2022高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件集训含解析文

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[A级 基础练]
1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )
A．逆命题B．否命题
C．逆否命题 D．否定
解析：选B．命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．
2．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是 ( )
A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0
B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0
C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0
D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0
解析：选C．依题意得，原命题的题设为若x2＋y2＝0，结论为x，y全为0.逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0，故选C．
3．下列命题：
①“若a≤b，则a＜b”的否命题；
②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；
③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；
④“若eq \r(2)x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．
其中真命题的序号为( )
A．②④ B．①②③
C．②③④ D．①③④
解析：选B．对于①，逆命题为真，故否命题为真；
对于②，原命题为真，故逆否命题为真；
对于③，“面积相等的圆周长相同”为真；
对于④，“若eq \r(2)x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B．
4．(2021·西安五校联考)“ln(x＋1)＜0”是“x2＋2x＜0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A．由ln(x＋1)＜0得0＜x＋1＜1，－1＜x＜0，由x2＋2x＜0得－2＜x＜0，所以“ln(x＋1)＜0”是“x2＋2x＜0”的充分不必要条件，故选A．
5．(2021·开封市第一次模拟考试)若a，b是非零向量， 则“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B．因为a，b为非零向量，a·b＞0，所以由向量数量积的定义知，a与b的夹角为锐角或a与b方向相同；反之，若a与b的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，a·b＞0成立．故“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选B．
6．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是( )
A．a＋b＞0 B．a－b＞0
C．ab＞1 D．eq \f(a,b)＞1
解析：选A．因为a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a－b＞0，ab＞1，eq \f(a,b)＞1，故选A．
7．已知p：m＝－1，q：直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A．由题意得，直线x＋m2y＝0的斜率是－1，所以eq \f(－1,m2)＝－1，m＝±1.所以p是q的充分不必要条件．故选A．
8．(2021·六校联盟第二次联考)若a＞0，b＞0，则“a＋b≤8”是“ab≤16”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B．a＞0，b＞0，8≥a＋b≥2eq \r(ab)，故4≥eq \r(ab)，ab≤16，所以a＋b≤8可以推出ab≤16.若a＝2，b＝8，则a＋b＝2＋8＝10，所以ab≤16推不出a＋b≤8.
9．“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2”的________条件．
解析：因为(x＋1)(y－2)＝0，所以x＝－1或y＝2，所以(x＋1)(y－2)＝0eq \(⇒,\s\up0(/)) x＝－1且y＝2，x＝－1且y＝2⇒(x＋1)(y－2)＝0，所以是必要不充分条件．
答案：必要不充分
10．条件p：x>a，条件q：x≥2.
(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；
(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________．
解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}，
(1)因为p是q的充分不必要条件，
所以AB，所以a≥2.
(2)因为p是q的必要不充分条件，
所以BA，所以a<2.
答案：(1)a≥2 (2)a<2
11．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，
当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ＝4a2＋12a≤0，))
解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.
答案：[－3，0]
12．给出下列说法：
①“若x＋y＝eq \f(π,2)，则sin x＝cs y”的逆命题是假命题；
②在△ABC中，“sin B>sin C”是“B>C”的充要条件是真命题；
③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；
④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．
以上说法中正确的是________．(填序号)
解析：对于①，“若x＋y＝eq \f(π,2)，则sin x＝cs y”的逆命题是“若sin x＝cs y，则x＋y＝eq \f(π,2)”，当x＝0，y＝eq \f(3π,2)时，有sin x＝cs y成立，但x＋y＝eq \f(3π,2)，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．
答案：①②④
[B级 综合练]
13．若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是( )
A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1
C．a＝b＝2 D．a＞1且b＞1
解析：选B．因为a＋b＞ab，所以(a－1)(b－1)＜1.因为a，b∈N*，所以(a－1)(b－1)∈N，所以(a－1)(b－1)＝0，所以a＝1或b＝1.故选B．
14．已知条件p：x2＋2x－3＞0；条件q：x＞a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是________．
解析：由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.
答案：[1，＋∞)
[C级 提升练]
15．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是( )
A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格
B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分
C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分
D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分
解析：选C．根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C．
16．能说明“若a＞b，则eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)”为假命题的一组a，b的值依次为________．
解析：若a＞b，则eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)为真命题，则eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(b－a,ab)＜0，因为a＞b，所以b－a＜0，则ab＞0.故当a＞0，b＜0时，均能说明“若a＞b，则eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)”为假命题．
答案：a＝1，b＝－1(答案不唯一，只需a＞0，b＜0)