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2021年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷 及答案
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这是一份2021年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷 及答案，共31页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上。
1．﹣3的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
3．2021年5月15日，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功着陆火星．“天问一号”探测器自2020年7月23日成功发射，精确入轨后，已按预定飞行程序在轨飞行了约295天，距离地球约3.2亿千米，将3.2亿千米用科学记数法表示为（ ）
A．3.2×109米 B．3.2×1010米 C．3.2×1011米 D．3.2×1012米
4．鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图．比较甲、乙的成绩，下列说法正确的是（ ）
A．甲平均分高，成绩稳定
B．甲平均分高，成绩不稳定
C．乙平均分高，成绩稳定
D．乙平均分高，成绩不稳定
6．我省某市即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成，现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务，设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），下列说法正确的是（ ）
A．反比例函数y2的解析式是y2＝﹣
B．两个函数图象的另一交点坐标为（2，﹣4）
C．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2
D．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大
8．对于函数y＝xn+xm，我们定义y′＝nxn﹣1+mxm﹣1（m，n为常数）．
例如y＝x4+x2，则y′＝4x3+2x．
已知：y＝x3+（m﹣2）x2+m2x．若方程y′＝0有两个相等实数根，则m的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
9．如图，四边形ABCD是菱形，以点B为圆心，BD长为半径作弧，交AD于点E；分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧交于点F，射线BF交边AD于点G，连接CG，若∠BCG＝30°，AG＝3，则AB的长为（ ）
A． B．3 C． D．6
10．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴，y轴上，连OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置，若OB＝，tan∠BOC＝，则点A′的坐标（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：（3﹣π）0﹣（）﹣1+＝ ．
12．不等式组的所有整数解的和为 ．
13．网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价也成为卖家和买家都关注的信息．消费者在网店购物后，将从“好评”、“中评”、“差评”中选择一种作为对卖家的评价．
假设这三种评价是等可能的．若甲、乙两名消费者在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，那么两人中至少有一个给“好评”的概率为 ．
14．如图，AB＝CD＝DE＝4，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，以D为圆心，DC为半径画弧交AE与点F，设图中两块阴部分面积分别为S1，S2，则S1﹣S2＝ ．
15．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD＝4，点C为平面内一动点，且BC＝2，点M为线段CD中点，则线段AM的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简（x﹣）÷，再从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
17．（9分）为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党100周年知识测试该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：
a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：
80 81 82 83 83 83.5 83.5 84
84 85 86 86.5 87 88 89 89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
87.2
85
91
八年级
85.3
m
90
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 ；
（2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在 年级排名更靠前，理由是 ；
（3）若各年级建党知识测试成绩前60名将参加线上建党知识竞赛，预估八年级分数至少达到 分的学生才能入选；
（4）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．
18．（9分）邓州市土城墙建于明代，它是穰邓生命的记录，历史的见证，在这绵延起伏的土城墙里，蕴涵着深厚的古邓文化，目前花洲书院东南角的一段土城墙保护的较为完整（如图①），邓州市某中学数学兴趣小组在护城河东岸C处和D处分别测量了城墙顶端A的仰角及CD的长度．（如图②）
小组成员测量数据如表：
成员
∠ACB
∠ADB
CD（m）
甲
37°
43.6°
2.9
乙
36°
45°
3.0
丙
38°
46.4°
3.1
为了减小误差，请你先确定合理数据，再求土城墙高度AB（精确到0.1m）（tan36°≈0.727，tan37°≈0.754，tan38°≈0.781）
19．（9分）甲乙两个批发店销售同一种苹果，甲批发店每千克苹果的价格为3元，乙批发店为了吸引顾客制定如下方案：若一次性购买不超过10千克时，价格为4元，超过10千克时，超过部分的价格为2元/千克．设小王在同一批发店一次性购买苹果的数量为x千克（x＞0）．
（1）若在甲批发店购买需花费y1元，在乙批发店购买需花费y2元，分别求y1、y2以关于x的函数关系式；
（2）求：当x为何值时，在甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱？
（3）①若小王花费90元，则最多可以购买 千克苹果；
②若小王购买24千克苹果，两家对比，可节省 元．
20．（9分）阅读下面村料，并按要求完成相应的任务：
阿基米德是古希腊的数学家、物理学家．在《阿基米德全集》里，他关于圆的引理的论证如下：
命题：设AB是一个半圆的直径，并且过点B的切线与过该半圆上的任意一点D的切线交于点T，如果作DE垂直AB于点E，且与AT交于点F，则DF＝EF．
证明：如图①，延长AD与BT交于点H，连接OD，OT．
∵DT，BT与⊙O相切
∴……，①
∴BT＝DT
∵AB是半⊙O的直径，∠ADB＝90°，②
在△BDH中，BT＝DT，得到∠TDB＝∠TBD，
可得∠H＝∠TDH，
∴BT＝DT＝HT．
又∵DE∥BH，
∴，
∴
又∵BT＝HT，∴DF＝EF．
任务：
（1）请将①部分证明补充完整；
（2）证明过程中②的证明依据是 ；
（3）如图②，△BED是等边三角形，BE是⊙O的切线，切点是B，D在⊙O上，CD⊥AB，垂足为C，连接AE，交CD于点F，若⊙O的半径为2，求CE的长．
21．（10分）平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．
（1）直接写出A点坐标；
（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数表达式，并写出函数y随x增犬而增大时x的取值范围；
（3）当x≥0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）图象最低点到直线y＝2a的距离为3，求a的值．
22．（10分）数学活动课上，张老师引导同学们进行如下探究．如图①，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图②是示意图．
活动一：如图③，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合．
数学思考
（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．求y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．
活动二：（2）①列表：直接写出m，n的值．
x（cm）
6
5
4
3.5
3
2.5
2
1
0.5
0
y（cm）
0
0.55
1.2
1.58
m
2.47
3
4.29
5.08
n
②描点：根据表中数值，请在如图中继续描出①中剩余的两个点．
③连线：在如图所示的平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你继续在同一坐标系中画出所需函数图象，并结合图象直接写出BG＞2CD时，线段CD的取值范围 ．
23．（11分）在等边三角形ABC中，AB＝4，D为AB的中点．连接CD，E，F分别为BC，CD的中点，将△CEF绕点C逆时针旋转，记旋转角为α，直线DF和直线BE交于点G．
（1）如图1，线段DF和线段BE的数量关系是 ，直线DF与直线BE相交所成的较小角的度数是 ．
（2）将图1中的△CEF绕点C逆时针旋转到图2所示位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当以点C，F，E，G为顶点的四边形是矩形时，请直接写出DF的长．
2021年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上。
1．﹣3的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
【分析】根据绝对值的定义，即可解答．
【解答】解：|﹣3|＝3，
故选：C．
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
3．2021年5月15日，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功着陆火星．“天问一号”探测器自2020年7月23日成功发射，精确入轨后，已按预定飞行程序在轨飞行了约295天，距离地球约3.2亿千米，将3.2亿千米用科学记数法表示为（ ）
A．3.2×109米 B．3.2×1010米 C．3.2×1011米 D．3.2×1012米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3.2亿千米＝320000000千米＝320000000000米＝3.2×1011米．
故选：C．
4．鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线．
故选：D．
5．如图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图．比较甲、乙的成绩，下列说法正确的是（ ）
A．甲平均分高，成绩稳定
B．甲平均分高，成绩不稳定
C．乙平均分高，成绩稳定
D．乙平均分高，成绩不稳定
【分析】分别求出甲、乙的平均数、方差，比较得出答案．
【解答】解：乙＝＝90，甲＝＝84，因此乙的平均数较高；
S2乙＝[（100﹣90）2+（85﹣90）2+（80﹣90）2+（95﹣90）2]＝50，
S2甲＝[（85﹣84）2+（90﹣84）2+（80﹣84）2+（80﹣84）2+（85﹣84）2]＝14，
∵50＞14，
∴乙的离散程度较高，不稳定，甲的离散程度较低，比较稳定；
故选：D．
6．我省某市即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成，现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务，设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
＝15，
故选：A．
7．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），下列说法正确的是（ ）
A．反比例函数y2的解析式是y2＝﹣
B．两个函数图象的另一交点坐标为（2，﹣4）
C．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2
D．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大
【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
【解答】解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），
∴正比例函数y1＝2x，反比例函数y2＝，
∴两个函数图象的另一个交点为（﹣2，﹣4），
∴A，B选项错误；
∵正比例函数y1＝2x中，y随x的增大而增大，反比例函数y2＝中，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴D选项错误；
∵当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2，
∴选项C正确；
故选：C．
8．对于函数y＝xn+xm，我们定义y′＝nxn﹣1+mxm﹣1（m，n为常数）．
例如y＝x4+x2，则y′＝4x3+2x．
已知：y＝x3+（m﹣2）x2+m2x．若方程y′＝0有两个相等实数根，则m的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
【分析】根据给定的新定义可得到y'＝x2+2（m﹣2）x+m2，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：∵y＝x3+（m﹣2）x2+m2x，
∴y'＝x2+2（m﹣2）x+m2，
∵方程y'＝0有两个相等实数根，
∴△＝[2（m﹣2）]2﹣4m2＝0，
解得：m＝1．
故选：D．
9．如图，四边形ABCD是菱形，以点B为圆心，BD长为半径作弧，交AD于点E；分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧交于点F，射线BF交边AD于点G，连接CG，若∠BCG＝30°，AG＝3，则AB的长为（ ）
A． B．3 C． D．6
【分析】由作法得∠AGB＝90°，利用菱形的性质得到AD∥BC，AB＝BC，所以∠GBC＝90°，在Rt△BCG中，设BG＝x，则BC＝x，所以AB＝x，在Rt△ABG中利用勾股定理得到x2+32＝（x）2，然后解方程求出x，从而得到AB的长．
【解答】解：由作法得BG⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC，
∴∠GBC＝90°，
在Rt△BCG中，设BG＝x，
∵∠BCG＝30°，
∴BC＝x，
∴AB＝x，
在Rt△ABG中，x2+32＝（x）2，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴AB＝×＝．
故选：C．
10．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴，y轴上，连OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置，若OB＝，tan∠BOC＝，则点A′的坐标（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）
【分析】即求A点关于OB的对称点的坐标．通过解方程组求解．
【解答】解：∵tan∠BOC＝，∴OC＝2BC．
∵OC2+BC2＝OB2＝5，∴BC＝1，OC＝2．
所以A（1，0），B（1，2）．
直线OB方程：y﹣2＝2（x﹣1），
A′和A关于OB对称，假设A′（x0，y0），
AA'中点：x＝，y＝．在直线OBy﹣2＝2（x﹣1）上，
﹣2＝2（﹣1），y0＝2（x0+1）．
x02+y02＝OA'2＝OA2＝1，
x02+4（x0+1）2＝1，
5X02+8X0+3＝0．
X0＝﹣1或者﹣，
y0＝0或者．
x0＝﹣1，y0＝0不合题意，舍去．
所以A'（﹣，）．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：（3﹣π）0﹣（）﹣1+＝ ﹣3+2 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣4+2
＝﹣3+2．
故答案为：﹣3+2．
12．不等式组的所有整数解的和为 0 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x＜3
解不等式②，得x≥﹣2，
所以不等式组的解集是﹣2≤x＜3，
所以不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，和为（﹣2）+（﹣1）+0+1+2＝0，
故答案为：0．
13．网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价也成为卖家和买家都关注的信息．消费者在网店购物后，将从“好评”、“中评”、“差评”中选择一种作为对卖家的评价．
假设这三种评价是等可能的．若甲、乙两名消费者在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，那么两人中至少有一个给“好评”的概率为 ．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两人中至少有一个给“好评”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人中至少有一个给“好评”的结果数为5，
所以两人中至少有一个给“好评”的概率＝．
故答案为．
14．如图，AB＝CD＝DE＝4，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，以D为圆心，DC为半径画弧交AE与点F，设图中两块阴部分面积分别为S1，S2，则S1﹣S2＝ 16﹣4π ．
【分析】如图，过点E作TE⊥DE交CB的延长线于T，AE交CT于G．证明△ABG≌△ETG（AAS），推出S1﹣S2＝S正方形CDET﹣S扇形DCE，可得结论．
【解答】解：如图，过点E作TE⊥DE交CB的延长线于T，AE交CT于G．
∵∠TCD＝∠D＝∠DET＝90°，
∴四边形CDET是矩形，
∵DC＝DE，
∴四边形CDET是正方形，
∴ET＝CD＝AB，
在△ABG和△ETG中，
，
∴△ABG≌△ETG（AAS），
∴S1﹣S2＝S正方形CDET﹣S扇形DCE＝16﹣＝16﹣4π，
故答案为：16﹣4π．
15．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD＝4，点C为平面内一动点，且BC＝2，点M为线段CD中点，则线段AM的取值范围为 2﹣1≤AM≤2+1 ．
【分析】连接BD，取BD的中点N，连接AN．MN，先根据三角形中位线定理可得MN＝1，再根据勾股定理、直角三角形的性质可得AN＝2，然后分三种情况，根据三角形的三边关系线段的和差即可得．
【解答】解：如图1，连接BD，取BD的中点N，连接AN．MN，
∵点M为线段CD中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴MN＝BC＝×2＝1，
∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝4．
∴BD＝＝4，
又∵点N为BD的中点，
∴AN＝BD＝2，
（1）如图1，当点A，N，M不共线时，
由三角形的三边关系得：AN﹣MN＜AM＜AN+MN即2﹣1＜AM＜2+1；
（2）如图2，当点A，N，M共线，且点N位于点A，M中间时，
则AM＝AN+MN＝2+1；
（3）如图3，当点A，N，M共线，且点M位于点A，N中间时，
则AM＝AN﹣MN＝2﹣1；
综上，线段AM的取值范围为2﹣1≤AM≤2+1，
故答案为：2﹣1≤AM≤2+1．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简（x﹣）÷，再从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】原式可以通过通分和完全平方公式进行化简，则可化简为x+1．在整个运算过程中注意分母不能为0，所以x＝0和1，无意义．当x＝﹣1时，值为0．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝x+1．
由题意可得x≠0，x≠1．
又∵﹣＜x＜，
∴当x＝﹣1时，原式＝0．
答：原式化简后的值为0．
17．（9分）为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党100周年知识测试该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：
a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：
80 81 82 83 83 83.5 83.5 84
84 85 86 86.5 87 88 89 89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
87.2
85
91
八年级
85.3
m
90
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 83 ；
（2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在 八 年级排名更靠前，理由是 该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数 ；
（3）若各年级建党知识测试成绩前60名将参加线上建党知识竞赛，预估八年级分数至少达到 90 分的学生才能入选；
（4）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．
【分析】（1）根据八年级共有50名学生，第25，26名学生的成绩为83分，83分，即可求出m的值；
（2）根据八年级的中位数是83分，七年级的中位数是85分，可得该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，进而可得结论；
（3）根据题意可得在抽取的50名学生中，必须有10人参加线上防治知识竞赛，观察直方图成绩是90至100分的有13人，进而可作出判断；
（4）用样本的优秀率估计总体的优秀率，根据总人数和优秀率求得优秀人数．
【解答】解：（1）∵八年级共有50名学生，第25，26名学生的成绩为83分，83分，
∴m＝＝83（分）；
故答案为：83；
（2）在八年级排名更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是83分，七年级的中位数是85分，
∴该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，
∴在八年级排名更靠前；
故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数；
（3）根据题意得：
×50＝10（人），
则在抽取的50名学生中，必须有10人参加线上防治知识竞赛，
所以至少达到90分；
故答案为：90；
（4）因为成绩85分及以上有20人，
所以×300＝120（人），
答：八年级达到“优秀”的人数为120人．
18．（9分）邓州市土城墙建于明代，它是穰邓生命的记录，历史的见证，在这绵延起伏的土城墙里，蕴涵着深厚的古邓文化，目前花洲书院东南角的一段土城墙保护的较为完整（如图①），邓州市某中学数学兴趣小组在护城河东岸C处和D处分别测量了城墙顶端A的仰角及CD的长度．（如图②）
小组成员测量数据如表：
成员
∠ACB
∠ADB
CD（m）
甲
37°
43.6°
2.9
乙
36°
45°
3.0
丙
38°
46.4°
3.1
为了减小误差，请你先确定合理数据，再求土城墙高度AB（精确到0.1m）（tan36°≈0.727，tan37°≈0.754，tan38°≈0.781）
【分析】为了减小误差取各自的平均数：∠ACB＝37°，∠ADB＝45°，CD＝3.0m，再利用45°和30°角的正切可得答案．
【解答】解：为了减小误差取各自的平均数：∠ACB＝37°，∠ADB＝45°，CD＝3.0米，
设AB＝x米，
Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴BD＝AB＝x米，
Rt△ACB中，∠ACB＝37°，
∴BC＝≈1.32x米，
∵BC﹣BD＝DC，
∴1.32x﹣x＝3，解得x≈9.4．
答：土城墙AB高约9.4米．
19．（9分）甲乙两个批发店销售同一种苹果，甲批发店每千克苹果的价格为3元，乙批发店为了吸引顾客制定如下方案：若一次性购买不超过10千克时，价格为4元，超过10千克时，超过部分的价格为2元/千克．设小王在同一批发店一次性购买苹果的数量为x千克（x＞0）．
（1）若在甲批发店购买需花费y1元，在乙批发店购买需花费y2元，分别求y1、y2以关于x的函数关系式；
（2）求：当x为何值时，在甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱？
（3）①若小王花费90元，则最多可以购买 35 千克苹果；
②若小王购买24千克苹果，两家对比，可节省 4 元．
【分析】（1）根据“甲批发店每千克苹果的价格为3元，乙批发店为了吸引顾客制定如下方案：若一次性购买不超过10千克时，价格为4元，超过10千克时，超过部分的价格为2元/千克”，可以写出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）根据（1）中的函数关系式列方程解答即可；
（3）①把y＝90代入相关函数关系式解答即可；②把x＝24代入相关函数关系式解答即可．
【解答】解：（1）由题意，得y1＝3x；
当0＜x≤10时，y2＝4x，当x＞10时，y2＝10×4+（x﹣10）×2＝2x+20，
∴y2＝；
（2）根据题意，得3x＝2x+20，解得x＝20，
答：当x为20时，在甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱；
（3）①若小王花费90元，则小王在甲批发店购买能购买30千克苹果，在乙批发店购买能购买苹果：（90﹣20）÷2＝35（千克）；
故最多可以购买35千克苹果；
②当x＝24时，小王在甲批发店购买需要花费：24×3＝72（元）；在乙批发店购买需要花费：2×24+20＝68（元），
72﹣68＝4（元），
即两家对比，可节省4元．
故答案为：①35；②4．
20．（9分）阅读下面村料，并按要求完成相应的任务：
阿基米德是古希腊的数学家、物理学家．在《阿基米德全集》里，他关于圆的引理的论证如下：
命题：设AB是一个半圆的直径，并且过点B的切线与过该半圆上的任意一点D的切线交于点T，如果作DE垂直AB于点E，且与AT交于点F，则DF＝EF．
证明：如图①，延长AD与BT交于点H，连接OD，OT．
∵DT，BT与⊙O相切
∴……，①
∴BT＝DT
∵AB是半⊙O的直径，∠ADB＝90°，②
在△BDH中，BT＝DT，得到∠TDB＝∠TBD，
可得∠H＝∠TDH，
∴BT＝DT＝HT．
又∵DE∥BH，
∴，
∴
又∵BT＝HT，∴DF＝EF．
任务：
（1）请将①部分证明补充完整；
（2）证明过程中②的证明依据是 直径所对的圆周角是直角 ；
（3）如图②，△BED是等边三角形，BE是⊙O的切线，切点是B，D在⊙O上，CD⊥AB，垂足为C，连接AE，交CD于点F，若⊙O的半径为2，求CE的长．
【分析】（1）连接OD，OT，全等三角形的判定定理HL，即可得到结论；
（2）由圆周角定理可得答案；
（3）连接OD，CE，根据等边三角形的性质与判定及切线的性质得△ODA为等边三角形，再由直角三角形的性质及勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）如图，连接OD，OT，
∴∠ODT＝∠OBT＝90°，
在Rt△ODT和Rt△OBT中，，
∴Rt△ODT≌Rt△OBT（HL）；
（2）直径所对的圆周角是直角；
故答案为：直径所对的圆周角是直角．
（3）如图，连接OD，CE，
∵△BED是等边三角形，
∴∠EBD＝60°，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBA＝90°，
∴∠DBA＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵OD＝OA，
∴△ODA为等边三角形，
∵OD＝2，CD⊥AB，
∴OC＝OA＝1，DC＝，
∴＝BE，
∵OB＝2
∴BC＝3，
在Rt△EBC中，由勾股定理得，
CE＝．
21．（10分）平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．
（1）直接写出A点坐标；
（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数表达式，并写出函数y随x增犬而增大时x的取值范围；
（3）当x≥0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）图象最低点到直线y＝2a的距离为3，求a的值．
【分析】（1）当x＝0时，代入y＝x2﹣2ax﹣1，即可得出结果；
（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得a＝﹣1，则函数的表达式为y＝x2+2x﹣1，由y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，得出抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，则当x≥﹣1时，y随x的增大而增大；
（3）当x≥0时，抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为直线x＝a，顶点坐标为（a，﹣a2﹣1），当a＜0时，对称轴在y轴左侧，最低点就是A（0，﹣1），则|2a﹣（﹣1）|＝3，即可得出结果；当a＞0，对称轴在y轴右侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，则2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，即可得出结果；
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，
∴点A的坐标为：（0，﹣1）；
（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，
得：2＝1﹣2a﹣1，
解得：a＝﹣1，
∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1，
∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x≥﹣1时，y随x的增大而增大；
（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1），
当a＜0时，对称轴在y轴左侧，
∵x≥0，
∴最低点就是A（0，﹣1），
如图所示：
∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，
∴|2a﹣（﹣1）|＝3，
解得：a＝﹣2或a＝1（舍去），
当a＞0，对称轴在y轴右侧，
∵x≥0，
∴顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，
如图所示：
∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝3，
整理得：（a+1）2＝3，
解得：a1＝﹣1﹣（不合题意舍去），a2＝﹣1+；
综上所述，a的值为﹣2或﹣1+；
22．（10分）数学活动课上，张老师引导同学们进行如下探究．如图①，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图②是示意图．
活动一：如图③，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合．
数学思考
（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．求y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．
活动二：（2）①列表：直接写出m，n的值．
x（cm）
6
5
4
3.5
3
2.5
2
1
0.5
0
y（cm）
0
0.55
1.2
1.58
m
2.47
3
4.29
5.08
n
②描点：根据表中数值，请在如图中继续描出①中剩余的两个点．
③连线：在如图所示的平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你继续在同一坐标系中画出所需函数图象，并结合图象直接写出BG＞2CD时，线段CD的取值范围 0＜CD＜1.7 ．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）①利用函数关系式计算即可．
②描出点（0，6），（3，2）即可．
③由平滑的曲线画出该函数的图象即可．
（3）画出函数y＝2x与y＝（0≤x≤6）的图象，确定交点的横坐标，可得结论．
【解答】解：（1）①如图3中，由题意AC＝OA＝AB＝6（cm），
∵CD＝xcm，
∴AD＝（6+x）（cm），BD＝12﹣（6+x）＝（6﹣x）（cm），
∵OA⊥OF，BG⊥OF，
∴BG∥OA，
∴＝，
∴＝，
∴y＝（0≤x≤6），
（2）①当x＝3时，y＝2，当x＝0时，y＝6，
故m＝2，n＝6．
②点（0，6），点（3，2）如图所示．
③函数图象如图所示．
（3）函数y＝2x与y＝的交点的横坐标约为1.7，
∴满足BG＞2CD的，CD的取值范围为0＜CD＜1.7．
故答案为：0＜CD＜1.7．
23．（11分）在等边三角形ABC中，AB＝4，D为AB的中点．连接CD，E，F分别为BC，CD的中点，将△CEF绕点C逆时针旋转，记旋转角为α，直线DF和直线BE交于点G．
（1）如图1，线段DF和线段BE的数量关系是 DF＝BE ，直线DF与直线BE相交所成的较小角的度数是 30° ．
（2）将图1中的△CEF绕点C逆时针旋转到图2所示位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当以点C，F，E，G为顶点的四边形是矩形时，请直接写出DF的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得Rt△BCD，根据含30°角的直角三角形的性质以及三角形中位线定理即可求解；
（2）由（1）的结论以及旋转的性质证明△DCF∽△BCE，根据相似三角形的性质即可得出结论；
（3）当以点C，F，E，G为顶点的四边形是矩形时，分两种情况讨论，根据矩形的性质以及勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点．
∴∠DCB＝30°，∠CDB＝90°，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∴∠CFE＝90°，
∴，
∴DF＝BE，
由图得：直线DF与直线BE相交所成的较小角的度数是30°，
故答案为：DF＝BE，30°；
（2）（1）中的结论仍然成立．
证明：设DG交BC于点H，
∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点．
∴∠DCB＝30°，∠CDB＝90°，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∴∠CFE＝90°，
∴cos∠DCB＝，
∵△CEF绕点C逆时针旋转，
∴∠EFC＝90°，∠FCE＝30°，
∴cos∠FCE＝＝，
∴，
∵∠DCB＝∠FCE，
∴△DCF∽△BCE，
∴，∠CDF＝∠CBG，
∵∠DHC＝∠BHG，
∴∠G＝∠DCB＝30°，
∴DF＝BE，∠G＝30°；
（3）分两种情况：
①当点E在线段BG上时，
∵四边形CFEG是矩形，
∴CG＝EF，∠CGE＝90°，
∵AB＝4，
∴BC＝4，CG＝EF＝BD＝AB＝1，
由（2）知：∠FGE＝30°，
∴EG＝，
在Rt△BCG中，BG＝＝，
∴BE＝BG﹣EG＝﹣，
∴DF＝BE＝＝；
②当点E在线段BG的延长线上时，
同①，BE＝BG+EG＝+，
∴DF＝BE＝＝；
综上，DF的长为或．
2021年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上。
1．﹣3的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
3．2021年5月15日，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功着陆火星．“天问一号”探测器自2020年7月23日成功发射，精确入轨后，已按预定飞行程序在轨飞行了约295天，距离地球约3.2亿千米，将3.2亿千米用科学记数法表示为（ ）
A．3.2×109米 B．3.2×1010米 C．3.2×1011米 D．3.2×1012米
4．鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图．比较甲、乙的成绩，下列说法正确的是（ ）
A．甲平均分高，成绩稳定
B．甲平均分高，成绩不稳定
C．乙平均分高，成绩稳定
D．乙平均分高，成绩不稳定
6．我省某市即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成，现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务，设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），下列说法正确的是（ ）
A．反比例函数y2的解析式是y2＝﹣
B．两个函数图象的另一交点坐标为（2，﹣4）
C．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2
D．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大
8．对于函数y＝xn+xm，我们定义y′＝nxn﹣1+mxm﹣1（m，n为常数）．
例如y＝x4+x2，则y′＝4x3+2x．
已知：y＝x3+（m﹣2）x2+m2x．若方程y′＝0有两个相等实数根，则m的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
9．如图，四边形ABCD是菱形，以点B为圆心，BD长为半径作弧，交AD于点E；分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧交于点F，射线BF交边AD于点G，连接CG，若∠BCG＝30°，AG＝3，则AB的长为（ ）
A． B．3 C． D．6
10．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴，y轴上，连OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置，若OB＝，tan∠BOC＝，则点A′的坐标（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：（3﹣π）0﹣（）﹣1+＝ ．
12．不等式组的所有整数解的和为 ．
13．网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价也成为卖家和买家都关注的信息．消费者在网店购物后，将从“好评”、“中评”、“差评”中选择一种作为对卖家的评价．
假设这三种评价是等可能的．若甲、乙两名消费者在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，那么两人中至少有一个给“好评”的概率为 ．
14．如图，AB＝CD＝DE＝4，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，以D为圆心，DC为半径画弧交AE与点F，设图中两块阴部分面积分别为S1，S2，则S1﹣S2＝ ．
15．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD＝4，点C为平面内一动点，且BC＝2，点M为线段CD中点，则线段AM的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简（x﹣）÷，再从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
17．（9分）为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党100周年知识测试该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：
a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：
80 81 82 83 83 83.5 83.5 84
84 85 86 86.5 87 88 89 89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
87.2
85
91
八年级
85.3
m
90
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 ；
（2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在 年级排名更靠前，理由是 ；
（3）若各年级建党知识测试成绩前60名将参加线上建党知识竞赛，预估八年级分数至少达到 分的学生才能入选；
（4）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．
18．（9分）邓州市土城墙建于明代，它是穰邓生命的记录，历史的见证，在这绵延起伏的土城墙里，蕴涵着深厚的古邓文化，目前花洲书院东南角的一段土城墙保护的较为完整（如图①），邓州市某中学数学兴趣小组在护城河东岸C处和D处分别测量了城墙顶端A的仰角及CD的长度．（如图②）
小组成员测量数据如表：
成员
∠ACB
∠ADB
CD（m）
甲
37°
43.6°
2.9
乙
36°
45°
3.0
丙
38°
46.4°
3.1
为了减小误差，请你先确定合理数据，再求土城墙高度AB（精确到0.1m）（tan36°≈0.727，tan37°≈0.754，tan38°≈0.781）
19．（9分）甲乙两个批发店销售同一种苹果，甲批发店每千克苹果的价格为3元，乙批发店为了吸引顾客制定如下方案：若一次性购买不超过10千克时，价格为4元，超过10千克时，超过部分的价格为2元/千克．设小王在同一批发店一次性购买苹果的数量为x千克（x＞0）．
（1）若在甲批发店购买需花费y1元，在乙批发店购买需花费y2元，分别求y1、y2以关于x的函数关系式；
（2）求：当x为何值时，在甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱？
（3）①若小王花费90元，则最多可以购买 千克苹果；
②若小王购买24千克苹果，两家对比，可节省 元．
20．（9分）阅读下面村料，并按要求完成相应的任务：
阿基米德是古希腊的数学家、物理学家．在《阿基米德全集》里，他关于圆的引理的论证如下：
命题：设AB是一个半圆的直径，并且过点B的切线与过该半圆上的任意一点D的切线交于点T，如果作DE垂直AB于点E，且与AT交于点F，则DF＝EF．
证明：如图①，延长AD与BT交于点H，连接OD，OT．
∵DT，BT与⊙O相切
∴……，①
∴BT＝DT
∵AB是半⊙O的直径，∠ADB＝90°，②
在△BDH中，BT＝DT，得到∠TDB＝∠TBD，
可得∠H＝∠TDH，
∴BT＝DT＝HT．
又∵DE∥BH，
∴，
∴
又∵BT＝HT，∴DF＝EF．
任务：
（1）请将①部分证明补充完整；
（2）证明过程中②的证明依据是 ；
（3）如图②，△BED是等边三角形，BE是⊙O的切线，切点是B，D在⊙O上，CD⊥AB，垂足为C，连接AE，交CD于点F，若⊙O的半径为2，求CE的长．
21．（10分）平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．
（1）直接写出A点坐标；
（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数表达式，并写出函数y随x增犬而增大时x的取值范围；
（3）当x≥0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）图象最低点到直线y＝2a的距离为3，求a的值．
22．（10分）数学活动课上，张老师引导同学们进行如下探究．如图①，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图②是示意图．
活动一：如图③，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合．
数学思考
（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．求y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．
活动二：（2）①列表：直接写出m，n的值．
x（cm）
6
5
4
3.5
3
2.5
2
1
0.5
0
y（cm）
0
0.55
1.2
1.58
m
2.47
3
4.29
5.08
n
②描点：根据表中数值，请在如图中继续描出①中剩余的两个点．
③连线：在如图所示的平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你继续在同一坐标系中画出所需函数图象，并结合图象直接写出BG＞2CD时，线段CD的取值范围 ．
23．（11分）在等边三角形ABC中，AB＝4，D为AB的中点．连接CD，E，F分别为BC，CD的中点，将△CEF绕点C逆时针旋转，记旋转角为α，直线DF和直线BE交于点G．
（1）如图1，线段DF和线段BE的数量关系是 ，直线DF与直线BE相交所成的较小角的度数是 ．
（2）将图1中的△CEF绕点C逆时针旋转到图2所示位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当以点C，F，E，G为顶点的四边形是矩形时，请直接写出DF的长．
2021年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上。
1．﹣3的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
【分析】根据绝对值的定义，即可解答．
【解答】解：|﹣3|＝3，
故选：C．
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
3．2021年5月15日，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功着陆火星．“天问一号”探测器自2020年7月23日成功发射，精确入轨后，已按预定飞行程序在轨飞行了约295天，距离地球约3.2亿千米，将3.2亿千米用科学记数法表示为（ ）
A．3.2×109米 B．3.2×1010米 C．3.2×1011米 D．3.2×1012米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3.2亿千米＝320000000千米＝320000000000米＝3.2×1011米．
故选：C．
4．鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线．
故选：D．
5．如图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图．比较甲、乙的成绩，下列说法正确的是（ ）
A．甲平均分高，成绩稳定
B．甲平均分高，成绩不稳定
C．乙平均分高，成绩稳定
D．乙平均分高，成绩不稳定
【分析】分别求出甲、乙的平均数、方差，比较得出答案．
【解答】解：乙＝＝90，甲＝＝84，因此乙的平均数较高；
S2乙＝[（100﹣90）2+（85﹣90）2+（80﹣90）2+（95﹣90）2]＝50，
S2甲＝[（85﹣84）2+（90﹣84）2+（80﹣84）2+（80﹣84）2+（85﹣84）2]＝14，
∵50＞14，
∴乙的离散程度较高，不稳定，甲的离散程度较低，比较稳定；
故选：D．
6．我省某市即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成，现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务，设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
＝15，
故选：A．
7．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），下列说法正确的是（ ）
A．反比例函数y2的解析式是y2＝﹣
B．两个函数图象的另一交点坐标为（2，﹣4）
C．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2
D．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大
【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
【解答】解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），
∴正比例函数y1＝2x，反比例函数y2＝，
∴两个函数图象的另一个交点为（﹣2，﹣4），
∴A，B选项错误；
∵正比例函数y1＝2x中，y随x的增大而增大，反比例函数y2＝中，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴D选项错误；
∵当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2，
∴选项C正确；
故选：C．
8．对于函数y＝xn+xm，我们定义y′＝nxn﹣1+mxm﹣1（m，n为常数）．
例如y＝x4+x2，则y′＝4x3+2x．
已知：y＝x3+（m﹣2）x2+m2x．若方程y′＝0有两个相等实数根，则m的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
【分析】根据给定的新定义可得到y'＝x2+2（m﹣2）x+m2，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：∵y＝x3+（m﹣2）x2+m2x，
∴y'＝x2+2（m﹣2）x+m2，
∵方程y'＝0有两个相等实数根，
∴△＝[2（m﹣2）]2﹣4m2＝0，
解得：m＝1．
故选：D．
9．如图，四边形ABCD是菱形，以点B为圆心，BD长为半径作弧，交AD于点E；分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧交于点F，射线BF交边AD于点G，连接CG，若∠BCG＝30°，AG＝3，则AB的长为（ ）
A． B．3 C． D．6
【分析】由作法得∠AGB＝90°，利用菱形的性质得到AD∥BC，AB＝BC，所以∠GBC＝90°，在Rt△BCG中，设BG＝x，则BC＝x，所以AB＝x，在Rt△ABG中利用勾股定理得到x2+32＝（x）2，然后解方程求出x，从而得到AB的长．
【解答】解：由作法得BG⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC，
∴∠GBC＝90°，
在Rt△BCG中，设BG＝x，
∵∠BCG＝30°，
∴BC＝x，
∴AB＝x，
在Rt△ABG中，x2+32＝（x）2，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴AB＝×＝．
故选：C．
10．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴，y轴上，连OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置，若OB＝，tan∠BOC＝，则点A′的坐标（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）
【分析】即求A点关于OB的对称点的坐标．通过解方程组求解．
【解答】解：∵tan∠BOC＝，∴OC＝2BC．
∵OC2+BC2＝OB2＝5，∴BC＝1，OC＝2．
所以A（1，0），B（1，2）．
直线OB方程：y﹣2＝2（x﹣1），
A′和A关于OB对称，假设A′（x0，y0），
AA'中点：x＝，y＝．在直线OBy﹣2＝2（x﹣1）上，
﹣2＝2（﹣1），y0＝2（x0+1）．
x02+y02＝OA'2＝OA2＝1，
x02+4（x0+1）2＝1，
5X02+8X0+3＝0．
X0＝﹣1或者﹣，
y0＝0或者．
x0＝﹣1，y0＝0不合题意，舍去．
所以A'（﹣，）．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：（3﹣π）0﹣（）﹣1+＝ ﹣3+2 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣4+2
＝﹣3+2．
故答案为：﹣3+2．
12．不等式组的所有整数解的和为 0 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x＜3
解不等式②，得x≥﹣2，
所以不等式组的解集是﹣2≤x＜3，
所以不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，和为（﹣2）+（﹣1）+0+1+2＝0，
故答案为：0．
13．网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价也成为卖家和买家都关注的信息．消费者在网店购物后，将从“好评”、“中评”、“差评”中选择一种作为对卖家的评价．
假设这三种评价是等可能的．若甲、乙两名消费者在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，那么两人中至少有一个给“好评”的概率为 ．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两人中至少有一个给“好评”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人中至少有一个给“好评”的结果数为5，
所以两人中至少有一个给“好评”的概率＝．
故答案为．
14．如图，AB＝CD＝DE＝4，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，以D为圆心，DC为半径画弧交AE与点F，设图中两块阴部分面积分别为S1，S2，则S1﹣S2＝ 16﹣4π ．
【分析】如图，过点E作TE⊥DE交CB的延长线于T，AE交CT于G．证明△ABG≌△ETG（AAS），推出S1﹣S2＝S正方形CDET﹣S扇形DCE，可得结论．
【解答】解：如图，过点E作TE⊥DE交CB的延长线于T，AE交CT于G．
∵∠TCD＝∠D＝∠DET＝90°，
∴四边形CDET是矩形，
∵DC＝DE，
∴四边形CDET是正方形，
∴ET＝CD＝AB，
在△ABG和△ETG中，
，
∴△ABG≌△ETG（AAS），
∴S1﹣S2＝S正方形CDET﹣S扇形DCE＝16﹣＝16﹣4π，
故答案为：16﹣4π．
15．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD＝4，点C为平面内一动点，且BC＝2，点M为线段CD中点，则线段AM的取值范围为 2﹣1≤AM≤2+1 ．
【分析】连接BD，取BD的中点N，连接AN．MN，先根据三角形中位线定理可得MN＝1，再根据勾股定理、直角三角形的性质可得AN＝2，然后分三种情况，根据三角形的三边关系线段的和差即可得．
【解答】解：如图1，连接BD，取BD的中点N，连接AN．MN，
∵点M为线段CD中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴MN＝BC＝×2＝1，
∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝4．
∴BD＝＝4，
又∵点N为BD的中点，
∴AN＝BD＝2，
（1）如图1，当点A，N，M不共线时，
由三角形的三边关系得：AN﹣MN＜AM＜AN+MN即2﹣1＜AM＜2+1；
（2）如图2，当点A，N，M共线，且点N位于点A，M中间时，
则AM＝AN+MN＝2+1；
（3）如图3，当点A，N，M共线，且点M位于点A，N中间时，
则AM＝AN﹣MN＝2﹣1；
综上，线段AM的取值范围为2﹣1≤AM≤2+1，
故答案为：2﹣1≤AM≤2+1．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简（x﹣）÷，再从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】原式可以通过通分和完全平方公式进行化简，则可化简为x+1．在整个运算过程中注意分母不能为0，所以x＝0和1，无意义．当x＝﹣1时，值为0．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝x+1．
由题意可得x≠0，x≠1．
又∵﹣＜x＜，
∴当x＝﹣1时，原式＝0．
答：原式化简后的值为0．
17．（9分）为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党100周年知识测试该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：
a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：
80 81 82 83 83 83.5 83.5 84
84 85 86 86.5 87 88 89 89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
87.2
85
91
八年级
85.3
m
90
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 83 ；
（2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在 八 年级排名更靠前，理由是 该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数 ；
（3）若各年级建党知识测试成绩前60名将参加线上建党知识竞赛，预估八年级分数至少达到 90 分的学生才能入选；
（4）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．
【分析】（1）根据八年级共有50名学生，第25，26名学生的成绩为83分，83分，即可求出m的值；
（2）根据八年级的中位数是83分，七年级的中位数是85分，可得该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，进而可得结论；
（3）根据题意可得在抽取的50名学生中，必须有10人参加线上防治知识竞赛，观察直方图成绩是90至100分的有13人，进而可作出判断；
（4）用样本的优秀率估计总体的优秀率，根据总人数和优秀率求得优秀人数．
【解答】解：（1）∵八年级共有50名学生，第25，26名学生的成绩为83分，83分，
∴m＝＝83（分）；
故答案为：83；
（2）在八年级排名更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是83分，七年级的中位数是85分，
∴该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，
∴在八年级排名更靠前；
故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数；
（3）根据题意得：
×50＝10（人），
则在抽取的50名学生中，必须有10人参加线上防治知识竞赛，
所以至少达到90分；
故答案为：90；
（4）因为成绩85分及以上有20人，
所以×300＝120（人），
答：八年级达到“优秀”的人数为120人．
18．（9分）邓州市土城墙建于明代，它是穰邓生命的记录，历史的见证，在这绵延起伏的土城墙里，蕴涵着深厚的古邓文化，目前花洲书院东南角的一段土城墙保护的较为完整（如图①），邓州市某中学数学兴趣小组在护城河东岸C处和D处分别测量了城墙顶端A的仰角及CD的长度．（如图②）
小组成员测量数据如表：
成员
∠ACB
∠ADB
CD（m）
甲
37°
43.6°
2.9
乙
36°
45°
3.0
丙
38°
46.4°
3.1
为了减小误差，请你先确定合理数据，再求土城墙高度AB（精确到0.1m）（tan36°≈0.727，tan37°≈0.754，tan38°≈0.781）
【分析】为了减小误差取各自的平均数：∠ACB＝37°，∠ADB＝45°，CD＝3.0m，再利用45°和30°角的正切可得答案．
【解答】解：为了减小误差取各自的平均数：∠ACB＝37°，∠ADB＝45°，CD＝3.0米，
设AB＝x米，
Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴BD＝AB＝x米，
Rt△ACB中，∠ACB＝37°，
∴BC＝≈1.32x米，
∵BC﹣BD＝DC，
∴1.32x﹣x＝3，解得x≈9.4．
答：土城墙AB高约9.4米．
19．（9分）甲乙两个批发店销售同一种苹果，甲批发店每千克苹果的价格为3元，乙批发店为了吸引顾客制定如下方案：若一次性购买不超过10千克时，价格为4元，超过10千克时，超过部分的价格为2元/千克．设小王在同一批发店一次性购买苹果的数量为x千克（x＞0）．
（1）若在甲批发店购买需花费y1元，在乙批发店购买需花费y2元，分别求y1、y2以关于x的函数关系式；
（2）求：当x为何值时，在甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱？
（3）①若小王花费90元，则最多可以购买 35 千克苹果；
②若小王购买24千克苹果，两家对比，可节省 4 元．
【分析】（1）根据“甲批发店每千克苹果的价格为3元，乙批发店为了吸引顾客制定如下方案：若一次性购买不超过10千克时，价格为4元，超过10千克时，超过部分的价格为2元/千克”，可以写出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）根据（1）中的函数关系式列方程解答即可；
（3）①把y＝90代入相关函数关系式解答即可；②把x＝24代入相关函数关系式解答即可．
【解答】解：（1）由题意，得y1＝3x；
当0＜x≤10时，y2＝4x，当x＞10时，y2＝10×4+（x﹣10）×2＝2x+20，
∴y2＝；
（2）根据题意，得3x＝2x+20，解得x＝20，
答：当x为20时，在甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱；
（3）①若小王花费90元，则小王在甲批发店购买能购买30千克苹果，在乙批发店购买能购买苹果：（90﹣20）÷2＝35（千克）；
故最多可以购买35千克苹果；
②当x＝24时，小王在甲批发店购买需要花费：24×3＝72（元）；在乙批发店购买需要花费：2×24+20＝68（元），
72﹣68＝4（元），
即两家对比，可节省4元．
故答案为：①35；②4．
20．（9分）阅读下面村料，并按要求完成相应的任务：
阿基米德是古希腊的数学家、物理学家．在《阿基米德全集》里，他关于圆的引理的论证如下：
命题：设AB是一个半圆的直径，并且过点B的切线与过该半圆上的任意一点D的切线交于点T，如果作DE垂直AB于点E，且与AT交于点F，则DF＝EF．
证明：如图①，延长AD与BT交于点H，连接OD，OT．
∵DT，BT与⊙O相切
∴……，①
∴BT＝DT
∵AB是半⊙O的直径，∠ADB＝90°，②
在△BDH中，BT＝DT，得到∠TDB＝∠TBD，
可得∠H＝∠TDH，
∴BT＝DT＝HT．
又∵DE∥BH，
∴，
∴
又∵BT＝HT，∴DF＝EF．
任务：
（1）请将①部分证明补充完整；
（2）证明过程中②的证明依据是 直径所对的圆周角是直角 ；
（3）如图②，△BED是等边三角形，BE是⊙O的切线，切点是B，D在⊙O上，CD⊥AB，垂足为C，连接AE，交CD于点F，若⊙O的半径为2，求CE的长．
【分析】（1）连接OD，OT，全等三角形的判定定理HL，即可得到结论；
（2）由圆周角定理可得答案；
（3）连接OD，CE，根据等边三角形的性质与判定及切线的性质得△ODA为等边三角形，再由直角三角形的性质及勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）如图，连接OD，OT，
∴∠ODT＝∠OBT＝90°，
在Rt△ODT和Rt△OBT中，，
∴Rt△ODT≌Rt△OBT（HL）；
（2）直径所对的圆周角是直角；
故答案为：直径所对的圆周角是直角．
（3）如图，连接OD，CE，
∵△BED是等边三角形，
∴∠EBD＝60°，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBA＝90°，
∴∠DBA＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵OD＝OA，
∴△ODA为等边三角形，
∵OD＝2，CD⊥AB，
∴OC＝OA＝1，DC＝，
∴＝BE，
∵OB＝2
∴BC＝3，
在Rt△EBC中，由勾股定理得，
CE＝．
21．（10分）平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．
（1）直接写出A点坐标；
（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数表达式，并写出函数y随x增犬而增大时x的取值范围；
（3）当x≥0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）图象最低点到直线y＝2a的距离为3，求a的值．
【分析】（1）当x＝0时，代入y＝x2﹣2ax﹣1，即可得出结果；
（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得a＝﹣1，则函数的表达式为y＝x2+2x﹣1，由y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，得出抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，则当x≥﹣1时，y随x的增大而增大；
（3）当x≥0时，抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为直线x＝a，顶点坐标为（a，﹣a2﹣1），当a＜0时，对称轴在y轴左侧，最低点就是A（0，﹣1），则|2a﹣（﹣1）|＝3，即可得出结果；当a＞0，对称轴在y轴右侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，则2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，即可得出结果；
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，
∴点A的坐标为：（0，﹣1）；
（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，
得：2＝1﹣2a﹣1，
解得：a＝﹣1，
∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1，
∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x≥﹣1时，y随x的增大而增大；
（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1），
当a＜0时，对称轴在y轴左侧，
∵x≥0，
∴最低点就是A（0，﹣1），
如图所示：
∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，
∴|2a﹣（﹣1）|＝3，
解得：a＝﹣2或a＝1（舍去），
当a＞0，对称轴在y轴右侧，
∵x≥0，
∴顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，
如图所示：
∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝3，
整理得：（a+1）2＝3，
解得：a1＝﹣1﹣（不合题意舍去），a2＝﹣1+；
综上所述，a的值为﹣2或﹣1+；
22．（10分）数学活动课上，张老师引导同学们进行如下探究．如图①，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图②是示意图．
活动一：如图③，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合．
数学思考
（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．求y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．
活动二：（2）①列表：直接写出m，n的值．
x（cm）
6
5
4
3.5
3
2.5
2
1
0.5
0
y（cm）
0
0.55
1.2
1.58
m
2.47
3
4.29
5.08
n
②描点：根据表中数值，请在如图中继续描出①中剩余的两个点．
③连线：在如图所示的平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你继续在同一坐标系中画出所需函数图象，并结合图象直接写出BG＞2CD时，线段CD的取值范围 0＜CD＜1.7 ．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）①利用函数关系式计算即可．
②描出点（0，6），（3，2）即可．
③由平滑的曲线画出该函数的图象即可．
（3）画出函数y＝2x与y＝（0≤x≤6）的图象，确定交点的横坐标，可得结论．
【解答】解：（1）①如图3中，由题意AC＝OA＝AB＝6（cm），
∵CD＝xcm，
∴AD＝（6+x）（cm），BD＝12﹣（6+x）＝（6﹣x）（cm），
∵OA⊥OF，BG⊥OF，
∴BG∥OA，
∴＝，
∴＝，
∴y＝（0≤x≤6），
（2）①当x＝3时，y＝2，当x＝0时，y＝6，
故m＝2，n＝6．
②点（0，6），点（3，2）如图所示．
③函数图象如图所示．
（3）函数y＝2x与y＝的交点的横坐标约为1.7，
∴满足BG＞2CD的，CD的取值范围为0＜CD＜1.7．
故答案为：0＜CD＜1.7．
23．（11分）在等边三角形ABC中，AB＝4，D为AB的中点．连接CD，E，F分别为BC，CD的中点，将△CEF绕点C逆时针旋转，记旋转角为α，直线DF和直线BE交于点G．
（1）如图1，线段DF和线段BE的数量关系是 DF＝BE ，直线DF与直线BE相交所成的较小角的度数是 30° ．
（2）将图1中的△CEF绕点C逆时针旋转到图2所示位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当以点C，F，E，G为顶点的四边形是矩形时，请直接写出DF的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得Rt△BCD，根据含30°角的直角三角形的性质以及三角形中位线定理即可求解；
（2）由（1）的结论以及旋转的性质证明△DCF∽△BCE，根据相似三角形的性质即可得出结论；
（3）当以点C，F，E，G为顶点的四边形是矩形时，分两种情况讨论，根据矩形的性质以及勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点．
∴∠DCB＝30°，∠CDB＝90°，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∴∠CFE＝90°，
∴，
∴DF＝BE，
由图得：直线DF与直线BE相交所成的较小角的度数是30°，
故答案为：DF＝BE，30°；
（2）（1）中的结论仍然成立．
证明：设DG交BC于点H，
∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点．
∴∠DCB＝30°，∠CDB＝90°，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∴∠CFE＝90°，
∴cos∠DCB＝，
∵△CEF绕点C逆时针旋转，
∴∠EFC＝90°，∠FCE＝30°，
∴cos∠FCE＝＝，
∴，
∵∠DCB＝∠FCE，
∴△DCF∽△BCE，
∴，∠CDF＝∠CBG，
∵∠DHC＝∠BHG，
∴∠G＝∠DCB＝30°，
∴DF＝BE，∠G＝30°；
（3）分两种情况：
①当点E在线段BG上时，
∵四边形CFEG是矩形，
∴CG＝EF，∠CGE＝90°，
∵AB＝4，
∴BC＝4，CG＝EF＝BD＝AB＝1，
由（2）知：∠FGE＝30°，
∴EG＝，
在Rt△BCG中，BG＝＝，
∴BE＝BG﹣EG＝﹣，
∴DF＝BE＝＝；
②当点E在线段BG的延长线上时，
同①，BE＝BG+EG＝+，
∴DF＝BE＝＝；
综上，DF的长为或．
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