数量关系？猜想一下，并加以证明；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.

【解答】（1）猜想：BM＋DN＝MN；（2）猜想：DN－BM＝MN
【解析】（1）猜想：BM＋DN＝MN.
证明：如图，将△AND绕点A顺时针旋转90º，得到△ABE，则E、B、M共线，

∴∠EAM＝90º－∠NAM＝90º－45º＝45º，
∵∠NAM＝45º，在△AEM与△ANM中，，
∴ME＝MN，∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴DN＋BM＝MN；
（2）猜想：DN－BM＝MN.证明：在线段DN上截取DQ＝BM，如图所示.

在△ADQ与△ABM中，，
∴∠DAQ＝∠BAM，∴∠QAN＝∠MAN，
在△AMN与△AQN中，，
∴MN＝QN，∴DN－BM＝MN.
5.如图，在平面直角坐标系中，且.
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）如图2，A、B两点在轴上、轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足∠MON＝45º，试猜想线段BM、AN、MN之间的数量关系，并证明你的结论.

【解答】（1）见解析；（2）
【解析】（1），
且，∴，，
∴OA＝OB＝OC＝4，
∵∠AOB＝∠BOC＝90º，∴∠BCA＝∠CBO＝∠OBA＝∠BAC＝45º，
∴BA＝BC且∠CBA＝90º，即△ABC是等腰直角三角形；
（2） 猜想：.
∵OA＝OB＝4，∴∠AOB＝90º，
如图，将△BOM绕点O顺时针旋转90º得到△AOD，
∴AD＝BM，DO＝MO，∠OAD＝∠OBM＝45º，且∠DOM＝∠AOB＝90º，∴∠AOD＝∠BOM，
∵∠MON＝45º，∠AOB＝90º，∴∠BOM＋∠AON＝45º，
∴∠AOD＋∠AON＝45º，即∠DON＝∠MON＝45º，∴△DON≌△MON，∴DN＝MN，
∵∠OAD＝∠OBM＝∠BAO＝45º，即∠NAD＝90º，
.
6.已知正方形，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于点H．

（1）如图①，当时，可以通过证明，得到与的数量关系，这个数量关系是___________；
（2）如图②，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由；
（3）如图③，已知中，，于点H，，，求的长．
【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）
【详解】解：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
在Rt△ABM和Rt△ADN中，
，∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS），∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，
∵∠MAN＝45°，∴∠BAM＋∠DAN＝45°，∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，
∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN，∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，∴∠BAM＝∠MAH，
在Rt△ABM和Rt△AHM中，，∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS），
∴AB＝AH，故答案为：AB＝AH；
（2）AB＝AH成立，理由如下：延长CB至E，使BE＝DN，如图：

∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，
在Rt△AEB和Rt△AND中，
∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAN＋∠BAM＝45°，∴∠EAB＋∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，
在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），
∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB＝AH．
（3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，如图：

∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，
∴AB＝AH＝AD，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，
∴四边形ABCD是正方形，∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD．
由折叠可得BM＝MH＝3，NH＝DN＝7，
设AH＝AB＝BC＝CD＝x，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2，∴，
解得或（舍去），
∴．