初中数学人教版八年级下册18.1.2 平行四边形的判定练习题

18.1.2平行四边形的判定

一、基本概念

1．平行四边形的判定方法：

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

(2)方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

(3)方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

(4)方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

(5)方法4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

注意：①识别四边形为平行四边形有五种方法选择，应根据具体条件而定；②“平行且相等”用符号表示．

2．平行四边形识别方法的选择：

二、典例分析

例．如图，四边形ABCD是平行四边形，，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形

（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．

答案：（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）先证明再证明可得从而有 于是可得结论；

（2）先证明再证明，从而可得结论.

【详解】

证明：（1） 四边形ABCD是平行四边形，

，

四边形BEDF是平行四边形.

（2）由（1）得：

四边形BEDF是平行四边形, 四边形ABCD是平行四边形，

，

【点睛】

本题考查的是平行四边形的判定与性质，熟练的运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是证明的关键，第（2）问先确定面积为平行四边形ABCD的的三角形是解题的关键.

三、针对训练

1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ）

A．两组对边分别相等 B．一组对边平行，另一组对边相等

C．两组对角分别相等 D．一组对边平行且相等

2．如图，在四边形中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（  ）

A． B． C． D．

3．如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长是（   ）

A．12 B．15 C．18 D．24

4．四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，且满足，则这个四边形是（    ）

A．任意四边形 B．平行四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形

5．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠BCA=60°，直线AD⊥BC于点D，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值是（    ）

A．1 B．1.5 C．2 D．4

6．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝4cm，则BC＝_____cm．

7．在四边形ABCD中，若AB//CD，BC_____AD，则四边形ABCD为平行四边形．

8．如图，ABC中，D是BC中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE，AB=3，AC=5，则DE=_______．

9．如图，E、F分别是口ABCD 的两边AB、CD的中点，AF交DE于P，BF交CE于Q，则PQ与AB的关系是______________．

10．在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为_____．

11．如图，是的中位线，延长到，使，连接．

求证：．

12．已知：▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，M是AO的中点，N是CO的中点，求证：BM∥DN，BM=DN．

13．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．

（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；

（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．

14．如图，中，对角线AC、BD相交于点O，点 E， F，G，H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连接EFGH．

（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形

（2）若的周长为2（AB+BC）=32，则四边形EFGH的周长为__________

15．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．

（1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）连接AD，求证：四边形ACFD是平行四边形．

参考答案

1．B

【分析】

直接利用平行四边形的判定定理判定，即可求得答案；注意掌握排除法在选择题中的应用．

【详解】

解：A、两组对边分别相等是平行四边形；故本选项不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形；故本选项符合题意．
C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；故本选项不符合题意；
D、一组对边平行且相等是平行四边形；故本选不符合题意；
故选：B．

【点睛】

此题考查了平行四边形的判定．注意熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键．

2．C

【分析】

由平行线的性质得，再由，得，证出，即可得出结论．

【详解】

解：一定能判定四边形是平行四边形的是，理由如下：

，

，

，

，

，

又，

四边形是平行四边形，

故选：C．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定，证明出．

3．B

【分析】

根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB＝OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE＝BC，所以易求△DOE的周长．

【详解】

解：∵▱ABCD的周长为36，
∴2（BC＋CD）＝36，则BC＋CD＝18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12，
∴OD＝OB＝BD＝6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD，
∴OE＝BC，
∴△DOE的周长＝OD＋OE＋DE＝BD＋（BC＋CD）＝6＋9＝15，
故选：B．

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．

4．B

【分析】

根据完全平方公式分解因式得到a=b，c=d，利用边的位置关系得到该四边形的形状．

【详解】

解：，

，

，

，

∴a=b，c=d，

∵四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，

∴c、d是对边，

∴该四边形是平行四边形，

故选：B．

【点睛】

此题考查了完全平方公式分解因式，平行四边形的判定方法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．

5．C

【分析】

取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及∠FCD=∠ECG，由旋转的性质可得出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，进而即可得出DF=GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．

【详解】

解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．

∵AC=BC=8，∠BCA=60°，
∴△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，
∴CD=CG=AB=4，∠ACD=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠FCD=∠ECG，
在△FCD和△ECG中，

，
∴△FCD≌△ECG（SAS），
∴DF=GE．
当EG∥BC时，EG最小，
∵点G为AC的中点，
∴此时EG=DF=CD=BC=2．
故选：C．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF=GE，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．

6．8

【分析】

运用三角形的中位线的知识解答即可．

【详解】

解：∵△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点

∴DE是△ABC的中位线，

∴BC=2DE=8cm．

故答案是8．

【点睛】

本题主要考查了三角形的中位线，掌握三角形的中位线等于底边的一半成为解答本题的关键．

7．

【分析】

根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可解决问题．

【详解】

解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知：

∵AB//CD，BC//AD，

∴四边形ABCD为平行四边形．

故答案为：//．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．

8．1

【分析】

延长BE交AC于F，由已知条件可得△BAF是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得BE=EF，又因为BD=CD是，所以DE是△BCF的中位线，由三角形中位线定理即可求出DE的长．

【详解】

解：延长BE交AC于F，

∵AE平分∠BAC，BE⊥AE，

∴∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEF=90°，

在△ABE与△AFE中，

，

∴△ABE≌△AFE（ASA），

∴BE=EF，AB=AF，

∵AB=3，

∴AF=3，

∵AC=5，

∴CF=AC-AF=5-3=2，

∵D为BC中点，

∴BD=CD，

∴DE是△BCF的中位线，

∴DE=CF=1，

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的判定，解题的关键是正确作出辅助线，得到△BAF是等腰三角形．

9．且

【分析】

利用已知条件和平行四边形的性质易证，，由全等三角形的性质可得：，，所以是的中位线， 由中位线的性质即可得到问题答案．

【详解】

解：且，

理由如下：

四边形是平行四边形，

，

，

、分别是的两边、的中点，

，

在和中，

，

所以：，

，

同理：，

，

是的中位线，

且．

故答案为：且．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、 全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理， 题目的综合性较强．

10．10或14或10

【分析】

利用BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，以及平行关系，分别求出、，通过和是否相交，分两类情况讨论，最后通过边之间的关系，求出的长即可．

【详解】

解： 四边形ABCD是平行四边形，

，，，

，，

BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，

，，

，，

由等角对等边可知：，，

情况1：当与相交时，如下图所示：

，

，

，

情况2：当与不相交时，如下图所示：

，

，

故答案为：10或14．

【点睛】

本题主要是考查了平行四边形的性质，熟练运用平行关系+角平分线证边相等，是解决本题的关键，还要注意根据和是否相交，本题分两类情况，如果没考虑仔细，会漏掉一种情况．

11．见解析

【分析】

由已知条件可得DF=AB及DF∥AB，从而可得四边形ABFD为平行四边形，则问题解决．

【详解】

∵是的中位线

∴DE∥AB，，AD=DC

∴DF∥AB

∵EF=DE

∴DF=AB

∴四边形ABFD为平行四边形

∴AD=BF

∴BF=DC

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质定理，掌握它们是解答本题的关键．当然本题也可以用三角形全等的知识来解决．

12．见解析

【分析】

连接，根据平行四边形的性质可得AO=OC，DO=OB，由M是AO的中点，N是CO的中点，进而可得MO=ON,进而即可证明四边形是平行四边形，即可得证．

【详解】

如图，连接，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AO=OC，DO=OB．

∵M为AO的中点，N为CO的中点，

即

∴MO=ON．

四边形是平行四边形，

∴BM∥DN，BM=DN．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．

13．（1）见解析；（2）平行四边形DEFB的周长＝

【分析】

（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；

（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．

【详解】

（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE//BC，BC＝2DE，

∵CF＝3BF，

∴BC＝2BF，

∴DE＝BF，

∴四边形DEFB是平行四边形；

（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，

∴BD＝EF，

∵D是AC的中点，AC＝12cm，

∴CD＝AC＝6（cm），

∵∠ACB＝90°，

∴BD＝＝10（cm），

∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．

14．（1）见解析；（2）16

【分析】

（1）根据平行四边形的性质，可得OA=OC，OB=OD，从而得到OE=OG，OF=OH，即可求证；

（2）根据三角形中位线定理，可得，从而得到 ，再由（1）四边形EFGH是平行四边形，即可求解．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵点 E、 F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，

∴，

∴OE=OG，OF=OH，

∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）∵点 E、 F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，

∴，

∴ ，

∵的周长为2（AB+BC）=32，

∴ ，

∴ ，

由（1）知：四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH的周长为 ．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，三角形的中位线定理是解题的关键．

15．（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】

（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理（定理）即可得证；

（2）先根据平行四边形的判定与性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证．

【详解】

证明：（1），

，

，

，即，

在和中，，

；

（2），

四边形是平行四边形，

，

，

，

又点在一条直线上，且，

，

四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理和平行四边形的判定是解题关键．