2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示集训含解析文

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[A级 基础练]
1．下列所给图象中函数图象的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B．①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B．
2．函数f(x)＝eq \r(2x－1)＋eq \f(1,x－2)的定义域为( )
A．[0，2) B．(2，＋∞)
C．[0，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：选C．由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1≥0，,x－2≠0，))解得x≥0且x≠2.
3．已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(x2＋1,x2)＋eq \f(1,x)，则f(x)＝( )
A．(x＋1)2(x≠1) B．(x－1)2(x≠1)
C．x2－x＋1(x≠1) D．x2＋x＋1(x≠1)
解析：选C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(x2＋1,x2)＋eq \f(1,x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x)))eq \s\up12(2)－eq \f(x＋1,x)＋1，令eq \f(x＋1,x)＝t(t≠1)，则f(t)＝t2－t＋1，即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
4．已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，x>0，,f（x＋1），x≤0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))的值为 ( )
A．－2 B．4
C．2 D．－4
解析：选B．由题意得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝2×eq \f(4,3)＝eq \f(8,3).
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝2×eq \f(2,3)＝eq \f(4,3).
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝4.
5．下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x（x≤0），,\f(1,x)（x>0）.))其中定义域与值域相同的函数的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B．①y＝3－x的定义域与值域均为R；②y＝2x－1(x>0)的定义域为(0，＋∞)，值域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))；③y＝x2＋2x－10的定义域为R，值域为[－11，＋∞)；④y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x（x≤0），,\f(1,x)（x>0）))的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个．故选B．
6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x≥1，,\f(1,1－x)，x<1，))则不等式f(x)≤1的解集为( )
A．(－∞，2] B．(－∞，0]∪(1，2]
C．[0，2] D．(－∞，0]∪[1，2]
解析：选D．当x≥1时，不等式f(x)≤1为lg2x≤1，即lg2x≤lg22，
因为函数y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，
所以1≤x≤2；
当x<1时，不等式f(x)≤1为eq \f(1,1－x)≤1，
所以eq \f(1,1－x)－1≤0，所以eq \f(x,1－x)≤0，所以eq \f(x,x－1)≥0，
所以x≤0或x>1(舍去)．
所以f(x)≤1的解集是(－∞，0]∪[1，2]．故选D．
7．设x∈R，定义符号函数sgn x＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
解析：选D．当x＜0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D．
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋x，x≥0，,－3x，x<0，))若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：选D．当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时．不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
9．已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，且3f(x)＋5feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(3,x)＋1，则函数f(x)的解析式为______________________________．
解析：用eq \f(1,x)代替3f(x)＋5feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(3,x)＋1中的x，得3feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋5f(x)＝3x＋1，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3f（x）＋5f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝\f(3,x)＋1 ①，,3f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋5f（x）＝3x＋1 ②，))
①×3－②×5得f(x)＝eq \f(15,16)x－eq \f(9,16x)＋eq \f(1,8)(x≠0)．
答案：f(x)＝eq \f(15,16)x－eq \f(9,16x)＋eq \f(1,8)(x≠0)
10．(2021·福州市质量检测)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋1，x＞0，,x＋2，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，则a＝________．
解析：因为f(1)＝21＋1＝3，所以f(a)＝－3，当a＞0时，2a＋1＝－3，无实数解；当a≤0时，a＋2＝－3，解得a＝－5.综上，a＝－5.
答案：－5
11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x＋a，x＞0，,4x－2－1，x≤0.))若f(a)＝3，则f(a－2)＝________．
解析：当a＞0时，若f(a)＝3，则lg2a＋a＝3，解得a＝2(满足a＞0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．所以a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－eq \f(15,16).
答案：－eq \f(15,16)
12．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－x＋1，x≤0，,－\r(x)，x>0，))则f(x＋1)－9≤0的解集为________．
解析：因为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－x＋1，x≤0，,－\r(x)，x>0，))
所以当x＋1≤0时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤－1，,2－（x＋1）－8≤0，))解得－4≤x≤－1；
当x＋1>0时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>－1，,－\r(x＋1)－9≤0，))解得x>－1.
综上，x≥－4，即f(x＋1)－9≤0的解集为[－4，＋∞)．
答案：[－4，＋∞)
[B级 综合练]
13．设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：∀x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，x>0，,x2，x≤0，))g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex，x≤0，,ln x，x>0，))则( )
A．(f·f)(x)＝f(x) B．(f·g)(x)＝f(x)
C．(g·f)(x)＝g(x) D．(g·g)(x)＝g(x)
解析：选A．对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x），f（x）>0，,f 2（x），f（x）≤0，))当x>0时，f(x)＝x>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x<0时，f(x)＝x2>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A．
14．设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤0，,2x，x>0，))则满足f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))>1的x的取值范围是________．
解析：当x>0时，f(x)＝2x>1恒成立，当x－eq \f(1,2)>0，即x>eq \f(1,2)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＝2x－eq \f(1,2)>1，当x－eq \f(1,2)≤0，即0eq \f(1,2)，则不等式f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))>1恒成立．当x≤0时，f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＝x＋1＋x＋eq \f(1,2)＝2x＋eq \f(3,2)>1，所以－eq \f(1,4)答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞))
[C级 提升练]
15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝eq \f(2x＋3,2x＋1)，则函数y＝[f(x)]的值域为( )
A．{0，1，2，3} B．{0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2}
解析：选D．f(x)＝eq \f(2x＋3,2x＋1)＝eq \f(2x＋1＋2,2x＋1)＝1＋eq \f(2,2x＋1)，
因为2x>0，所以1＋2x>1，所以0则0即1当1当2≤f(x)<3时，[f(x)]＝2.
综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}，故选D．
16．设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝eq \f(1,x－1)；
③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2sin x－1.
其中是“美丽函数”的是________(填序号)．
解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．
①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；
②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；
③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；
④中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.
答案：②③