2022年高考三轮复习之仿真模拟卷1

这是一份2022年高考三轮复习之仿真模拟卷1，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若复数z满足z＝eq \f(4－2i,i－1)(i为虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A．复数z的虚部为1
B．|z|＝10
C.eq \x\t(z)＝－3＋i
D．复平面内与复数z对应的点在第二象限
答案 C
解析 z＝eq \f(4－2i,i－1)＝eq \f(1,2)(4－2i)(－1－i)＝－3－i.
∴eq \x\t(z)＝－3＋i，A，B，D均不正确．
2．设全集U＝R，集合A＝{x|－1c B．a>c>b C．c>b>a D．b>a>c
答案 D
解析 00)的左、右焦点分别为F1，F2，圆F2与双曲线C的渐近线相切，M是圆F2与双曲线C的一个交点．若eq \(F1M,\s\up6(→))·eq \(F2M,\s\up6(→))＝0，则双曲线C的离心率等于( )
A.eq \r(5) B．2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 A
解析 由题意得F2(c,0)，双曲线的一条渐近线为y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0，所以|MF2|＝r＝eq \f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b.易得点M在双曲线右支上，则|MF1|＝|MF2|＋2a＝b＋2a.又eq \(F1M,\s\up6(→))·eq \(F2M,\s\up6(→))＝0，所以MF1⊥MF2，所以|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，即(b＋2a)2＋b2＝4c2，所以2b2＋4ab＋4a2＝4c2.又c2＝a2＋b2，所以4ab＝2b2,2a＝b.所以e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(5).故选A.
8．若∃x0∈N*，使得9x0≤1，则实数m的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ln 3,ln 2)，＋∞)) B．[4，＋∞)
C．(0，＋∞) D．[6，＋∞)
答案 D
解析 依题意，设x≤eq \f(1,9)(x>0)，两边同时取以e为底的对数得－eq \f(m,x)ln x≤－ln 9，
则mln x≥ln 9·x，(*)
显然x＝1不是(*)的解，
当x＞1时，m≥2ln 3·eq \f(x,ln x)，
令f(x)＝2ln 3·eq \f(x,ln x)，
则f′(x)＝2ln 3·eq \f(ln x－1,ln x2)，
当x∈(1，e)时，f′(x)＜0；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0，
因为f(2)＝eq \f(4ln 3,ln 2)>f(3)＝6，
所以当x＞1且x∈N*时，f(x)min＝6，
故m≥6，即实数m的取值范围为[6，＋∞)．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．某大学进行强基计划招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙3名同学的排名情况如图(1)(2)所示，则下列叙述正确的是( )
A．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
B．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
C．甲、乙、丙三名同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前
D．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前
答案 AC
解析 由题图可知甲、乙、丙3名同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，但其总成绩排名靠后，所以甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前，所以A，C正确．乙同学的逻辑思维成绩排名中等，而总成绩排名中等靠前，所以乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前，所以B错误．D项无法比较．故选AC.
10．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，c＝eq \r(3)，且2sin(B＋C)cs C
＝1－2cs Asin C，则△ABC的面积可能是( )
A.eq \f(\r(3),4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3)
答案 AC
解析 因为2sin(B＋C)cs C＝1－2cs Asin C，
所以2sin Acs C＝1－2cs Asin C，
即2sin Acs C＋2cs Asin C＝1，
所以2sin(A＋C)＝1，所以2sin B＝1，
所以sin B＝eq \f(1,2).
因为b＜c，所以B＜C，所以角B为锐角，
所以cs B＝eq \r(1－sin2B)＝eq \f(\r(3),2)，
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accs B，
即12＝a2＋(eq \r(3))2－2×a×eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)，
解得a＝1或a＝2.
当a＝1时，△ABC的面积为
S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×1×eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),4)；
当a＝2时，△ABC的面积为
S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),2).
故选AC.
11．已知点A是直线l：x＋y－eq \r(2)＝0上一定点，点P，Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是( )
A．(0，eq \r(2)) B．(1，eq \r(2)－1)
C．(eq \r(2)，0) D．(eq \r(2)－1,1)
答案 AC
解析 如图所示，
坐标原点O到直线l：x＋y－eq \r(2)＝0的距离d＝eq \f(\r(2),\r(12＋12))＝1，则直线l与圆x2＋y2＝1相切，由图可知，当AP，AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值，连接OP，OQ，由于∠PAQ的最大值为90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA|＝eq \r(2)|OP|＝eq \r(2).设A(t，eq \r(2)－t)，由两点间的距离公式得|OA|＝eq \r(t2＋\r(2)－t2)＝eq \r(2)，整理得t2－eq \r(2)t＝0，解得t＝0或t＝eq \r(2)，所以点A的坐标为(0，eq \r(2))或(eq \r(2)，0)．
12．已知函数f(x)对∀x∈R，满足f(x)＝－f(6－x)，f(x＋1)＝f(－x＋1)．若f(a)＝－f(2 020)，a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上为单调函数，则下列结论正确的是( )
A．f(3)＝0
B．a＝8
C．f(x)是周期为4的周期函数
D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 AB
解析 因为f(x)＝－f(6－x)，所以f(3)＝－f(6－3)＝－f(3)，所以f(3)＝0，A正确．由f(x＋1)＝f(－x＋1)，用x代替－x＋1后可得f(x)＝f(2－x)，则f(x)＝－f(6－x)＝f(2－x)．再由x代替2－x后可得f(x)＝－f(x＋4)，则f(x＋4)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，因此函数f(x)是周期为8的周期函数，C不正确．f(a)＝－f(2 020)＝－f(252×8＋4)＝－f(4)＝－f(6－2)＝f(2)＝f(1＋1)＝f(－1＋1)＝f(0)＝f(8)．又a∈[5,9]，且f(x)在[5,9]上为单调函数，所以a＝8，B正确．由f(x＋1)＝f(－x＋1)，得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，D不正确．故选AB.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若(x＋a)(1＋2x)5的展开式中x3的系数为20，则a＝________.
答案 －eq \f(1,4)
解析 由已知得Ceq \\al(2,5)·22＋a·Ceq \\al(3,5)·23＝20，
解得a＝－eq \f(1,4).
14．设曲线y＝eq \f(x＋1,x－1)在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则切线方程为__________，a＝________.
答案 x＋2y－7＝0 －2
解析 因为y′＝eq \f(－2,x－12)，
所以曲线在(3,2)处的切线的斜率为－eq \f(1,2)，
切线方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－3)，
即x＋2y－7＝0.
由题意知－a×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－1，所以a＝－2.
15．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|1，∴q＝2.
∴an＝a2qn－2＝4·2n－2＝2n，n∈N*.
(2)由(1)知an＝2n，
∴bn＝an·lg2an＝2n·n，
∴Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，
∴2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，
∴－Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n×2n＋1
＝eq \f(21－2n,1－2)－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.
∴Tn＝(n－1)2n＋1＋2.
19．(12分)如图，在四棱锥S－ABCD中，SD＝CD＝SC＝2AB＝2BC，平面ABCD⊥底面SDC，AB∥CD，∠ABC＝90°，E是SD的中点．
(1)证明：直线AE∥平面SBC；
(2)点F为线段AS的中点，求二面角F－CD－S的大小．
(1)证明 如图，取SC的中点G，连接BG，EG，
∵EG为△SDC的中位线，
∴EG∥CD，且EG＝eq \f(1,2)CD，
∵AB∥CD，且AB＝eq \f(1,2)CD，
∴EG∥AB，且EG＝AB，
∴四边形AEGB为平行四边形，∴AE∥BG，
∵BG⊂平面SBC，AE⊄平面SBC，∴AE∥平面SBC.
(2)解 设AB＝1，则BC＝1，CD＝2，取CD的中点O，连接AO，SO，如图，
∴CO＝eq \f(1,2)CD＝AB，
∵AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCO为正方形，
∴AO⊥CO，AO⊥CD，
∵平面ABCD⊥平面SDC，平面ABCD∩平面SDC＝CD，AO⊂平面ABCD，
∴AO⊥平面SDC，AO⊥SO，
∵△SDC为正三角形，∴SO⊥CD，
以O为原点，OS所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,1)，
S(eq \r(3)，0,0)，C(0,1,0)，D(0，－1,0)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0，\f(1,2)))，
eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，1，－\f(1,2)))，eq \(FD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－1，－\f(1,2)))，
设平面FCD的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(FC,\s\up6(→))·m＝－\f(\r(3),2)x＋y－\f(1,2)z＝0，,\(FD,\s\up6(→))·m＝－\f(\r(3),2)x－y－\f(1,2)z＝0，))
取x＝1，得m＝(1,0，－eq \r(3))，
平面SDC的一个法向量为n＝(0,0,1)，
设二面角F－CD－S的大小为θ，易知θ为锐角，
则cs θ＝eq \f(|m·n|,|m|·|n|)＝eq \f(\r(3),2).
∴θ＝30°，
∴二面角F－CD－S的大小为30°.
20．(12分)2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9：20～9：40记作区间[20,40)，9：40～10：00记作[40,60)，10：00～10：20记作[60,80)，10：20～10：40记作[80,100]．例如：10点04分，记作时刻64.
(1)估计这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与均值；
(3)由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可用这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，已知大年初五全天共有1 000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：22之间通过的车辆数(结果保留到整数)．
参考数据：若T～N(μ，σ2)，则①P(μ－σ＜T≤μ≤σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ＜T≤μ＋2σ)≈0.954 5；③P(μ－3σ＜T≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解 (1)这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(30×0.005＋50×0.015＋70×0.020＋90×0.010)×20＝64，即10点04分．
(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20,60)这一区间内的车辆数，即(0.005＋0.015)×20×10＝4，所以X的可能取值为0,1,2,3,4.
所以P(X＝0)＝eq \f(C\\al(4,6),C\\al(4,10))＝eq \f(1,14)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(3,6)C\\al(1,4),C\\al(4,10))＝eq \f(8,21)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4),C\\al(4,10))＝eq \f(3,7)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(3,4),C\\al(4,10))＝eq \f(4,35)，
P(X＝4)＝eq \f(C\\al(0,6)C\\al(4,4),C\\al(4,10))＝eq \f(1,210)，
所以X的分布列为
所以E(X)＝0×eq \f(1,14)＋1×eq \f(8,21)＋2×eq \f(3,7)＋3×eq \f(4,35)＋4×eq \f(1,210)＝eq \f(8,5).
(3)由(1)可得μ＝64，σ2＝(30－64)2×0.1＋(50－64)2×0.3＋(70－64)2×0.4＋(90－64)2×0.2＝324，
所以σ＝18，
估计在9：46～10：22这一时间段内通过的车辆数，也就是46＜T≤82通过的车辆数，
由T～N(μ，σ2)，
得P(64－180)的焦点为F，点P(x0,3)为抛物线C上一点，且点P到焦点F的距离为4，过点A(a,0)作抛物线C的切线AN(斜率不为0)，设切点为N.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求证：以FN为直径的圆过点A.
(1)解 由题知，|PF|＝yP＋eq \f(p,2)，
∴4＝3＋eq \f(p,2)，解得p＝2，
∴抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)证明 易知切线AN的斜率存在且不为0，
设切线AN的方程为y＝k(x－a)，k≠0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,y＝kx－a，))消去y可得x2－4kx＋4ka＝0，
由题意得Δ＝16k2－16ka＝0，即a＝k，
∴切点N(2a，a2)，
又F(0,1)，A(a,0)，
∴eq \(AF,\s\up6(→))＝(－a,1)，eq \(AN,\s\up6(→))＝(a，a2)．
因此eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝(－a,1)·(a，a2)＝0.
∴∠FAN＝90°，故以FN为直径的圆过点A.
22．(12分)已知函数f(x)＝ln x－ax－b.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若不等式f(x)≤－ex恒成立，求eq \f(b,a－e)的最小值(其中e为自然对数的底数)．
解 (1)f′(x)＝eq \f(1,x)－a＝eq \f(1－ax,x)(x>0)，
当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值；
当a＞0时，由f′(x)＞0，得0e)，
令F(x)＝－eq \f(1＋lnx－e,x－e)(x>e)，
F′(x)＝－eq \f(\f(1,x－e)x－e－1－lnx－e,x－e2)＝eq \f(lnx－e,x－e2)，
当x∈(e＋1，＋∞)时，F′(x)＞0，F(x)单调递增，
当x∈(e，e＋1)时，F′(x)＜0，F(x)单调递减，
所以当x＝e＋1时，F(x)取最小值，
即F(x)≥F(e＋1)＝－1，
所以eq \f(b,a－e)的最小值为－1.X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,14)
eq \f(8,21)
eq \f(3,7)
eq \f(4,35)
eq \f(1,210)