2021~2022人教版数学七年级下册重难点专项突破专题02 平行线中的笔尖型（原卷版+解析版）

专题02 平行线中的笔尖型

一、单选题

1．如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（    ）.

A．30° B．40° C．50° D．65°

2．如图，已知，则的度数是（ ）

A． B． C． D．

3．如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（    ）

A． B．

C． D．

4．如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

5．如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是______．

6．如图，已知，那么_______度．

三、解答题

7．如图1，四边形为一张长方形纸片．

（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．

（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．

（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．

（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．

8．请你探究：如图（1），木杆与平行，木杆的两端、用一橡皮筋连接．

（1）在图（1）中，与有何关系？

（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则、、之间有何关系？

（3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则、、之间有何关系？

（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则、、之间有何关系？

（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则、、之间有何关系？

（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）

9．阅读下面材料，完成（1)～（3）题．

数学课上，老师出示了这样—道题：

如图1，已知点分别在上，．求的度数．

同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：

小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．”

小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．”

小华：∵如图4，也能求出的度数．”

(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；

(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°；

老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”

请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：

(3)如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论．

10．综合探究：已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、．

（1）如图1，若，求的度数；

（2）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．

11．已知，点，分别在直线，上，点在直线与之间，．

（1）如图1，求证：．

阅读并补齐下列推理过程

过点作，因为，

所以_____（______________）

所以，（_______________________）

所以．

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，在学习中要注意体会．

（2）如图2，点，在直线上，，平分，

求证：．

（3）在（2）的条件下，过点作平分，请直接写出使时，与之间应具备的关系．

12．（1）问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度数．

小辰的思路是：如图2，过点P作PE//AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数，请写出具体求解过程．

（2）问题迁移：

①如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，问：∠、、∠之间有何数量关系？请说明理由．

②在①的条件下，如果点P不在A，B两点之间运动（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出∠、、∠间的数量关系．

13．问题情境：如图1，已知，．求的度数．

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作，根据平行线有关性质，可得________．

问题迁移：如图3，，点P在射线OM上运动，，．

（1）当点P在A、B两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由．

（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系，

问题拓展：如图4，，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________．

14．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．

思路点拨：

小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；

小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；

小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．

问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为　   　°；

问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．

15．(1)同题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．

小明想到一种方法，但是没有解答完：

如图2，过P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，

∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°

∵AB//CD，∴PE//CD．

……

请你帮助小明完成剩余的解答．

(2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：

如图3，AD//BC，当点P在A、B两点之间时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．

16．如图，已知AB∥CD，分别探究下面三个图形中∠P和∠A，∠C的关系，请你从所得三个关系中任意选出一个，说明你探究结论的正确性．

结论：（1）___________________；

（2）____________________；

（3）_____________________；

（4）选择结论____________，说明理由．

17．AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．

（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；

（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；

（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．

18．（1）如图1，AM∥CN，求证：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；

②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；

（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．

19．如图1、图2，已知∠1+∠2＝180°．

（1）若图1中∠AEF＝∠HLN，试找出图中的平行线，并说明理由；

（2）如图2，∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND，试探究∠P与∠Q的数量关系？（直接写答案，不写过程）．

20．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，A140，C165．

（1）求B的度数；

（2）当D    °时，AB∥DE？为什么？

21．如图所示，，，，求的度数.

22．如图所示，，分别为外侧两点，分别为上两点，连结，，，求证：.

23．已知如图所示，，，，求的度数.

24．如图所示，直线，，，求的度数.

25．如图所示，，与的角平分线相较于点，，求的度数.