湖南省衡阳市2020届高三下学期第二次联考（二模）数学试题含答案

2020高中毕业班联考(二)

数学(文科)

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝

A.{－1，0，1，2}     B.{－1，0，1}     C.{0，1，2}     D.{－1，1}

2.已知复数z满足(i－1)z＝－i(i为虚数单位)，则|z|＝

A.     B.－     C.     D.1

3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信经济融合、文化包容的命运共同体，自2015年以来，“一带一路”建设成果显著。右图是2015－2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是

A.这五年，出口增速前四年逐年下降   B.这五年，2015年出口额最少

C.这五年，2019年进口增速最快       D.这五年，出口额总和比进口额总和大

4.下列命题中的真命题是

A.x∈N，x2≥1

B.命题“a，b∈R，”的否定

C.“直线l1与直线l2垂直”的充要条件是“它们的斜率之积一定等于－1”

D.“m>－1”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件

5.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y(单位：kw·h)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机选取4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：

若由表中数据求得线性回归方程为：，则a的值为

A.64     B.62     C.60     D.58

6.函数(x)＝的大致图象是

7.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为BC边的中点，F为CD边上一点，若，则||＝

A.3     B.5     C.     D.

8.设函数f(x)＝，若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为

A.[0，2]     B.(1，2]     C.[1，2]     D.[1，＋∞)

9.设a＝ln，b＝，c＝，则

A.c<b<a     B.a<c<b     C.c<a<b     D.b<c<a

10.2020年4月，国内新冠疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光，某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：

两个旅游团计划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1290元，若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差的绝对值为

A.20     B.30     C.35     D.40

11.已知函数f(x)＝sin2x，将y＝f(x)的图象向左平移得到y＝g(x)的图象，则下列关于函数h(x)＝f(x)＋g(x)的结论中错误的是

A.函数h(x)的最小正周期为π            B.函数h(x)的图象关于直线x＝对称

C.函数h(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)      D.函数h(x)不是奇函数

12.已知双曲线C：的一条渐近线方程为x－2y＝0，A，B是C上关于原点对称的两点，M是C上异于A，B的动点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，若1≤k1≤2，则k2的取值范围为

A[，]     B.[，]     C.[－，－]     D.[－，－]

第II卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题－第(21)题为必考题，每个考生都必须作答。第(22)题－第(23)题为选考题，考生根据要求作答，

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

13.若实数x，y满足，则的取值范围为           。

14.设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝4，an＋1＝Sn，n∈N*，则数列{Sn}的通项公式为           。

15.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(b－2c)cosA＝a(2cosC－sinB)，且△ABC的面积等于，则BC边上的中线AD的长的最小值是           。

16.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体。如图在堑堵ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，C1C＝BC＝2。给出下列四个结论：

①四棱锥B－ACC1A1为阳马；

②直线BC1与平面ACC1A1所成角为45°；

③当AB＝1时，异面直线BC与AC，所成的角的余弦值为；

④当三棱锥C1－ABC体积最大时，四棱锥B－A1ACC1的外接球的表面积为8π。其中，所有正确结论的序号是           。

三、解答题：本大题必做题5个，每题12分，选做题两个只选做一个，10分，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。

17.(本小题满分12分)已知Sn为数列{an}的前n项和，且n＋2，，(a1－2)n依次成比数列。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn。

18.(本小题满分12分)为了贯彻落实中央、省市关于新型冠状病毒肺炎疫情防控工作要求，积极应对新型冠状病毒疫情，切实做好2020年春季开学工作，保障校园安全稳定，普及防控知识，确保师生生命安全和身体健康、某校开学前，组织高三年级800名学生参加了“疫情防控”网络知识竞赛(满分150分)。已知这800名学生的成绩均不低于90分，将这800名学生的成绩分组如下：第一组[90，100)，第二组[100110)，第三组[110，120)，第四组[120，130)，第五组[130，140)，第六组[140，150]，得到的频率分布直方图如图所示。

(1)求a的值并估计这800名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)该校“群防群控”督查组为更好地督促高三学生的“个人防控”，准备从这800名学生中选取2名学生参与督查工作，其选取办法是：先在第二组、第五组、第六组中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生。记这2名学生的竞赛成绩分别为x、y。求事件|x－y|≤20的概率。

19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAB是等边三角形，BC⊥AB，BC＝CD＝2，AB＝AD＝2。

(1)若PC＝4，求三棱锥P－ABC的体积；

(2)若PB＝3BE，则在线段BC。上是否存在一点F，使平面AEF//平面PCD。若存在，求线段BF的长；若不存在，请说明理由。

20.(本小题满分12分)已知圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝，其圆心M在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，圆M过原点且与抛物线C的准线相切。

(1)求抛物线C的方程；

(2)若过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，过点F且垂直于直线l的直线交抛物线C的准线于点M。求的最小值。

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx－x＋2sinx。

(1)求证：f(x)在(0，π)上有极大值；

(2)求证：f(x)有且仅有两个不同的零点。

请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为(1，)，曲线C的极坐标方程为ρ2＝。

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)设过点P的直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|·|PB|的最大值。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝m－|x－2|－|x＋2|。

(1)当m＝6时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若函数g(x)＝x2＋4x＋5与函数y＝f(x)的图象有公共点，求实数m的取值范围。