6.2.1向量基本定理（课件+学案+练习）

6.2　向量基本定理与向量的坐标

6.2.1　向量基本定理

知识点一　共线向量的基本定理

一般地，有如下共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.

状元随笔　在共线向量基本定理中：

(1)＝λ时，通常称为能用表示．

(2)其中的“唯一”指的是，如果还有＝μ，则有λ＝μ.这是因为：由λ＝μ可知(λ－μ)＝，如果λ－μ≠0，则＝，与已知矛盾，所以λ－μ＝0，即λ＝μ.

知识点二　平面向量的基本定理

一般地，有如下平面向量基本定理：

如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.

状元随笔　平面向量基本定理的理解

(1)是同一平面内的两个不共线的向量，的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．

(2)平面内的任一向量都可以沿基底进行分解．

(3)基底确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的．

基础自测

1.已知向量a与b共线反向，则下列结论正确的是(　　)

A．|a＋b|＝|a|＋|b|　　B．|a＋b|＝|a|－|b|

C．|a－b|＝|a|＋|b|    D．|a－b|＝|a|－|b|

2．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：

①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　)

A．①②    B．①③

C．①④    D．③④

3．已知△ABC的边BC上有一点D，满足＝3，则可表示为(　　)

A．＝    B．＝

C．＝－2＋3    D．＝

4．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．

题型1　平面向量基本定理的理解[经典例题]

例1　设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：

①e1与e1＋e2；

②e1－2e2与e2－2e1；

③e1－2e2与4e2－2e1；

④e1＋e2与e1－e2.

其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．

由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．

【解析】　①设e1＋e2＝λe1，则无解，

∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底．

②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，

则无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，

即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底．

③∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，

∴e1－2e2与4e2－2e1共线，

即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．

④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，

则无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与能作为一组基底．

【答案】　③

方法归纳

对基底的理解

(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．

(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则

提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．

跟踪训练1　下面三种说法：

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；

②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；

③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是(　　)

A.①②

B．②③

C．①③

D．①②③

平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．

题型2　共线基本定理[教材P155例3]

例2　已知a与b不共线，而且a－xb与3a＋2b共线，求x的值．

教材反思

共线向量定理的应用

(1)证明向量共线，对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．

(2)证明三点共线，若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．

(3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．

提醒：证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点．

跟踪训练2　(1)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．

(2)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若－3＋2＝0，则等于________．

状元随笔　(1)由λ与＋2共线，得λ＝t(＋2)再解方程组求λ．

(2)利用共线求与的关系．

题型3　用基底表示平面向量[经典例题]

例3　如图，不共线，且＝t(t∈R)，用表示.

结合图形，利用、表示

方法归纳

用基底表示向量的两种方法

(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．

(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．

跟踪训练3　如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用a，b表示向量.

解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．

6．2.1　向量基本定理

新知初探·自主学习

[基础自测]

1．解析：因为向量a与b共线反向，

所以|a＋b|<|a|＋|b|，|a＋b|≥0，而|a|－|b|的符号不确定，所以A，B不正确．

同理，D不正确，C显然正确．

答案：C

2．解析：①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．

答案：B

3．解析：由＝3，得＝＝＝＝.

答案：B

4．解析：由图可知，＝4e1＋3e2.

答案：＝4e1＋3e2

课堂探究·素养提升

跟踪训练1　解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B项正确．

答案：B

例2　【解析】　因为a与b不共线，所以3a＋2b≠0，因此由已知可得存在实数t，使得

a－xb＝t(3a＋2b)，

即a－xb＝3ta＋2tb，从而解得x＝－.

跟踪训练2　解析：(1)∵λa＋b与a＋2b平行，

∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，

∴解得

(2)由已知得，＝2()，

∴＝2，∴＝2.

答案：(1)　(2)2

例3　【解析】　因为＝t，

所以＝

＝＋t

＝＋t()

＝＋t－t

＝(1－t)＋t.

跟踪训练3　解析：＝

＝－

＝－＝a－b.

＝

＝－＝b－a.