数学第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组同步达标检测题

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（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
二．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
三．解二元一次方程
二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
四．二元一次方程组的定义
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
五．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
六．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
一．二元一次方程的定义（共2小题）
1．（2021春•浦东新区期末）在下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A．x2+y＝3B．2x＝yC．xy＝2D．2x+y＝z﹣1
【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案．
【解答】解：A、该方程中未知数的最高次数是2，不属于二元一次方程，故不符合题意．
B、该方程符合二元一次方程的定义，故符合题意．
C、该方程含有未知数的项最高次数是2，不属于二元一次方程，故不符合题意．
D、该方程中含有3个未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型．
2．（2021春•奉贤区期末）观察下列方程其中是二元一次方程是（ ）
A．5x﹣y＝35B．xy＝16
C．2x2﹣1＝0D．3z﹣2（z+1）＝6
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【解答】解：A、该方程符合二元一次方程的定义，符合题意．
B、该方程是二元二次方程，不符合题意．
C、该方程是一元二次方程，不符合题意．
D、该方程是一元一次方程，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
二．二元一次方程的解（共2小题）
3．（2021春•萧山区校级期中）下列四组数值是二元一次方程2x﹣y＝6的解的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】把各项中x与y的值代入方程检验即可．
【解答】解：A．把代入方程2x﹣y＝6得：左边＝2﹣4＝﹣2，右边＝6，
∵左边≠右边，
∴不是方程的解，不符合题意；
B．把代入方程2x﹣y＝6得：左边＝8﹣2＝6，右边＝6，
∵左边＝右边，
∴是方程的解，符合题意；
C．把代入方程2x﹣y＝6得：左边＝4﹣4＝0，右边＝6，
∵左边≠右边，
∴不是方程的解，不符合题意；
D．把代入方程2x﹣y＝6得：左边＝4﹣3＝1，右边＝6，
∵左边≠右边，
∴不是方程的解，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．（2021春•浦东新区校级期末）已知是方程2x﹣ky＝5的解，那么k＝ ．
【分析】将代入2x﹣ky＝5即可求k的值．
【解答】解：将代入2x﹣ky＝5，可得
3×2+3k＝5，
∴k＝﹣，
故答案为﹣．
【点评】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解与方程的关系，并能准确代入求值是解题的关键．
三．解二元一次方程（共2小题）
5．（2021春•闵行区期末）将方程4x﹣3y＝5变形为用含y的式子表示x，那么x＝ ．
【分析】把y看作已知数求出x即可．
【解答】解：方程4x﹣3y＝5，
移项，得4x＝3y+5，
解得：x＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看作已知数求出x．
6．（2021春•普陀区期末）将方程x+2y＝11变形为用含x的式子表示y，下列变形中正确的是（ ）
A．y＝B．y＝C．x＝2y﹣11D．x＝11﹣2y
【分析】根据等式的性质即可求出答案．
【解答】解：x+2y＝11，
2y＝11﹣x，
∴y＝．
故选：B．
【点评】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．
四．二元一次方程组的定义（共2小题）
7．（2021春•浦东新区期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行判断，即
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
【解答】解：A、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意
B、该方程组中的第一个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；
D、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点．
8．（2021春•松江区期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行判断，即①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
【解答】解：A、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B、该方程组的第一个方程是分式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；
D、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点．
五．二元一次方程组的解（共3小题）
9．（2020春•恩平市期末）以为解的二元一次方程组是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把代入各方程组检验即可．
【解答】解：方程组，
①+②得：2x＝2，即x＝1，
①﹣②得：2y＝﹣2，即y＝﹣1，
则以为解的二元一次方程组是．
故选：D．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
10．（2021春•杨浦区期末）方程组的解的情况是（ ）
A．B．C．无解D．无数组解
【分析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．
【解答】解：观察方程组，
发现第一个方程可以变形为10x﹣y＝35，
显然该方程组有无数组解．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解．解题的关键是注意观察两个方程的未知数的系数之间的关系．
11．（2018春•宝山区期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，求a的取值范围．
【分析】把a看做已知数表示出方程组的解，代入已知不等式求出a的范围即可．
【解答】解：方程组，
解得：，
∴x+y＝1+a，
∵x+y＜2，
∴1+a＜2，
解得：a＜4．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
六．解二元一次方程组（共7小题）
12．（2021秋•普陀区校级月考）对于两个一元多项式（含字母x）来说，当未知数x任取同一个数值时，如果它们所得的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式（含字母x）恒等．
如：如果两个一元多项式x+2与ax+b（a、b是常数）是恒等的，那么a＝1，b＝2．
请完成下列练习：
（1）多项式ax4﹣1与bx2+cx+1具备什么条件时，这两个多项式恒等？
（2）如果多项式（a+b）x3+3x2+1与1+x2+10x3恒等，试求a、b的值．
【分析】（1）通过观察两个多项式，当x＝0时，两个多项式的值分别为1或﹣1，由此可求解；
（2）根据多项式恒等的条件列方程组求解．
【解答】解：（1）当x＝0时，ax4﹣1＝﹣1，
当x＝0时，bx2+cx+1＝1，
∴多项式ax4﹣1与bx2+cx+1不可能恒等；
（2）由题意可得，
解得：，
∴a的值是8，b的值是2．
【点评】本题考查解二元一次方程组，理解恒等多项式的条件，掌握解二元一次方程组的步骤是解题关键．
13．（2021春•浦东新区校级期末）解方程组：．
【分析】整理后②﹣①即可求出x＝1，把x＝1代入①得出2﹣2y＝3，再求出y即可．
【解答】解：整理，得，
②﹣①，得x＝1，
把x＝1代入①，得2﹣2y＝3，
解得：y＝﹣0.5，
所以方程组的解是．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
14．（2021春•浦东新区期末）定义一种新运算“⊕”，规定：x⊕y＝ax+by，其中a，b为常数，已知1⊕2＝7，2⊕（﹣1）＝4，则a⊕b＝ 13 ．
【分析】根据题意得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，再求出答案即可．
【解答】解：∵1⊕2＝7，2⊕（﹣1）＝4，
∴，
解得：a＝3，b＝2，
∴a⊕b＝3⊕2＝3×3+2×2＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出a、b的值是解此题的关键．
15．（2021春•闵行区期末）解方程组：．
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组．
【解答】解：整理可得，
②×2，可得：4x﹣2y＝72③，
③+①，可得：7x＝84，
解得：x＝12，
把x＝12代入②，可得：24﹣y＝36，
解得：y＝﹣12，
∴方程组的解为．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，掌握消元法（代入消元法和加减消元法）解方程组的步骤是解题关键．
16．（2021春•闵行区期中）（1）解方程组：；
（2）解方程组：．
【分析】（1）先由②得x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，则解方程组和即可；
（2）设＝m，＝n，将原方程组可化为，解得，则解方程组即可得到，再对解进行检验即可．
【解答】解：（1）由②得，x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，
∴或，
解得或，
∴原方程组的解是或；
（2）设＝m，＝n，
∴原方程组可化为，
解得，
∴，即，
解得，
经检验，是原方程组的解，
∴原方程组的解为．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，灵活应用换元法解方程组是解题的关键．
17．（2016春•浦东新区期末）已知m、n满足＝＝2，求m、n的值．
【分析】根据已知条件得到方程组，然后利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：由题意得，
整理得
由①﹣②×2，得9n＝﹣18．
解得n＝﹣2，
把n＝﹣2代入②，得m＝8，
所以这个方程组的解是．
【点评】本题考查了解二元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把方程组的问题转化为一元一次方程的问题．
18．（2014春•闵行区期中）解方程组：．
【分析】方程组利用换元法变形后，求出解即可．
【解答】解：设＝a，＝b，
方程组变形得：，
解得：，
代入得：，
解得：，
经检验是原方程组的解．
【点评】此题考查了解二元一次方程，利用了换元的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
七．二元一次方程组的应用（共1小题）
19．（2021秋•福田区校级期末）目前节能灯在城市已基本普及，某商场计划购进甲、乙两种型号的节能灯共600只，这两种型号的节能灯的进价、售价如表：
（1）要使进货款恰好为23000元，甲、乙两种节能灯应各进多少只？
（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%，此时利润为多少元？
【分析】（1）设商场购进甲型节能灯x只，购进乙型节能灯y只，由题意：某商场计划购进甲、乙两种型号的节能灯共600只，进货款恰好为23000元，列出方程组，解之即可；
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（600﹣a）只，由题意：商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%，列出一元一次方程，进而求解即可．
【解答】解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，购进乙型节能灯y只，
由题意，得：，
解得：，
答：购进甲型节能灯200只，购进乙型节能灯400只．
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（600﹣a）只，
由题意，得：（30﹣25）a+（60﹣45）（600﹣a）＝[25a+45（600﹣a）]×30%，
解得：a＝225，
购进乙型节能灯600﹣225＝375（只），
则5×225+15×375＝6750（元），
答：商场购进甲型节能灯225只，购进乙型节能灯375只，此时利润为6750元．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找出等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出等量关系，列出一元一次方程．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共3小题）
1．（2020春•普陀区期末）下列方程中，二元一次方程是（ ）
A．2x+1＝0B．x2+y＝2C．2x﹣y＝1D．x﹣y+z＝1
【分析】二元一次方程满足的条件：整式方程；含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1．
【解答】解：A、只含有1个未知数，不符合二元一次方程的定义；
B、未知数的最高次项的次数是2，不符合二元一次方程的定义；
C、符合二元一次方程的定义；
D、有3个未知数，不符合二元一次方程的定义．
故选：C．
【点评】主要考查二元一次方程的概念．要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程．
2．（2020春•营山县期末）二元一次方程3x+2y＝12的解可以是（ ）
A．B．C．D．
【分析】将x＝0代入方程求出y的值，判断所求值与各选项中对应的y的值是否一致，从而得出答案．
【解答】解：A．当x＝0时，2y＝12，解得y＝6，故是方程的解；
B．当x＝3时，9+2y＝12，解得y＝1.5≠3，故不是方程的解；
C．当x＝4时，12+2y＝12，解得y＝0≠2，故不是方程的解；
D．当x＝5时，15+2y＝12，解得y＝﹣1.5≠0，故不是方程的解；
故选：A．
【点评】本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
3．（2021春•金山区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫二元一次方程组可得．
【解答】解：A：方程组含有x2，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
B：方程组含有xy二次，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
C：方程组含有三个未知数，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
D是二元一次方程组．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
二．填空题（共10小题）
4．（2021春•杨浦区期末）二元一次方程3x+y＝8的正整数解是 或 ．
【分析】先整理二元一次方程，根据方程的解为正整数，可用试验的办法确定解的对数．
【解答】解：3x+y＝8，
x＝，
由题意y、x为大于0的正整数，
∴当y＝2时，x＝2；当y＝5时，x＝1；
故答案为：或．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义．理解并运用方程的解为正整数，是解决本题的关键．
5．（2021春•上海期中）将方程2x+5y＝7变形为用含y的式子表示x，那么x＝ ．
【分析】将含y的项移到方程的右边，再两边除以2即可得．
【解答】解：∵2x+5y＝7，
∴2x＝7﹣5y，
∴x＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查解二元一次方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
6．（2020•奉贤区二模）二元一次方程x+2y＝3的正整数解是 ．
【分析】把y看做已知数求出x，即可确定出正整数解．
【解答】解：方程x+2y＝3，
变形得：x＝﹣2y+3，
当y＝1时，x＝1，
则方程的正整数解为，
故答案为：
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看做已知数求出x．
7．（2021•闵行区二模）二元一次方程组的解是 ．
【分析】利用加减消元法即可求解．
【解答】解：，
①+②，得4x＝20，解得x＝5，
把x＝5代入②，得5﹣2y＝5，解得y＝0，
故方程组的解为．
故答案为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8．（2021春•浦东新区期末）将x+2y＝4变形成用含x的式子表示y，那么y＝ 2﹣x ．
【分析】利用等式的性质将等式进行变形求解．
【解答】解：x+2y＝4，
移项，得：2y＝4﹣x，
∴y＝，
故答案为：2﹣x．
【点评】本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
9．（2021春•普陀区期末）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．如果一个二元一次方程的解中两个未知数的绝对值相等，那么我们把这个解称做这个二元一次方程的等模解．二元一次方程2x﹣5y＝7的等模解是 或 ．
【分析】根据新定义得：x与y的绝对值相等，所以x＝y或x＝﹣y，与2x﹣5y＝7联立解方程组即可．
【解答】解：根据题意得：或，
解得：或，
故答案为：：或．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，分两种情况解方程组是本题的关键，注意不要漏解．
10．（2021春•松江区期末）在二元一次方程3x+y＝12的解中，x和y是相反数的解是 ．
【分析】根据x和y是相反数可得x＝﹣y，然后代入原方程求解即可．
【解答】解：∵x和y是相反数，
∴x＝﹣y，
把x＝﹣y代入原方程中，可得：﹣3y+y＝12，
解得：y＝﹣6，
∴x＝6，
∴在二元一次方程3x+y＝12的解中，x和y是相反数的解是，
故答案为：．
【点评】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解和互为相反数的概念是解题关键．
11．（2021春•松江区期末）已知是方程2x+ay＝7的一个解，那么a＝ ﹣1 ．
【分析】根据方程的解的概念将方程的解代入原方程，然后计算求解．
【解答】解：由题意可得：2×3﹣a＝7，
解得：a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查二元一次方程的解和解一元一次方程，理解方程的解的概念是解题关键．
12．（2018春•杨浦区校级月考）已知关于x、y的二元一次方程（m+1）x+（m+2）y+3﹣2m＝0，当m每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为 ．
【分析】把原方程整理得：m（x+y﹣2）+（x+2y+3）＝0，根据“当m每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与m无关，得到关于x和y的二元一次方程组，解之即可．
【解答】解：原方程可整理得：
m（x+y﹣2）+（x+2y+3）＝0，
根据题意得：
，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键．
13．（2021春•黄浦区校级月考）方程组的解是 或 ．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：x2+2x＝3，即（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x＝1或x＝﹣3，
把x＝1代入①得：2﹣y＝0，即y＝2；
把x＝﹣3代入①得：﹣6﹣y＝0，即y＝﹣6，
则方程组的解为或．
故答案为：或．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
三．解答题（共5小题）
14．（2020春•普陀区期末）解方程组：．
【分析】利用加减消元法求解可得．
【解答】解：，
①×2，得：2x﹣2y＝2 ③，
②+③，得：5x＝7，
解得x＝，
将x＝代入①，得：﹣y＝1，
解得y＝，
所以方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
15．（2020春•浦东新区期末）解方程组：．
【分析】，（1）+（2）得出4x＝16，求出x，把x的值代入（1）求出y即可．
【解答】解：（1）+（2）得：4x＝16，
解得：x＝4，
把x＝4代入（1）得：4﹣2y＝6，
解得：y＝﹣1，
所以原方程组的解为：
【点评】本题考查了解二元一次方程组的应用，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
16．（2018春•杨浦区校级月考）试求方程组的解．
【分析】把第二个方程代入第一个方程消去x，求出y的值，进而确定出x的值，即可确定出方程组的解．
【解答】解：，
由②得：y﹣6≥0，即y≥6③，
把③代入①得：|x﹣2|＝7﹣y+5④，
由②④得：7﹣y+5＝y﹣6，
解得：y＝9，即|x﹣2|＝9﹣6＝3，
解得：x＝﹣1或x＝5，
则方程组的解为或．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
17．（2021春•浦东新区期末）解方程组：．
【分析】①+②×2得出7x＝10，求出x，再把x＝代入②求出y即可．
【解答】解：，
①+②×2，得7x＝10，
解得：x＝，
把x＝代入②，得+y＝2，
解得：y＝﹣，
所以方程组的解是．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
18．（2021春•嘉定区期末）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求解．
【解答】解：，
①×2+②可得：5x﹣7＝0，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故方程组的解为．
【点评】本题考查解二元一次方程组的方法，解题的关键是用加减消元法．
题组B 能力提升练
一．选择题（共2小题）
1．（2021春•萧山区期中）已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意①+②得x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0，然后根据题意列出方程组即可求得公共解．
【解答】解：①+②得，
x+my+mx﹣y＝9+m
x﹣y﹣9+mx+my﹣m＝0
x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0
根据题意，这些方程有一个公共解，与m的取值无关，
解得
所以这个公共解为
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是利用筛选法解二元一次方程组．
2．（2015•下城区一模）已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：
①﹣3＜a≤1；
②当时，x＝y；
③当a＝﹣2时，方程组的解也是方程x+y＝5+a的解；
④若x≤1，则y≥2．
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②③④
【分析】用加减法解出方程组，根据方程组的解对各个选项进行判断即可．
【解答】解：
①+②得，x＝3+a，
①﹣②得，y＝﹣2a﹣2，
①由题意得，3+a＞0，a＞﹣3，
﹣2a﹣2≥0，a≤﹣1，
∴﹣3＜a≤﹣1，①不正确；
②3+a＝﹣2a﹣2，a＝﹣，②正确；
③a＝﹣2时，x+y＝1﹣a＝3，5+a＝3，③正确；
④x≤1时，﹣3＜a≤﹣2，则4＞﹣2a﹣2≥2，④错．
故选：B．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法，正确解出方程组是解题的关键，注意方程与不等式的综合运用．
二．填空题（共7小题）
3．（2020春•普陀区期末）方程2x+y＝3的正整数解是 ．
【分析】把x看做已知数求出y，即可确定出正整数解．
【解答】解：方程整理得：y＝3﹣2x，
当x＝1时，y＝1，
则方程的正整数解为，
故答案为：
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
4．（2019春•奉贤区期末）已知是方程2x+ky＝1的一个解，那么k 的值是 ﹣1 ．
【分析】根据方程的解满足方程，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由题意，得
﹣2﹣3k＝1，
解得k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于k的方程是解题关键．
5．（2018春•普陀区期末）把方程x2+4xy﹣5y2＝0化为两个二元一次方程，它们是 x+5y＝0 和 x﹣y＝0 ．
【分析】先把方程x2+4xy﹣5y2＝0左边分解得到（x+5y）（x﹣y）＝0，则原方程可转化为x+5y＝0或x﹣y＝0．
【解答】解：∵x2+4xy﹣5y2＝0，
∴（x+5y）（x﹣y）＝0，
∴x+5y＝0或x﹣y＝0，
故答案为：x+5y＝0和 x﹣y＝0．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法：通常利用换元法或因式分解法把高次方程化为一元二次方程求解．
6．（2017春•浦东新区期中）如果将方程4x﹣5y＝15变形为用含有x的式子表示y，那么y＝ ．
【分析】把x看做已知数求出y即可．
【解答】解：方程4x﹣5y＝15，
解得：y＝，
故答案为：
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
7．（2017春•浦东新区校级月考）已知关于x、y的方程2x2m+yn﹣1＝1是二元一次方程，那么mn＝ ．
【分析】依据二元一次方程的定义列方程求得m、n的值，然后再代入计算即可．
【解答】解：∵关于x、y的方程2x2m+yn﹣1＝1是二元一次方程，
∴2m＝1，n﹣1＝1，解得m＝，n＝2．
∴mn＝××2＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是二元一次方程的定义，求得m、n的值是解题的关键．
8．（2016•浦东新区二模）定义运算“*”：规定x*y＝ax+by（其中a、b为常数），若1*1＝3，1*（﹣1）＝1，则1*2＝ 4 ．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简为二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出所求式子的值．
【解答】解：根据题中的新定义得：，
解得：，
则1*2＝1×2+2×1＝2+2＝4，
故答案为：4
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2021春•海淀区校级期末）已知方程组的解是，则方程组的解是 ．
【分析】根据二元一次方程组的解确定变形后方程组的解即可．
【解答】解：方程组转化为；
∴由恒等式意义，得

∴x＝3，y＝9
∴方程组的解为
故答案为
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是整体和转化思想的运用．
三．解答题（共5小题）
10．（2019春•浦东新区期末）解方程组：．
【分析】根据题干，先把第一个方程变形为x＝3y+5，再把这个x代入第二个方程，即可消去未知数x，从而求出y的值，再把求得的y的值代入x＝3y+5，求出x的值即可．
【解答】解：
方程①变形为：x＝3y+5③，
把方程③代入②可得：3（3y+5）+4y﹣2＝0，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入③可得：x＝2，
则这个方程组的解是．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
11．（2018春•浦东新区期末）解方程组：
【分析】根据二元一次方程组即可求出答案．
【解答】解：①+②得：9x﹣33＝0
x＝
把x＝代入①，得y＝
∴方程组的解是
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
12．（2021春•金乡县期末）阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足2m＝8+n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，6）哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点C（a，﹣8）也是“爱心点”，请求出a的值；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值．
【分析】（1）根据“爱心点”的定义，列出方程组计算即可求解；
（2）根据“爱心点”的定义，可得方程组，先求得n，再求得m，进一步得到a的值；
（3）解方程组用q和p表示x和y，代入2m＝8+n，得到关于p和q的等式，再根据p，q为有理数，求出p，q的值．
【解答】解：（1）点A是爱心点，点B不是爱心点，理由如下：
∵，
∴，
∵2×6＝8+4，
∴点A是爱心点；
∵，
∴，
∵2×5≠8+10，
∴点B不是爱心点；
（2）∵点C为爱心点，
∴，
∴n＝﹣18，
又∵2m＝8+n，
∴2m＝8+（﹣18），
解得m＝﹣5，
∴﹣5﹣1＝a，即a＝﹣6；
（3）解方程组得 ，
又∵点B是爱心点满足：，
∴，
∵2m＝8+n，
∴2 p﹣2q+2＝8+4q﹣2，
整理得：2 p﹣6q＝4，
∵p，q是有理数，
∴p＝0，﹣6q＝4，
∴p＝0，q＝﹣．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，考查了阅读理解能力及迁移运用能力，根据爱心点的定义列出方程组是解题的关键．
13．（2021春•姑苏区期末）阅读以下内容：
已知实数m，n满足m+n＝5，且求k的值，
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值、
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值
丙同学：先解方程组，再求k的值
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题
（2）试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，x+y的值始终不变．
【分析】（1）①+②可得17（m+n）＝11k﹣3，因为m+n＝5，整体代入求出k即可；
（2）①×3+②消去a即可判断；
【解答】解：（1），
①+②得到，17（m+n）＝11k﹣3，
∵m+n＝5，
∴17×5＝11k﹣3
解得k＝8．
（2）
①×3+②得到：4x+4y＝12，
∴x+y＝3，
∴不论a取什么实数，x+y的值始终不变．
【点评】本题考查二元一次方程组，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用整体的思想考虑问题，属于中考常考题型．
14．（2018春•石阡县期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③
把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1
把y＝﹣1代入①得x＝4，
∴方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2与xy的值．
【分析】（1）将方程②变形：3x+6x﹣4y＝19即3x+2（3x﹣2y）＝19③把方程①代入③得：3x+10＝19，可得x＝3，再代入①求出y即可；
（2）①+2×②得到，7x2+28y2＝119，可得x2+4y2＝17，再利用整体代入法求出xy即可；
【解答】解：（1）将方程②变形：3x+6x﹣4y＝19即3x+2（3x﹣2y）＝19③
把方程①代入③得：3x+10＝19，∴x＝3
把x＝3代入①得y＝2，
∴方程组的解为．
（2）①+2×②得到，7x2+28y2＝119，
∴x2+4y2＝17，
由①得到3（x2+4y2）﹣2xy＝47，
∴51﹣2xy＝47
∴xy＝2．
【点评】本题考查解二元一次方程组等知识，解题的关键是学会用整体代入法解决问题，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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