华师大版九年级上册21.1 二次根式导学案及答案

这是一份华师大版九年级上册21.1 二次根式导学案及答案，共35页。学案主要包含了分式，根式等内容，欢迎下载使用。

考点03 分式与二次根式

一、分式
1．分式的定义
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．
【注意】①若B≠0，则有意义；
②若B=0，则无意义；
③若A=0且B≠0，则＝0．
2．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
3．约分及约分法则
（1）约分
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
（2）约分法则
把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．
【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．
4．最简分式
分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
5．通分及通分法则
（1）通分
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
（2）通分法则
把两个或者几个分式通分：
①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；
②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．
【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
6．最简公分母
几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
7．分式的运算
（1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．
用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
（2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
用式子表示为：．
（3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
（4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．
用式子表示为：为正整数，．
（5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
二、根式
1．二次根式的有关概念
（1）二次根式的概念
形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
【注意】被开方数只能是非负数．即要使二次根式有意义，则a≥0．
（2）最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
（3）同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质
（1）≥ 0（≥0）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
3．二次根式的运算
（1）二次根式的加减
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）二次根式的乘除
乘法法则：；
除法法则：．
（3）二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．
在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．

考向一 分式的有关概念
1．分式的三要素：
（1）形如的式子；
（2）均为整式；学科!网
（3）分母中含有字母．
2．分式的意义：
（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即．
（2）无意义的条件是分母为0．
（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．

典例1 要使式子有意义，x的取值范围是
A．x≠1 B．x≠0
C．x＞﹣1且≠0 D．x≥﹣1且x≠0
【答案】D
【解析】根据题意得：，解得：x≥-1且x≠0．故选：D．

1．若分式在实数范围内无意义，则x的取值范围是
A．x≠1 B．x=1
C．x=0 D．x＞1
考向二 分式的基本性质
分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：
（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；
（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．

典例2 分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为
A．扩大为原来2倍 B．缩小为原来的倍
C．不变 D．缩小为原来的倍
【答案】B

【名师点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识．这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论．对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论．因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意．

2．不改变分式的值，下列变形正确的是
A． B．
C． D．
考向三 分式的化简与求值
约分与通分的区别与联系：
1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；
2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；
3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．

典例3 把分式，，的分母化为x2-y2后，各分式的分子之和是
A．x2＋y2＋2 B．x2＋y2-x＋y＋2
C．x2＋2xy−y2＋2 D．x2−2xy＋y2＋2
【答案】C
【解析】由平方差公式将x2−y2可化简为(x+y)(x−y)，
故将的分母化为x2−y2后可得，
将的分母化为x2−y2后可得，
所以分式的,,的分母化为x2−y2后,各分式的分子之和为
x(x+y)+y(x-y)+2，展开得x2+xy+xy−y2+2合并同类项,得x2+2xy−y2+2，
故选C.
【名师点睛】本题考查了最简公分母，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．求最简公分母的方法是：
（i）将各个分母分解因式；
（ii）找各分母系数的最小公倍数；
（iii）找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的.
满足（ii）（iii）的因式之积即为各分式的最简公分母．

3．下列分式中，是最简分式的是
A． B．
C． D．
考向四 分式的运算
（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．
（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．
（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．
（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．

典例4 计算(1－)÷的结果是
A．x－1 B．
C． D．
【答案】B
【解析】原式=（−）÷=. •=，
故选B．

4．先化简，再求值：，其中x=4．
考向五 二次根式的概念与性质
1．二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．
2．利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．

典例5 下列各式：
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥．
其中一定是二次根式的有
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
【答案】B


5．使有意义的的取值范围是
A． B．
C． D．

典例6 下列二次根式是最简二次根式的是
A． B．
C． D．
【答案】C


6．下列二次根式；5；；；；．其中是最简二次根式的有
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
考向六 二次根式的运算
1．二次根式的运算
（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．
（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．
（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）．
2．比较分式与二次根式的大小
（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较；
（2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较．

典例7 下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A、原式=2=，正确；
B、原式==，错误；
C、为最简结果，错误；
D、原式==2，错误，
故选：A．

7．已知，，则=_____________．

典例8 比较大小：______5（填“＞，＜，=”）．
【答案】＞
【解析】因为，28＞25，所以＞5．
【名师点睛】比较二次根式的大小，可以转化为比较被开方数的大小，也可以将两个数平方，计算出结果，再比较大小．

8．设a＝－，b＝－1，c＝，则a，b，c之间的大小关系是
A．c＞b＞a B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．a＞b＞c


1．下列根式中属于最简二次根式的是
A． B．
C． D．
2．若分式的值为0，则x的值是
A．2或﹣2 B．2
C．﹣2 D．0
3．如果把分式中的和都扩大2倍，则分式的值
A．扩大4倍 B．扩大2倍
C．不变 D．缩小2倍
4．下列二次根式中，不能与合并的是
A． B．
C． D．
5．下列关于分式的判断，正确的是
A．当x=2时，的值为零
B．当x≠3时，有意义
C．无论x为何值，不可能得整数值
D．无论x为何值，的值总为正数
6．若x、y为实数，且，则的值为
A．2 B．−2
C．1 D．−1
7．若最简二次根式的被开方数相同，则a的值为
A．1 B．2
C． D．
8．下列运算中，错误的是
A． B．=−1
C．=−1 D．=a
9．已知 ，则 化简的结果是
A． B．
C． D．
10．下列分式是最简分式的是
A． B．
C． D．
11．若分式的值为0，则x的值为
A．1 B．−1
C．±1 D．无解
12．化简：的结果是
A．2 B．
C． D．
13．若x、y满足，则的值等于
A． B．
C． D．
14．已知，则的值为
A． B．
C． D．不确定
15．计算：＝_____________．
16．当x=_____________时，分式的值为零．
17．比较大小：2____________．（填“＞、＜、或=”）
18．当a=2时，分式的值是_____________．
19．已知a，b互为倒数，代数式÷的值为_____________．
20．已知，则的值为_____________．
21．计算：（1）|1−|−+（2018−π）0；
（2）（）+（2+）（2-）．








22．先化简，再求值：，其中，．





23．先化简，再求值：，其中，．







24．先化简，再求值：，其中m为一元二次方程的根．









1．（2018·德阳市）下列计算或运算中，正确的是
A． B．
C． D．
2．（2018·兰州市）下列二次根式中，是最简二次根式的是
A． B．
C． D．
3．（2018·绥化市）若有意义，则x的取值范围是
A．且 B．
C． D．
4．（2018·绥化市）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
5．（2018·曲靖市）下列二次根式中能与2合并的是
A． B．
C． D．
6．（2018·上海市）下列计算﹣的结果是
A．4 B．3
C．2 D．
7．（2018·日照市）计算：（）−1+tan30°•sin60°=
A．﹣ B．2
C． D．
8．（2018·莱芜市）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是
A． B．
C． D．
9．（2018·陇南市）使得代数式有意义的x的取值范围是____________．
10．（2018·毕节市）观察下列运算过程：


……
请运用上面的运算方法计算：
=____________．
11．（2018·益阳市）____________．
12．（2018·莱芜市）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是和2，则图中阴影部分的面积是____________．

13．（2018·镇江市）计算：=____________．
14．（2018·梧州市）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是____________．
15．（2018·巴彦淖尔市）化简+÷的结果是____________．
16．（2018·绥化市）当时，代数式的值是____________．
17．（2018·大连市）计算：（ +2）2﹣+.







18．（2018·百色市）已知a2=19，求的值．







19．（2018·福建省b卷）先化简，再求值：，其中m=+1．








20．（2018·锦州市）先化简，再求值： .








21．（2018·毕节市）先化简，再求值：，其中a是方程a2+a﹣6=0的解．







22．（2018·兰州市）计算：.









23．（2018·甘孜州）（1）计算：；
（2）化简：.






24．（2018·益阳市）化简：.







25．（2018·莱芜市）先化简，再求值：，其中a=+1．








26．（2018·曲靖市）先化简，再求值（﹣）÷，其中a，b满足a+b﹣=0．








27．（2018·梧州市）解不等式组，并求出它的整数解，再化简代数式•（﹣），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值．







28．（2018·抚顺市）先化简，再求值：（1﹣x+）÷，其中x=tan45°+（）−1．











变式拓展

1．【答案】B
【解析】∵分式在实数范围内无意义，
∴1﹣x=0，即x=1，
故选：B．

3．【答案】D
【解析】A、＝，错误；
B、＝，错误；
C、＝，错误；
D、是最简分式，正确．
故选D．
4．【答案】；.
【解析】
=
=
=，
当x=4时，原式=．
5．【答案】B
【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件知，要使在实数范围内有意义，必须．故选B．
6．【答案】B
【解析】，
，
，
∴、、是最简二次根式.
故选：B.

8．【答案】D
【解析】a=－=（−1），b=−1，c===×（−1），
∵＞1＞，∴a＞b＞c．故选D．
考点冲关

1．【答案】A
【解析】A、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
B、该二次根式的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数4，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；
D、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数9，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；
故选A．
【名师点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．【答案】A
【解析】∵分式的值为0，
∴x2﹣4=0，
解得：x=2或﹣2．
故选：A．
3．【答案】B
【解析】把分式中的和都扩大2倍，则，故选B．

5．【答案】D
【解析】A选项：当x=2时，该分式的分母，该分式无意义，故A选项错误．
B选项：当x=0时，该分式的分母为零，该分式无意义．显然，x=0满足x≠3．由此可见，当x≠3时，该分式不一定有意义，故B选项错误．
C选项：当x=0时，该分式的值为3，即当x=0时该分式的值为整数，故C选项错误．
D选项：无论x为何值，该分式的分母x2+1>0，该分式的分子3>0．由此可知，无论x为何值，该分式的值总为正数，故D选项正确．
故本题应选D．
【名师点睛】本题考查了与分式概念相关的知识．分式有意义的条件是分式的分母不等于零，并不是分母中的x的值不等于零．分式的值为零的条件是分式的分母不等于零且分式的分子等于零．在分式整体的符号为正的情况下，分式值的符号由分子与分母的符号共同确定：若分子与分母同号，则分式值为正数；若分子与分母异号，则分式值为负数．
6．【答案】D
【解析】由非负数的性质可得：x+2=0，y−2=0，即x=−2，y=2，
∴=（−1）2019=−1．
故选C．
7．【答案】D
【解析】，故选D．
8．【答案】D
【解析】A．，正确，故不符合题意；
B．=−1，正确，故不符合题意；
C．=−1，正确，故不符合题意；
D．=|a|，错误，故符合题意．
故选D．
9．【答案】B
【解析】∵x＜1，∴x-1＜0，∴=|x-1|=1-x．故选：B．
10．【答案】C
【解析】A选项：化简该分式，得，故A选项不符合题意．
B选项：化简该分式，得，故B选项不符合题意．
C选项：对该分式的分子进行因式分解，得．由此可见，该分式的分子与分母没有公因式，符合最简分式的定义，故C选项符合题意．
D选项：化简该分式，得，故D选项不符合题意．
故本题应选C．
11．【答案】A
【解析】∵分式的值为0，∴|x|−1=0，且x+1≠0，解得：x=1．故选A．
12．【答案】B
【解析】=（−）•（x−3）=•（x−3）−•（x−3）=1−=．故选B．

15．【答案】
【解析】根据二次根式的乘法法则进行计算可得：，故答案为．
16．【答案】3
【解析】依题意得：3﹣x=0且2x+3≠0．解得x=3，故答案为：3．
17．【答案】＜
【解析】将两式进行平方可得：=12，=18，因为12＜18，所以＜．
18．【答案】
【解析】∵，∴当a=2时，原式=．故本题应填写：．
19．【答案】1
【解析】对待求值的代数式进行化简，得
，
∵a，b互为倒数，∴ab=1，∴原式=1．故本题应填写：1．
20．【答案】
【解析】根据分式的性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变）解答．∵，∴可设，∴，
故答案为：．
21．【答案】（1）-；（2）2-3．
【解析】（1）原式=−1−2+1=−．
（2）原式=3−3+4−5
=2−3．
22．【答案】化简见解析，结果为．
【解析】


，
当，时，原式=．
23．【答案】．
【解析】原式

．
当时，原式=2 −2×4=4  −8．
24．【答案】化简见解析，结果为．
【解析】原式=
=
=
=
=
=．
由m是方程的根，得到，
所以原式=．
【名师点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
直通中考

1．【答案】B
【解析】A、2＝2×，此选项错误；
B、＝3-2＝，此选项正确；
C、，此选项错误；
D、，此选项错误；
故选：B．
2．【答案】B
【解析】A、不是最简二次根式，错误；
B、是最简二次根式，正确；
C、不是最简二次根式，错误；
D、不是最简二次根式，错误，
故选B．
3．【答案】A
【解析】由题意可知：，
解得：且，
故选A．
4．【答案】D
【解析】A. =5a，故A选项错误；
B. 5，故B选项错误；
C. ，故C选项错误；
D. ，故D选项正确，
故选D.
5．【答案】B
【解析】A、＝2，不能与2合并，故该选项错误；
B、能与2合并，故该选项正确；
C、＝3不能与2合并，故该选项错误；
D、＝3不能与2合并，错误；
故选B．
6．【答案】C
【解析】﹣=3﹣=2，故选C．
7．【答案】C
【解析】（）−1+tan30°•sin60°
=2+
=2+
=，
故选C．

9．【答案】x＞3
【解析】∵代数式有意义，
∴x﹣3＞0，
∴x＞3，
∴x的取值范围是x＞3，
故答案为：x＞3．
10．【答案】
【解析】原式=（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）
=（﹣1+﹣+…+﹣）
=．
故答案为．
11．【答案】6
【解析】原式=2×=6．
故答案为：6．
12．【答案】2
【解析】设正三角形的边长为a，则a2×=2，
解得a=2．
则图中阴影部分的面积=2×−2=2．
故答案是2．
13．【答案】2
【解析】==2，故答案为2.
14．【答案】x≥3
【解析】由题意可得：x﹣3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3．
15．【答案】1
【解析】+÷
=
=
=1，
故答案为1.
16．【答案】3
【解析】原式
=
，
当时，原式，
故答案为：3．
17．【答案】
【解析】原式=3+4+4﹣4+=．
18．【答案】
【解析】原式=﹣
=，
∵a2=19，∴原式=﹣=﹣=﹣．
19．【答案】
【解析】
=
=
=，
当m=+1时，原式=．
20．【答案】
【解析】原式= ，
，
，
，
当x=3时，
原式==.
21．【答案】
【解析】
=
=
=，
=，
由a2+a﹣6=0，得a=﹣3或a=2，
∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
∴a=﹣3，
当a=﹣3时，原式=．
22．【答案】．
【解析】45°
=
．

（2）
=x
=x(x+1)x
=x2.
24．【答案】x
【解析】原式=
=
=x．
25．【答案】
【解析】当a=+1时，
原式=
=
=
=
=2.
26．【答案】原式==2
【解析】（﹣）÷
=
=，
由a+b﹣=0，得到a+b=，
则原式==2．
27．【答案】原式=，当x=2，原式=1．
【解析】解不等式 3x﹣6≤x，得：x≤3，
解不等式＜，得：x＞0，
则不等式组的解集为 0＜x≤3，
所以不等式组的整数解为 1、2、3，
原式=•[ ]
=•
=，
∵x≠±3、1，
∴x=2， 则原式=1．
28．【答案】-
【解析】原式=（）÷
=
=，
当x=tan45°+（）−1=1+2=3时，原式=．