数学八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试复习练习题

2021-2022学年人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》单元综合达标测试题（附答案）

一．选择题（共10小题，满分30分）

1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，且AD＝3cm，AB＝4cm，BD＝5cm，则点D到BC的距离是（　　）

A．5cm B．4cm C．3cm D．不能确定

2．如图，a，b，c是3×3正方形网格中的3条线段，它们端点都在格点上，则关于a，b，c大小关系的正确判断是（　　）

A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a

3．观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a＞b，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（　　）

A．a（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 

C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2

4．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，则CE2+CF2的值为（　　）

A．8 B．16 C．32 D．64

5．如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点若OM＝4，OP＝5，则PN的最小值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）

A． B． 

C． D．

7．下列几组数中，是勾股数的是（　　）

A．1，， B．0.3，0.4，0.5 

C．15，8，17 D．，，1

8．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）

A．7，24，25 B．6，8，10 C．9，12，15 D．3，4，6

9．如图，一架2.5m长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底部将平滑（　　）

A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m

10．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（　　）

A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定

二．填空题（共7小题，满分21分）

11．若一个直角三角形的三边长为6，8，x，则x＝　   　．

12．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝2，则阴影部分的面积是　   　．

13．在Rt△ABC中，斜边AB＝4，则AB2+AC2+BC2＝　   　．

14．如图，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为　   　．

15．已知，如图中未知正方形的面积是 　   　．

16．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 　   　尺．

17．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要　   　米．

三．解答题（共8小题，满分69分）

18．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝12，BD＝5．

（1）求证：△BDC是直角三角形；

（2）求AC的长．

19．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，CD＝2，AD＝2．

（1）求证：△ACD是直角三角形；

（2）求四边形ABCD的面积．

20．已知△ABC中，BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2，AB＝m+n．

（1）求证：△ABC是直角三角形；

（2）当∠A＝30°时，求m，n满足的关系式．

21．如图是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）

22．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．

（1）线段AB的长度是　   　，线段CD的长度是　   　．

（2）若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．

23．利用勾股定理可以在数轴上画出表示的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹；

第一步：（计算）尝试满足＝，使其中a，b都为正整数，你取的正整数a＝　   　，b＝　   　；

第二步：（画长为的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，∠OEF＝90°，则斜边OF的长即为，请在数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）

第三步：（画表示的点）在下面的数轴上画出表示的点M，并描述第三步的画图步骤：　   　．

24．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）当t＝2秒时，求PQ的长；

（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？

（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．

25．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）写出你所知道的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　   　，　   　；

（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE，连接AD、DC，若∠DCB＝30°，试证明；DC2+BC2＝AC2．（即四边形ABCD是勾股四边形）

参考答案

一．选择题（共10小题，满分30分）

1．解：过点D作DE⊥BC于点E，

∵BD平分∠ABC，∠DEB＝∠A＝90°，

∴AD＝DE＝3cm，

故选：C．

2．解：由题意得a＝，

b＝，

c＝，

∴a＜b＜c，

故选：B．

3．解：标记如下：

∵S正方形PQMN＝S正方形ABCD﹣4SRt△ABN，

∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4×

＝a2﹣2ab+b2．

故选：C．

4．解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，

即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，

又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，

∴CM＝EM＝MF＝4，

∴EF＝8，

由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2＝64，

故选：D．

5．解：∵PM⊥OB于点M，OM＝4，OP＝5，

∴PM＝3，

当PN⊥OA时，PN的值最小，

∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，

∴PM＝PN，

∵PM＝3，

∴PN的最小值为3．故选：B．

6．解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），

∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

B、∵4×+c2＝（a+b）2，

∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，

∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．

7．解：A、12+（）2＝（）2，但不是正整数，不是勾股数，不符合题意；

B、0.32+0.42＝0.52，但不是正整数，不是勾股数，不符合题意；

C、152+82＝172，是勾股数，符合题意；

D、（）2+（）2＝12，但不是正整数，不是勾股数，不符合题意；故选：C．

8．解：A、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；

B、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；

C、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；

D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长．

故选：D．

9．解：∵梯子的顶端下滑了0.4米，

∴A′C＝2m，

∵在Rt△A′B′C中，A′B′＝2.5m，A′C＝2m，

∴B′C＝＝＝1.5m，

∴BB′＝B′C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8m．故选：D．

10．解：根据题意得：如图：

OA＝40×20＝800m．

OB＝40×15＝600m．

在直角△OAB中，AB＝＝1000米．故选：C．

二．填空题（共7小题，满分21分）

11．解：当8为直角边时，由勾股定理可得：x＝，

 当8为斜边时，由勾股定理可得：x＝，

故答案为：10或．

12．解：设AE交BC于点F，如图：

在等腰直角三角形ABC中，AB＝2，

∴AC＝2，

在直角三角形ACF中，∠CAF＝30°，

∴设CF＝x，则AF＝2x，

∴22+x2＝（2x）2，

∴4+x2＝4x2，

∴3x2＝4，

∴x1＝，x2＝﹣（舍），

∴CF＝x＝，

∴阴影部分的面积为：×2×＝．

故答案为：．

13．解：∵在Rt△ABC中，斜边AB＝4，

∴AB2＝BC2+AC2＝16，AB2＝16，

∴AB2+BC2+AC2＝32．

故答案为：32．

14．解：由勾股定理得，AB＝＝，

∴AC＝，

∵点A表示的数是﹣1，

∴点C表示的数是﹣1．

故答案为：﹣1．

15．解：∵100+125＝225＝152，

∴“？”所代表的正方形的面积＝152＝225．

故答案是：225．

16．解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：

x2+32＝（10﹣x）2，

解得：x＝4.55，

答：折断处离地面4.55尺．

故答案为：4.55．

17．解：由勾股定理得：

楼梯的水平宽度＝＝4，

∵地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，

地毯的长度至少是3+4＝7米．故答案为7．

三．解答题（共8小题，满分69分）

18．证明：（1）∵BC＝13，CD＝12，BD＝5，

∴BC2＝BD2+CD2，

∴△BDC为直角三角形；

（2）设AB＝x，

∵△ABC是等腰三角形，

∴AB＝AC＝x，

∵AC2＝AD2+CD2，

即x2＝（x﹣5）2+122，

解得：x＝16.9，

∴AC＝16.9．

19．（1）证明：∵∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，

∴AC＝2BC＝2，

又CD＝2，AD＝，

∴AC2+CD2＝8，AD2＝8，

∴AC2+CD2＝AD2，

∴△ACD是直角三角形．

（2）解：∵AC＝2，BC＝1，

∴＝，

∴＝．

20．解：（1）∵BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2，AB＝m+n，

∴AC2+CB2＝（m﹣n）2+4mn＝m2+n2﹣2mn+4mn＝m2+n2+2mn＝（m+n）2＝AB2．

∴∠C＝90°．

∴△ABC是为直角三角形；

（2）∵∠A＝30°，

∴＝＝，

∴m＝3n．

21．证明：∵，

∴（a+b）（a+b）＝2ab+c2，

∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，

∴a2+b2＝c2．

22．解：（1）由图可得，

AB＝＝，CD＝＝2，

故答案为：，2；

（2）以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，

理由：∵AB＝，CD＝2，EF＝，

∴CD2+EF2＝（2）2+（）2＝8+5＝13＝AB2，

∴以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形．

23．解：第一步：∵＝＝，

∴a＝3，b＝1，

第二步：如图，3对应的点为E点，过点E作数轴的垂线，再截取EF＝1，然后连接OF，则OF＝；

第三步：如图，以O为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M即为所求．

故答案为：3，1；

以O为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M即为所求．

24．（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，

BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，

∵∠B＝90°，

PQ＝＝＝2（cm）；

（2）解：根据题意得：BQ＝BP，

即2t＝8﹣t，

解得：t＝；

即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；

（3）解：分三种情况：

①当CQ＝BQ时，如图1所示：

则∠C＝∠CBQ，

∵∠ABC＝90°，

∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，

∠A+∠C＝90°，

∴∠A＝∠ABQ

∴BQ＝AQ，

∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，

∴AC＝＝10（cm），

∴CQ＝AQ＝AC＝5（cm），

∴BC+CQ＝11（cm），

∴t＝11÷2＝5.5秒．

②当CQ＝BC时，如图2所示：

则BC+CQ＝12（cm），

∴t＝12÷2＝6秒．

③当BC＝BQ时，如图3所示：

过B点作BE⊥AC于点E，

则BE＝＝＝4.8（cm）

∴CE＝＝3.6cm，

∴CQ＝2CE＝7.2cm，

∴BC+CQ＝13.2cm，

∴t＝13.2÷2＝6.6秒．

由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，

△BCQ为等腰三角形．

25．（1）解：∵直角梯形和矩形的角都为直角，所以它们一定为勾股四边形．

（2）证明：连接CE，∵BC＝BE，∠CBE＝60°

∴△CBE为等边三角形，

∴∠BCE＝60°

又∵∠DCB＝30°∴∠DCE＝90°

∴△DCE为直角三角形

∴DE2＝DC2+CE2

∵AC＝DE，CE＝BC

∴DC2+BC2＝AC2