专题8.6+期末压轴题专项训练（30道）-2021-2022学年七年级数学上册（北师大版）

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专题8.6 期末满分计划之解答压轴题专项训练（30道）
【北师大版】
1．（2020秋•卫辉市期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角的直角顶点放在点O处，即∠MON，反向延长射线ON，得到射线OD．

（1）当∠MON的位置如图（1）所示时，使∠NOB＝20°，若∠BOC＝120°，求∠COD的度数．
（2）当∠MON的位置如图（2）所示时，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：射线ON的反向延长线OD是否平分∠AOC？请说明理由；注意：不能用问题（1）中的条件
（3）当∠MON的位置如图（3）所示时，射线ON在∠AOC的内部，若∠BOC＝120°．试探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，不需要证明，直接写出结论．
【分析】本题是角的计算，通过利用平角，直角等特殊角的度数等，可分别计算出相关角的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝180°，∠NOB＝20°，∠BOC＝120°，
∴∠COD＝∠AOB﹣∠NOB﹣∠BOC
＝180°﹣20°﹣120°
＝40°，
∴∠COD为40°；
（2）OD平分∠AOC，
理由如下：∵∠MON＝90°，
∴∠DOM＝180°﹣∠MON＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DOC+∠MOC＝∠MOB+∠BON＝90°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB，
∴∠DOC＝∠BON，
∵∠BON+∠AON＝∠AON+∠AOD＝180°
∴∠BON＝∠AOD，
又∵∠BON＝∠COD，
∴∠COD＝∠AOD，
∴OD平分∠AOC；
（3）∵∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，
∵∠MON＝90°，
∴∠MON﹣∠AOC＝30°，
∴（∠MON﹣∠AON）﹣（∠AOC﹣∠AON）＝30°，
即∠AOM﹣∠NOC＝30°．
2．（2020秋•顺城区期末）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形ABCD的长AD是4个单位长度，长方形EFGH的长EH是8个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为12．

（1）填空：点H在数轴上表示的数是　13　，点A在数轴上表示的数是　﹣11　．
（2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN=14EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，求当x多少秒时，OM＝ON．
（3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形ABCD运动的时间．
【分析】（1）根据已知条件得出H在5右边8个单位处，A在5左边16个单位处，由此得出结果即可；
（2）根据已知条件列出含有绝对值的方程，再解绝对值方程便可；
（3）本题求解时应根据当D点恰好与E点右边距E点3个单位的点重合时和A点恰好与H点左边距H点3个单位的点重合时其两个长方形重叠部分的面积为6，求出此时长方形ABCD运动的时间便可．
【解答】解：（1）∵长方形EFGH的长EH是8个单位长度，且点E在数轴上表示
∴点H在数轴上表示的数是5+8＝13
∵E、D两点之间的距离为12
点D表示的数为5﹣12＝﹣7
∵长方形ABCD的长AD是4个单位长
∴点A在数轴上表示的数是﹣7﹣4＝﹣11
故答案为：13，﹣11；
（2）由题意知，线段AD的中点为M，则M表示的数为﹣9，线段EH上一点N且EN=14EH，则N表示的数为7；
由M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，则经过x秒后，M点表示的数为4x﹣9，N点表示的数为7﹣3x，
∵OM＝ON，
∴|4x﹣9|＝|7﹣3x|，
∴4x﹣9＝7﹣3x，或4x﹣9＝3x﹣7，
∴x=167，或x＝2，
∴x=167秒或x＝2秒时，OM＝ON；
（3）∵在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是2个单位长度，两个长方形重叠部分的面积为6，
∴重叠部分的的长方形的长为3，
∴①当点D运动到E点右边3个单位时，两个长方形重叠部分的面积为6，
此时长方形ABCD运动的时间为：（DE+3）÷2＝（12+3）÷2=152（秒），
②当点A运动到H点右边3个单位时，两个长方形重叠部分的面积为6，
此时长方形ABCD运动的时间为：（AD+DE+EH﹣3）÷2＝（4+12+8﹣3）÷2=212（秒），
综上，长方形ABCD运动的时间为152秒或212秒．
3．（2020秋•信宜市期末）“双十一”大促销活动中，某品牌网红店从厂家购进了A、B两种商品．已知每件B种商品的进价比每件A种商品的进价低20元，购进8件A种商品与购进10件B种商品的货款相同．
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）该网红店从厂家购进了A、B两种商品共100件，所用资金恰好为9200元．出售时，A种商品在进价的基础上加价40%进行标价；B商品按标价出售，则每件可获利30元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售出后共可获利多少元？
（3）在（2）的条件下，“双十一”期间，A商品按标价的九折出售，B商品按标价出售一部分商品后进行促销，按标价的九折再让利4元出售，A、B两种商品全部售出，总获利是全部按标价售出所获利润23，则B商品按标价售出多少件？
【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，根据购进8件A种商品与购进10件B种商品的货款相同列出方程，解出可得结论；
（2）设购买A种商品a件，根据所用资金9200元可得购进A、B两种商品的件数，在根据两种商品的售价和进价可得总利润；
（3）设B商品按标价售出m件，根据等量关系A商品的利润+B商品的利润＝（2）中的利润23列出方程，可得结论．
【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣20）元，
由题意得8x＝10（x﹣20），
解得：x＝100，
100﹣20＝80（元）．
答：A种商品每件的进价是100元，B种商品每件的进价是80元；
（2）设购买A种商品a件，则购买B商品（100﹣a）件，
由题意得100a+80（100﹣a）＝9200，
解得a＝60，100﹣a＝40．
100×40%×60+40×30＝3600（元）．
答：全部售完共可获利3600元；
（3）设B商品按标价售出m件，
由题意得：（100×140%×90%﹣100）×60+30m+[（80+30）×90%﹣80﹣4]（40﹣m）＝3600×23，
解得m＝16．
答：B商品按标价售出16件．
4．（2020秋•建湖县期末）已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）当α＝30°时，则∠EOC＝　60　°；∠FOD＝　75　°．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为 　3或12或21或30　秒．

【分析】（1）利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数．
（2）先根据α＝60°，求∠EOF＝150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数＝150，列式解出即可；
（3）分两种情况：在直线OE的左边和右边，根据其夹角列4个方程可得时间．
【解答】解：（1）∵∠BOE＝90°，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝α＝30°，
∴∠EOC＝90°﹣30°＝60°，
∠AOD＝180°﹣30°＝150°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD=12∠AOD=12×150°=75°；
故答案为：60，75；
（2）当α＝60°，∠EOF＝90°+60°＝150°
设当射线OE'与射线OF'重合时至少需要t秒，
10t+8t＝150，
t=253，
答：当射线OE'与射线OF'重合时至少需要秒253；
（3）设射线OE'转动的时间为t秒，
由题意得：12t+90+8t＝150或12t+8t＝150+90或360﹣12t＝8t﹣150+90或360﹣12t+360﹣8t+90＝360﹣150，
t＝3或12或21或30．
故射线OE'转动的时间为3或12或21或30秒．
故答案为：3或12或21或30．
5．（2020秋•洛阳期末）阅读下面材料
小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC与∠BOC互补．
小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC在∠AOB的外部，画出示意图，如图2所示：然后通过构造平角找到∠AOC的补角∠COD．
如图3所示：进而分析要使∠AOC与∠BOC互补，则需∠BOC＝∠COD．
因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA得到射线OD，利用量角器画出∠BOD的平分线OC，这样就得到了∠BOC与∠AOC互补．
（1）根据小聪的画法可知，如图3，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．请说明∠AOC与∠BOC互补的理由；
（2）参考小聪的画法，请在图4中画出一个∠AOH，使∠AOH与∠BOH互余（保留画图痕迹）；
（3）已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ，若∠EPQ＝β（45°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是 　45°或|β﹣45°|　．

【分析】（1）证明∠AOC+∠BOC＝180°，即可解决问题；
（2）延长AO到T，作∠BOT的角平分线OH，射线OH即为所求；
（3）分两种情形分别画出图形求解即可．
【解答】解：（1）如图3中，∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC＝∠COD，
∵∠AOC+∠COD＝180°，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
即∠AOC与∠BOC互补；
（2）如图4中，射线OH即为所求；

（3）如图，

∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，
∴∠MPQ=12∠EPQ，∠NPQ=12∠FPQ，
∵∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ
=12∠EPQ+12∠FPQ
=12∠EPF，
∵∠EPQ和∠FPQ互余，
∴∠EPQ+∠FPQ＝90°，
即∠EPF＝90°，
∴∠MPN＝45°；
如图：

∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，
∴∠MPQ=12∠EPQ，∠NPQ=12∠FPQ，
∵∠MPN＝|∠MPQ﹣∠NPQ|＝|12∠EPQ−12∠FPQ|，
∵∠EPQ和∠FPQ互余，∠EPQ＝β，
∴∠FPQ＝90°﹣β，
∴∠MPN＝|12β−12∠（90°﹣β）|＝|β﹣45°|，
故答案为：45°或|β﹣45°|．
6．（2020秋•七星关区期末）在如图所示的2020年8月份日历中，

（1）用一个长方形的方框圈出任意3×3个数，如果从左下角到右上角的“对角线”上的3个数字的和为39，那么这9个数的和为多少？
（2）这个长方形的方框圈出的9个数的和能为216吗？
（3）如果任意选择如上的阴影部分，那么其中的四个数a、b、c、d又有什么规律呢？请用含a、b、c、d的等式表示．（其中a、b、c、d四个数之间的大小关系是a＜b＜c＜d，a、b、c、d为整数）
【分析】（1）求出中间一个数，即可得答案；
（2）设中间的数为y，列出代数式比较得出结果；
（3）观察可得四个数的关系．
【解答】解：（1）设对角线中间一个数为x，那么左下角的数为x+6，右上角的数为x﹣6，
x+x+6+x﹣6＝39 解得x＝13，
这9个数的和为5+6+7+12+13+14+19+20+21＝117；
（2）不能．
设中间的数为y，则9y＝216，
解得y＝24，
那么矩形右下角的数为24+8＝32，这是不可能的，
∴不能；
（3）a＝b﹣1＝c﹣6＝d﹣7或b＝a+1＝c﹣5＝d﹣6或c＝a+6＝b+7＝d﹣1或d＝a+7＝b+6＝c+1．
7．（2020秋•钱塘区期末）如果一个两位数的个位数字是n，十位数字是m，那么我们可以把这个两位数简记为mn，即mn=10m+n．如果一个三位数的个位数字是c，十位数字是b，百位数字是a，那么我们可以把这个三位数简记为abc，即abc=100a+10b+c．
（1）若一个两位数mn满足mn=7m+5n，请求出m，n的数量关系并写出这个两位数．
（2）若规定：对任意一个三位数abc进行M运算，得到整数M（abc）＝a3+b2+c．如：M（321）＝33+22+1＝32．若一个三位数5xy满足M（5xy）＝132．求这个三位数．
（3）已知一个三位数abc和一个两位数ac，若满足abc=6ac+5c，请求出所有符合条件的三位数．
【分析】（1）根据两位数的表示方法可得mn=10m+n，再根据mn=7m+5n，可得10m+n＝7m+5n，依此求出m，n的数量关系，再根据整数的定义写出这个两位数；
（2）根据M（abc）＝a3+b2+c，再根据M（5xy）＝132得到关于x，y的方程，再根据x，y的取值范围和整数的定义可求这个三位数；
（3）根据三位数和两位数的表示方法，由abc=6ac+5c可得关于a，b，c的方程，再根据a，b，c的取值范围和整数的定义可求出所有符合条件的三位数．
【解答】解：（1）∵mn=7m+5n＝10m+n，
∴3m＝4n，
∵1≤m≤9，0≤n≤9，且m，n均为整数，
∴m＝4，n＝3或m＝8，n＝6，
∴这个两位数是43或86；
（2）∵M（abc）＝a3+b2+c，M（5xy）＝132，
∴53+x2+y＝132，
即x2+y＝7，
∵0≤x≤9，0≤y≤9，且x，y均为整数，
∴x＝0，y＝7，这个三位数是507；
x＝1，y＝6，这个三位数是516；
x＝2，y＝3，这个三位数是523．
综上所述，这个三位数是507或516或523；
（3）∵abc=6ac+5c，
∴100a+10b+c＝60a+6c+5c，
即4a+b＝c，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，且a，b，c均为整数，
∴当a＝1时，b＝0，c＝4或b＝1，c＝5或b＝2，c＝6或b＝3，c＝7或b＝4，c＝8或b＝5，c＝9；
当a＝2时，b＝0，c＝8或b＝1，c＝9．
综上所述，所有符合条件的三位数分别是104或115或126或137或148或159或208或219．
8．（2020秋•西山区期末）如图为两个特殊三角板AOB和三角板COD，∠A＝45°，∠D＝60°，O为直角顶点，两直角顶点重合，A，O，D在同一直线上，OB，OC重合，OM平分∠COD，ON平分∠AOB．
（1）∠MON＝　90　度；
（2）若三角板AOB与三角板COD位置如图（2）所示，满足∠BOC＝20°，求∠MON的的度数；
（3）在图（1）的情形下，三角板AOB固定不动，若三角板COD绕着O点旋转（旋转角度小于45°），∠BOC＝α，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．

【分析】（1）由角平分线的定义可求得∠MON=12∠AOD，结合∠AOD＝180°，可求解；
（2）由角平分线的定义可求得∠MON＝∠MOC+∠NOB﹣∠BOC，结合∠BOC的度数可求解；
（3）可分两种情况：①当两三角板由重叠时；②当两三角板无重叠时，由角平分线的定义结合∠BOC的度数可求解．
【解答】解：（1）∵OM平分∠COD，ON平分∠AOB，
∴∠MOC=12∠COD，∠NOB=12∠AOB，
∵∠MON＝∠MOC+∠NOB，
∴∠MON=12∠AOD，
∵A，O，D在同一直线上，
∴∠AOD＝180°，
∴∠MON＝90°，
故答案为90；
（2）由题意可知∠AOB＝∠COD＝90°，
∵OM平分∠COD，ON平分∠AOB，
∴∠MOC=12∠COD＝45°，∠NOB=12∠AOB＝45°，
∵∠MON＝∠MOC+∠NOB﹣∠BOC，∠BOC＝20°，
∴∠MON＝45°+45°﹣20°＝70°；
（3）①当两三角板由重叠时，由题意可知∠AOB＝∠COD＝90°，
∵OM平分∠COD，ON平分∠AOB，
∴∠MOC=12∠COD＝45°，∠NOB=12∠AOB＝45°，
∵∠MON＝∠MOC+∠NOB﹣∠BOC，∠BOC＝α，
∴∠MON＝45°+45°﹣α＝90°﹣α；
②当两三角板无重叠时，由题意可知∠AOB＝∠COD＝90°，
∵OM平分∠COD，ON平分∠AOB，
∴∠MOC=12∠COD＝45°，∠NOB=12∠AOB＝45°，
∵∠MON＝∠MOC+∠NOB+∠BOC，∠BOC＝α，
∴∠MON＝45°+45°+α＝90°+α．
9．（2020秋•天桥区期末）已知直线AB过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分线．
（1）操作发现：①如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE＝　20　°．
②如图1，若∠AOC＝50°，则∠DOE＝　25　°．
③如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE＝　12α　．（用含α的代数式表示）
（2）操作探究：将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由．
（3）拓展应用：将图2中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，则∠DOE＝　180°−12α　．（用含α的代数式表示）

【分析】（1）①②③如图1，根据平角的定义和角平分线的定义，求出∠EOB，∠DOB，利用角的差可得结论；
（2）如图2，根据平角的定义得：∠BOC＝180°﹣α，由角平分线定义得：∠EOC=12∠BOC＝90°−12α，根据角的差可得（2）中的结论还成立；
（3）同理可得：∠DOE＝∠COD+∠COE＝180°−12α．
【解答】解：（1）如图1，①∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝50°，
∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝90°+50°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12∠BOC＝70°，
∴∠DOE＝70°﹣50°＝20°，
故答案为20°．
②∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝50°，
∴∠BOD＝40°，
∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝90°+40°＝130°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12∠BOC＝65°，
∴∠DOE＝65°﹣40°＝25°，
故答案为：25°；
③∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝，
∴∠BOD＝90°﹣α，
∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝90°+90°﹣α＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12∠BOC＝90°−12α，
∴∠DOE＝90°−12α﹣（90°﹣α）=12α，
故答案为12α．
（2）③中的结论还成立，理由是：
如图2，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC=12∠BOC＝90°−12α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°−12α）=12α；
（3）如图3，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC=12∠BOC＝90°−12α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°+（90°−12α）＝180°−12α；
故答案为：180°−12α．

10．（2020秋•南宁期末）甲地某果蔬批发市场计划运输一批蔬菜至乙地出售，为保证果蔬新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，若A型车的平均速度为50千米/小时，B型车的平均速度为60千米/小时，从甲地到乙地B型车比A型车少用2小时．
（1）请求出A型车从甲地到乙地的时间．
（2）已知A型车每辆可运8吨，B型车每辆可运7吨，若单独租用A型车，则恰好装完；若单独租用相同数量的B型车，则还剩3吨蔬菜没有装上车．问这批蔬菜共有多少吨？
（3）在（2）的条件下，冷柜车运完蔬菜从乙地返回时，还需从乙地运输20吨水果（需用冷柜保鲜）回甲地，往返运输的相关数据如下表所示：
路费单价
冷柜使用单价
1.5元/（千米•辆）
A型冷柜车
B型冷柜车

10元/（小时•辆）
8元/（小时•辆）
（参考公式：冷柜使用费＝冷柜使用单价×使用时间×车辆数目；总费用＝路费+冷柜使用费）
请问应该单独安排A型车还是B型车运输才能使得本次往返甲乙两地的总费用较少？较少的总费用是多少？
【分析】（1）设A型车从甲地到乙地的时间为x小时，则B型车从甲地到乙地的时间为（x﹣2）小时，利用路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出A型车从甲地到乙地的时间；
（2）设这批蔬菜共有y吨，根据“若单独租用A型车，则恰好装完；若单独租用相同数量的B型车，则还剩3吨蔬菜没有装上车”，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出这批蔬菜共有24吨；
（3）利用租车数量＝运输货物的总重量÷每辆车的装载量，可分别求出安排A，B型车所需数量，利用总费用＝路费+冷柜使用单价×使用时间×车辆数量，可分别求出该单独安排A型车和单独安排B型车运输所需总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设A型车从甲地到乙地的时间为x小时，则B型车从甲地到乙地的时间为（x﹣2）小时，
依题意得：50x＝60（x﹣2），
解得：x＝12．
答：A型车从甲地到乙地的时间为12小时．
（2）设这批蔬菜共有y吨，
依题意得：y8=y−37，
解得：y＝24．
答：这批蔬菜共有24吨．
（3）∵24÷8＝3（辆），3+1＝4（辆），
∴运输24吨蔬菜，A型车需要3辆，B型车需要4辆．
∵20÷8＝2（辆）……4（吨），20÷7＝2（辆）……6（吨），2+1＝3（辆），
∴返回时运输20吨水果，A型车和B型车也都需要3辆．
甲地到乙地的距离为50×12＝600（千米）．
安排A型车的总费用＝（1.5×600×3+10×12×3）×2＝6120（元），
安排B型车的总费用＝（1.5×600×4+8×10×4）+（1.5×600×3+8×10×3）＝6860（元）．
∵6120＜6860，
∴应该单独安排A型车运输才能使得本次往返甲乙两地的总费用较少，较少的总费用是6120元．
11．（2020秋•江北区期末）为节约用水，宁波市居民生活用水实行按级收费，居民用水价格（含污水处理费）按用水量分为三级，如表是宁波市目前实行的水费收费标准：
级别
用水量（单位：立方米）
水价（含污水处理费）
第一级
不超过17立方米部分
3.4元/立方米
第二级
超过17立方米至30立方米部分
5.32元/立方米
第三级
超过30立方米部分
7元/立方米
（1）若某用户用水量为15立方米，则该用户需交水费 　51　元；若用水量为27立方米，则该用户需交水费 　111　元．
（2）若用水量为x（x＞30）立方米，则请用含x的代数式表示需交的水费．
（3）十二月份，小江、小北两家用水情况如下：①小江家用水量比小北家少；②两家用水量达到的级别不同；③两家用水量总共60立方米；④水费共270.72元．请根据以上信息，算一算：小江、小北两家用水量分别是多少立方米？
【分析】（1）由15＜17，17＜27＜30，根据总价＝单价×数量建立式子求出其解即可；
（2）由条件可以得出需交的水费＝第一级17立方米的水费+第二级13立方米的水费+超过30立方米部分的水费，列出代数式化简即可；
（3）设小江家的用水量是a立方米，则小北家的用水量是（60﹣a）立方米，分情况讨论：当0≤a≤17和17＜a≤30，由小江家的水费+小北家的水费＝270.72元建立方程求出其解，进一步求解．
【解答】解：（1）15×3.4＝51（元）；
17×3.4+（27﹣17）×5.32
＝57.8+53.2
＝111（元）．
故若某用户用水量为15立方米，则该用户需交水费51元；若用水量为27立方米，则该用户需交水费111元．
故答案为：51；111；
（2）17×3.4+（30﹣17）×5.32+7（x﹣30）
＝57.8+69.16+7x﹣210
＝（7x﹣83.04）元．
故需交的水费是（7x﹣83.04）元；
（3）设小江家的用水量是a立方米，则小北家的用水量是（60﹣a）立方米，根据题意得：
①当0≤a≤17时，则3.4a+7（60﹣a）﹣83.04＝270.72，
解得a＝18.4（舍去）；
②当17＜a≤30时，17×3.4+5.32（a﹣17）+7（60﹣a）﹣83.04＝270.72，
解得a＝20，
60﹣a＝60﹣20＝40．
故小江家的用水量是20立方米，小北家的用水量是40立方米．
12．（2020秋•大洼区期末）表中有两种移动电话计费方式：

月使用
费/元
主叫限定
时间/min
主叫超时费
/（元/min）
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费
（1）设一个月内移动电话主叫为tmin（t是正整数），根据上表填写下表的空白处，说明当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．
主叫时间t/min
方式一计费/元
方式二计费/元
t小于150
58
88
t＝150
58
88
t大于150且小于350
　0.25t+20.5　
88
t＝350
　108　
88
t大于350
　0.25t+20.5　
　0.19t+21.5　
（2）①通过计算说明，当主叫时间t等于多少时方式一和方式二的计费相等；
②根据计算和表格可以发现：
　主叫时间小于270分时　，选择方式一省钱；
　主叫时间大于270分时　，选择方式二省钱．
【分析】（1）方式一的计费：超过时长×0.25+58；方式二的计费：超过时长×0.19+88；
（2）①根据（1）中计算结果列方程可得答案；
②根据计算和表格可直接得答案．
【解答】解：（1）当t大于150且小于350时，方式一：0.25×（t﹣150）+58＝0.25t+20.5，
当t＝350时，方式一：0.25×200+58＝108，
当t大于350时，方式一：0.25（t﹣350）+108＝0.25t+20.5；方式二：0.19×（t﹣350）+88＝0.19t+21.5．
故答案为：0.25t+20.5；108；0.25t+20.5；0.19t+21.5．
（2）①由题意得，0.25t+20.5＝88，解得t＝270．
∴主叫时间为270分时，两种方式费用一样，
主叫时间小于270分时，选择方式一省钱，主叫时间大于270分时，选择方式二省钱．
故答案为：主叫时间小于270分时，主叫时间大于270分时．
13．（2020秋•锦州期末）有两个形状、大小完全相同的直角三角板ABC和CDE，其中∠ACB＝∠DCE＝90°．将两个直角三角板ABC和CDE如图①放置，点A，C，E在直线MN上．
（1）三角板CDE位置不动，将三角板ABC绕点C顺时针旋转一周，
①在旋转过程中，若∠BCD＝30°，则∠ACE＝　150　°；
②在旋转过程中，∠BCD与∠ACE有怎样的数量关系？请依据图②说明理由．
（2）在图①基础上，三角板ABC和CDE同时绕点C顺时针旋转，若三角板ABC的边AC从CM处开始绕点C顺时针旋转，转速为10°/秒，同时三角板CDE的边CE从CN处开始绕点C顺时针旋转，转速为1°/秒，当AC旋转一周再落到CM上时，两三角板都停止转动．如果设旋转时间为t秒，则在旋转过程中，当t＝　5或35　秒时，有∠ACE＝3∠BCD．

【分析】（1）①根据旋转的性质和角的和差关系即可求解；
②根据角的和差关系即可求解；
（2）分三角板ABC和CDE重合之前；三角板ABC和CDE重合之后；进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）①在旋转过程中，若∠BCD＝30°，则∠ACE＝90°+90°﹣30°＝150°或360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°．
故答案为：150；
②∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠ACE＝∠ACB+∠BCE，
∴∠BCD+∠ACE＝∠BCD+∠ACB+∠BCE＝∠ACB+∠DCE＝90°+90°＝180°；
（2）三角板ABC和CDE重合之前，
∠ACE＝180°﹣9°t，∠BCD＝9°t，
依题意有180°﹣9°t＝3×9°t，
解得t＝5；
三角板ABC和CDE重合之后，
∠ACE＝9°t﹣180°，∠BCD＝360°﹣9°t，
依题意有9°t﹣180°＝3×（360°﹣9°t），
解得t＝35．
故当t＝5或35秒时，有∠ACE＝3∠BCD．
故答案为：5或35．
14．（2020秋•东西湖区期末）点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．
（1）如图1，求线段AB的长；
（2）若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1=12x﹣2的根，在数轴上是否存在点P使PA+PB＝BC，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；
（3）如图2，点P在B点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM﹣2BN的值不变；②PM−23BN的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值．

【分析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可得到线段AB的长；
（2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点P在数轴上对应的数是m，由PA+PB＝BC确定出P位置，即可做出判断；
（3）设P点所表示的数为n，就有PA＝n+1，PB＝n﹣3，根据条件就可以表示出PM=12（n+1），PN=14（n﹣3），再分别代入①PM﹣2BN和②PM−23BN求出其值即可．
【解答】解：（1）∵|a+1|+（b﹣3）2＝0，
∴a+1＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣1，b＝3，
∵点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4；

（2）解方程方程2x+1=12x﹣2，得x＝﹣2，
即C在数轴上对应的数为﹣2．
设点P在数轴上对应的数是m，
∵PA+PB＝BC，
∴|m+1|+|m﹣3|＝3﹣（﹣2），
令m+1＝0，m﹣3＝0，
解得m＝﹣1，m＝3．
①当m≤﹣1时，
﹣m﹣1+3﹣m＝5，
m＝﹣1.5；
②当﹣1＜m≤3时，
m+1+3﹣m＝5，m无解；
③当m＞3时，
m+1+m﹣3＝5，
m＝3.5．
∴点P对应的数为﹣1.5或3.5时，PA+PB＝BC；

（3）设P点所表示的数为n，
∴PA＝n+1，PB＝n﹣3．
∵PA的中点为M，
∴PM=12PA=12（n+1），
∵N为PB的四等分点且靠近于B点，
∴BN=14PB=14（n﹣3），
∴①PM﹣2BN=12（n+1）﹣2×14（n﹣3）＝2（不变）；
②PM−23BN=12（n+1）−23×14（n﹣3）=13n+1（随点P的变化而变化）．
即正确的结论为①PM﹣2BN的值不变，其值为2．

15．（2020秋•龙泉驿区期末）十八世纪伟大的数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：v+f﹣e＝2，这就是著名的欧拉定理．而正多面体，是指多面体的各个面都是形状大小完全相同的正多边形，虽然多面体的家族很庞大，可是正多面体的成员却仅有五种，它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，那今天就让我们来了解下这几个立体图形中的“天之骄子”：

（1）如图1，正四面体共有 　4　个顶点，　6　条棱．
（2）如图2，正六面体共有 　8　个顶点，　12　条棱．
（3）如图3是某个方向看到的正八面体的部分形状（虚线被隐藏），正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，那么它共有 　6　个顶点，　12　条棱．
（4）当我们没有正12面体的图形时，我们可以根据计算了解它的形状：
我们设正12面体每个面都是正n（n≥3）边形，每个顶点处有m（m≥3）条棱，则共有12n÷2＝6n条棱，有12n÷m=12nm个顶点．
欧拉定理得到方程：12nm+12﹣6n＝2，且m，n均为正整数，
去掉分母后：12n+12m﹣6nm＝2m，
将n看作常数移项：12m﹣6nm﹣2m＝﹣12n，
合并同类项：（10﹣6n）m＝﹣12n，
化系数为1：m=−12n10−6n=12n6n−10，
变形：m=12n6n−10
=12n−20+206n−10
=12n−206n−10+206n−10
=2(6n−10)6n−10+206n−10
=2+206n−10．
分析：m（m≥3），n（n≥3）均为正整数，所以206n−10是正整数，所以n＝5，m＝3，即6n＝30，12nm=20．
因此正12面体每个面都是正五边形，共有30条棱，20个顶点．
请依据上面的方法或者根据自己的思考得出：正20面体共有 　30　条棱； 　12　个顶点．
【分析】（1）根据面数×每面的边数÷每个顶点处的棱数可求点数，用顶点数×每个顶点的棱数÷2即可得棱数；
（2）用正六面体有六个面×每个面四条棱÷每个顶点处有三条棱可得正六面体共8个顶点，用8个顶点数×每个顶点处有3条棱÷2＝正六面体共有12条棱；
（3）正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，用八个面×每个面有三棱÷每个顶点处有四条棱，它共有6个顶点，利用顶点数×每个顶点处有四条棱÷2可得正八面体12条棱；
（4）正20面体每个面都是正n（n≥3）边形，每个顶点处有m（m≥3）条棱，则共有20n÷2＝10n条梭，有20n÷m=20nm个顶点．欧拉定理得到方程：20nm+20﹣10n＝2，且m，n均为正整数，可求m=20n10n−18，变形为m＝2+3610n−18求正整数解即可．
【解答】解：（1）如图1，正四面体又四个面，每个面有三条边，每个顶点处有三条棱，
共有4×3÷3＝4个顶点，
共有4个顶点，每个顶点处有3条棱，每两点重复一条，
正四面体共有4×3÷2＝6条棱，
故答案为：4；6；
（2）如图2，正六面体有六个面，每个面四条棱，每个顶点处有三条棱，
共有6×4÷3＝8个顶点，
正六面体共8个顶点，每个顶点处有3条棱，每两点重复一条，
正六面体共有8×3÷2＝12条棱．
故答案为：8；12；
（3）如图3正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，有八个面，每个面有三棱，每个顶点处有四条棱，
共有8×3÷4＝6个顶点，
它共有6个顶点，每个顶点处有四条棱，6×4÷2＝12条棱，
故答案为：6；12；
（4）正20面体每个面都是正n（n≥3）边形，每个顶点处有m（m≥3）条棱，
则共有20n÷2＝10n条棱，有20n÷m=20nm个顶点．
欧拉定理得到方程：20nm+20﹣10n＝2，且m，n均为正整数，
去分母：20n+20m﹣10nm＝2m，
移项：20m﹣10nm﹣2m＝﹣20n，
合并同类项：（18﹣10n）m＝﹣20n，
化系数为1：m=−20n18−10n，
∴m=20n10n−18=20n−36+3610n−18=2+3610n−18，
又∵m（m≥3），n（n≥3）均为正整数，
∴3610n−18是正整数，
即n＝3，m＝5，
∴10n＝30，20nm=12，
∴正20面体共有30条棱；12个顶点．
故答案为：30；12．
16．（2020秋•江岸区期末）数形结合思想是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”
【问题背景】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠2个车站（来回票价一样），可以从任意站点买票出发且任意两站间的票价都不同，共有 　6　种不同的票价，需准备 　12　种车票．
聪明的小周是这样思考这个问题的，她用A，B，C，D，4个点表示车站，每两站之间的票价用相应两点间的线段表示，共连出多少条线段，就有多少种不同的票价．
【迁移应用】A，B，C，D，E，F六支足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A，B，C，D，E五支队已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，则还没有与B队比赛的球队是 　E　队．
【拓展创新】某摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划的三分之二，过了小镇，汽车行驶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里的路程的二分之一就到达目的地了，求A，B两市相距多少千米？

【分析】【问题背景】先求出线段的条数，再计算票价和车票的种数；
【迁移应用】由已知，通过A比了5场，E比了1场，运用排除法得到没与B队比赛的球队．
【拓展创新】可以设A，B两市相距x千米，根据题目的叙述用x表示出DE的长，即可求得．
【解答】解：【问题背景】如图：

从任意站点买票出发且任意两站间的票价都不同，共有3+2+1＝6种不同的票价，需准备6×2＝12种车票．
故答案为：6，12；
【迁移应用】A比了5场，
所以A与E比过，
又E只比了1场，
而B比了4场，
所以B与E没比过．
故答案为：E；
【拓展创新】如图：

设A，B两市相距x千米，
∵AC﹣BC＝100，AC+BC＝x，
∴AC=x2+50，BC=x2−50，
∴列以下方程：23(x2+50)+23(x2−50)=400，
解得x＝600．
答：A，B两市相距600千米．
17．（2020秋•建邺区期末）数轴上A、B两点对应的数分别是﹣4、12，线段CE在数轴上运动，点C在点E的左边，且CE＝8，点F是AE的中点．
（1）如图1，当线段CE运动到点C、E均在A、B之间时，若CF＝1，则AC＝　6　，BE＝　2　；
（2）当线段CE运动到点A在C、E之间时．
①设AF长为x，用含x的代数式表示BE＝　16﹣2x　（结果需化简）；
②求BE与CF的数量关系；
（3）当点C运动到数轴上表示数﹣14的位置时，动点P从点E出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，抵达B后，立即以每秒2个单位长度的速度返回；同时点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动；当点Q到达点B时，P、Q两点都停止，设它们运动的时间为t秒，求t为何值时，P、Q两点间的距离为1个单位长度．
【分析】（1）由两点距离公式可求解；
（2）①由BE＝AB﹣AE，可求解；
②由BE＝8﹣x，即可求解；
（3）分四种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．
【解答】解：（1）∵A、B两点对应的数分别是﹣4、12，
∴AB＝12﹣（﹣4）＝16，
∵CE＝8，CF＝1，
∴EF＝7，
∵点F是AE的中点，
∴AE＝2EF＝14，AF＝EF＝7，
∴AC＝AF﹣CF＝6，
BE＝AB﹣AE＝2．
故答案为：6，2；
（2）①∵AF长为x，
∴AE＝2x，
∴BE＝16﹣2x．
故答案为：16﹣2x；
②∵CF＝CE﹣EF＝8﹣x，
∴BE＝2CF；
（3）∵点C运动到数轴上表示数﹣14，CE＝8，
∴点E表示的数为﹣6；
当点P向x轴正方向运动，且与Q没有相遇时，
由题意可得：3t+1＝2t+2，
解得t＝1；
当点P向x轴正方向运动，且与Q相遇后时，
由题意可得：3t﹣1＝2t+2，
解得t＝3；
当点P向x轴负方向运动，且与Q没有相遇时，
由题意可得：2（t﹣6）+1+2t＝16，
解得t=274；
当点P向x轴负方向运动，且与Q相遇后时，
由题意可得：2（t﹣6）+2t＝16+1，
解得t=294．
综上所述：当t＝1或3或274或294时，P、Q两点间的距离为1个单位长度．
18．（2020秋•涪城区校级期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）试说明：∠DPC＝90°；
（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；
（3）如图③，在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．

【分析】（1）利用直角三角形的两个锐角互余可证∠DPC＝90°；
（2）结合角平分线的定义，利用各角之间的关系可求解；
（3）分三种情况讨论，建立与时间t有关的方程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，
又∵∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180°﹣30°﹣60°＝90°．
（2）∵PE平分∠CPD，
∴设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y．
则∠APF＝60°﹣y，
∠DPF＝2x+y，
∵∠CPA＝60°，
∴y+2x＝60°﹣y，
∴x+y＝30°，
∴∠EPF＝x+y＝30°．
（3）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角．
∵当PA与PM重合时，两三角板都停止转动，
∴t≤1805=36秒．
分三种情况讨论：
①当PC平分∠BPD时，根据题意列得方程5t﹣t＝90+12×30，
解得t=1054＜36，符合题意；
②当PB平分∠CPD时，根据题意列得方程5t﹣t＝90+2×30，
解得t=752＞36，不符合题意应舍去；
当PD平分∠BPC时，根据题意列得方程5t﹣t＝90﹣30，
解得t＝15＜36，符合题意．
综上：当旋转时间为15或1054秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角．
19．（2020秋•蔡甸区期末）已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝α．
（1）如图1，α＝70°，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数．
（2）如图2，若∠DOC＝2∠AOD，且α＜80°，求∠EOB的度数（用含α的代数式表示）；
（3）若α＝90°，点F在射线OB上，若射线OF绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180），∠FOA＝2∠AOD，OH平分∠EOC，当∠FOH＝∠AOC时，求n的值．

【分析】（1）根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据角的和差即可得到结论；
（3）①当∠DOE在∠AOC内部，当∠DOE在射线OC的两侧，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝60°，
∵∠DOE＝70°，
∴∠COE＝10°，
∴∠EOB＝180°﹣120°﹣10°＝50°；
（2）∵∠DOC＝2∠COE，
∴∠DOC＝80°，
∴∠EOC＝80°﹣α，
∵∠COB＝60°，
∴∠EOB＝140°﹣α；
（3）

①当∠DOE在∠AOC内部，
令∠AOD＝x°，则∠AOF＝2x°，
∠EOC＝120﹣x°﹣90°＝30°﹣x°，
∠EOH=12（30°﹣x），
∴∠HOF=12（30°﹣x）+90°+x°+2 x°＝120°，
解得：x＝6，
则∠BOF＝180°﹣2x＝168°；

②

当∠DOE在射线OC的两侧，
令∠AOD＝x°，则∠AOF＝2x°，∠COD＝120﹣x°，
∠EOC＝90°﹣（120﹣x°）＝x°﹣30°，
∠EOH=12（x°﹣30°），
∠EOB＝90°﹣x°，∠BOF＝180°﹣2x，
∴∠HOF=12（x°﹣30°）+90°﹣x+180°﹣2x＝120°，
解得：x＝54，
则∠BOF＝180°﹣2x＝72°，
综上所述得：OF旋转的角度为72°或者168°．
20．（2020秋•花都区期末）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是a、b，a、b满足（a+1）2+|3b﹣9|＝0．点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．
（1）a＝　﹣1　，b＝　3　，并在数轴上面标出A、B两点；
（2）若PA＝2PB，求x的值；
（3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

【分析】（1）根据“两个非负数之和为零，这两个数都为零”就可以确定a和b的值．
（2）分别用含x的代数式表示出PA和PB长度，再根据PA＝2PB建立等式，就可以求出x的值．
（3）分别表示出t秒后A、B、P的值，再代入3PB﹣PA，并化简就可以确定这是一个定值．
【解答】解：（1）因为（a+1）2≥0，|3b﹣9|≥0．
并且（a+1）2+|3b﹣9|＝0．
所以a+1=03b−9=0，
所以a=−1b=3．
故答案为：a＝﹣1，b＝3．

（2）①当P点在A点左侧时，PA＜PB，不合题意，舍去．
②当P点位于A、B两点之间时，
因为PA＝2PB，
所以x+1＝2（3﹣x），
所以x=53．
②当P点位于B点右侧时，
因为PA＝2PB，
所以x+1＝2（x﹣3），
所以x＝7．
故x的值为53或7．
（3）t秒后，A点的值为（﹣1﹣t），P点的值为2t，B点的值为（3+3t），
所以3PB﹣PA
＝3（3+3t﹣2t）﹣[2t﹣（﹣1﹣t）]
＝9﹣3t﹣（2t+1+t）
＝9+3t﹣3t﹣1
＝8．
所以3PB﹣PA的值为定值，不随时间变化而变化．
21．（2020秋•衢州期末）【阅读理解】甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经过0.4小时相遇，已知在相遇时乙比甲多行驶了14.4千米，相遇后经0.1小时乙到达A地．问甲、乙两人的速度分别是多少？
分析可以用示意图来分析本题中的数量关系．

从图中可得如下的相等关系，
甲行驶0.4小时的路程＝乙行驶0.1小时路程，
甲行驶0.4小时的路程+14.4＝乙行驶0.4小时的路程．
根据这两个相等关系，可得到甲、乙速度的关系，设元列出方程．
【问题解决】请你列方程解答【阅读理解】中的问题．
【能力提升】对于上题，若乙出发0.2小时后行驶速度减少10千米/小时，问甲出发后经多少小时两人相距2千米？
【分析】【问题解决】设甲的速度是x千米/小时，则乙的速度是4x千米/小时，根据在相遇时乙比甲多行驶了14.4千米，列出方程计算即可求解；
【能力提升】设甲出发后经t小时两人相距2千米，分两种情况讨论：（1）甲、乙两人相遇前相距2千米，（2）甲、乙两人相遇后相距2千米，列出方程计算即可求解．
【解答】解：【问题解决】设甲的速度是x千米/小时，则乙的速度是4x千米/小时，依题意有
0.4x+14.4＝0.4×4x，
解得x＝12，
则4x＝4×12＝48．
故甲的速度是12千米/小时，乙的速度是48千米/小时；
【能力提升】设甲出发后经t小时相距2千米，
（1）甲、乙两人相遇前两人相距2千米，依题意有
12t+48×0.2+38（t﹣0.2）+2＝24，
解得t＝0.4；
（2）甲、乙两人相遇后相距2千米，依题意有
12t+48×0.2+38（t﹣0.2）﹣2＝24，
解得t＝0.48．
故甲出发后经0.4或0.48小时两人相距2千米．
22．（2020秋•滨海新区期末）已知，数轴上两点A，B对应的数分别为﹣20，10．
（Ⅰ）如图1，如果点P沿线段AB自点A向点B以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q沿线段BA自点B向点A以每秒3个单位长度的速度运动．运动时间为t秒．
①A，B两点间的距离为　30　；
②运动t秒时P，Q两点对应的数分别为　﹣20+2t　，　10﹣3t　；（用含t的代数式表示）
③当P，Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是　﹣8　；
（Ⅱ）如图2，若点D在数轴上，且AD＝PD＝DC＝3，∠PDC＝60°，现点P绕着点D以每秒转20°的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点Q沿直线BA自点B向点A运动．P，Q两点能否相遇？若能相遇，求出点Q的运动速度，若不能相遇，请说明理由．

【分析】（Ⅰ）①根据两点之间的距离公式即可求解；
②根据路程＝速度×时间即可求解；
③设t秒后点P与Q点相遇，根据题意列出方程，解方程即可求解；
（Ⅱ）分两种情况：①点P旋转到直线上的点C时；②点P旋转到直线上的点A时；进行讨论即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）①A，B两点间的距离为10﹣（﹣20）＝30．
故答案为：30；
②依题意：P点表示的数为﹣20+2t，Q点表示的数为10﹣3t．
故答案为：﹣20+2t，10﹣3t；
③设t秒后点P与Q点相遇，
依题意有﹣20+2t＝10﹣3t，
解得t＝6．
所以P点表示的数为﹣20+2t＝﹣20+2×6＝﹣20+12＝﹣8．
故答案为：﹣8；
（Ⅱ）答：能．由题意知，点P，Q只能在直线AB上相遇．
①点P旋转到直线上的点C时；t1=6020=3秒，
设点Q的速度为每秒x个单位长度，依题意得：
3x＝10﹣（﹣14）＝24，
解得：x＝8；
②点P旋转到直线上的点A时；t2=24020=12秒，
设点Q的速度为每秒y个单位长度，依题意得：
12y＝10﹣（﹣20）＝30，
解得：y=52．
答：点Q的速度为每秒8个单位长度或每秒52个单位长度．
23．（2020秋•十堰期末）如图，已知线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t＞0），点M为AP的中点．

（1）若点P在线段AB上运动，当t为多少时，PB＝2AM？
（2）若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点．
①当N为PB的中点时，求线段MN的长度；
②当PN＝2NB时，是否存在这样的t，使M、N、P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点．如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据PB＝2AM建立关于t的方程，解方程即可；
（2）①分点P在B点左侧和点P在B点或B点右侧两种情况讨论求解；
②分N是PM的中点，M是NP的中点，P是MN的中点三种情况讨论求解．
【解答】解：（1）∵M是线段AP的中点，
∴AM=12AP＝t，
PB＝AB﹣AP＝24﹣2t．
∵PB＝2AM，
∴24﹣2t＝2t，
解得t＝6．
（2）①点P在B点左侧．∵M是线段AP的中点，
∴PM=12AP＝t，
∵N是线段BP的中点，
∴PN=12BP=12（24﹣2t）＝12﹣t．
∴MN＝t+12﹣t＝12．
②点P在B点或B点右侧．
∵M是线段AP的中点，
∴PM=12AP＝t，
∵N是线段BP的中点，
∴PN=12BP=12（2t﹣24）＝t﹣12．
∴MN＝t﹣（t﹣12）＝12．
（3）①0＜t≤12
由题意得：PM＝t，PN=23（24﹣2t），PM＝PN，t=23（24﹣2t），t=487．
②12＜t≤48
由题意得：PM＝t，PN=23 （2t﹣24），PM＝2PN，t＝2×23 （2t﹣24），t=965．
③t＞48
由题意得：PM＝t，PN=23 （2t﹣24），PN＝2PM，23 （2t﹣24）＝2t，t＝﹣24（不成立）．
答：当t=487时，P是MN的中点；当t=965时，N是MP的中点．
24．（2020秋•包河区期末）如图，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，经过 　5　秒后，OM恰好平分∠BOC；
（2）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图，那么经过 　7.5或115　秒，OC平分∠MON？

【分析】（1）构建方程即可解决问题；
（2）根据∠MOC＝45°，分两种情况构建方程即可．
【解答】解：（1）旋转前∠MOC＝90°﹣∠AOC＝60°，
当OM平分∠BOC时，∠MOC=12∠BOC=12×（180°﹣30°）＝75°，
3t＝75°﹣60°，
t＝5，
故答案为：5．
（2）当0＜t≤30时，如图，

∠MOC＝∠AOM﹣∠AOC＝（3t+90°）﹣（30°+5t）＝60°﹣2t，
若OC平分∠MON，则∠MOC=12∠MON，
∴60°﹣2t＝45°，
解得t＝7.5．
当30＜t≤120时，OC回到初始位置，如图，

∠AOM＝3t﹣270°，∠AOC＝30°，
∴若OC平分∠MON，则∠MOC＝45°，
∴3t﹣270°﹣30°＝45°，
解得t＝115．
故答案为：7.5或115．
25．（2020秋•南昌期末）一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为ts．
（1）当t＝5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是 　85　度；
（2）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．
①当t为何值时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD＝2∠APC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）当t＝5秒时，计算出边BP旋转的角度的大小即可得出结论；
（2）①如图1，根据PB平分∠CPD，利用角平分线的定义可得∠CPB＝∠BPD=12∠CPD＝30°，利用含t的代数式分别表示出∠MPB和∠BPD的度数，列出关于t的方程，解方程即可求解；
②设时间为t秒，则∠APM＝10°t，∠DPN＝2°t，分两种情况说明：Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3，根据旋转过程得出的角度的大小列出方程即可求得结论．
【解答】解：（1）当t＝5秒时，由旋转知，边BP旋转的角度为：10°×5＝50°，
∴边PB经过的量角器刻度线对应的度数是：180°﹣（45°+5×10°）＝85°，
故答案为：85；
（2）①如图1所示：

由题意得：∠MPB＝10°t+45°，∠DPN＝2°t．
∵PB平分∠CPD；
∴∠CPB＝∠BPD=12∠CPD＝30°，
由∠MPN＝∠MPB+∠BPD+∠DPN＝180°得：
10°t+45°+30°+2°t＝180°，
解得，t=354，
∴当t=354时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，存在某一时刻使∠BPD＝2∠APC．
∵运动时间为t秒，则∠APM＝10°t，∠DPN＝2°t，
Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：

此时，∠APC＝180°﹣10°t﹣60°﹣2°t＝120°﹣12°t，
∠BPD＝180°﹣45°﹣10°t﹣2°t＝135°﹣12°t，
∵∠BPD＝2∠APC，
∴135°﹣12°t＝2（120°﹣12°t），
解得：t=354，
因为当t=354时，运动的情况刚好同解答图的图1，
此时∠BPD＝30°，∠APC＝15°，∠BPD＝2∠APC．是成立的；
Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3所示：

此时，∠APC＝10°t+2°t+60°﹣180°＝12°t﹣120°，
∠BPD＝180°﹣45°﹣10°t﹣2°t＝135°﹣12°t，
∵∠BPD＝2∠APC，
∴135°﹣12°t＝2（12°t﹣120°），
解得：t=12512．
当PB在PD的右侧时，∠APC＝12°t﹣120°，∠BPD＝12°t﹣135°，
则12°t﹣135°＝2（12°t﹣120°），
解得：t=354，
此时PB在PD的左侧，所以和假设情况矛盾，不符合题意，舍去．
综上所述，当t=12512或t=354时，∠BPD＝2∠APC．
26．（2020秋•南昌期末）滴滴公布了新的滴滴快车计价规则，车费由“总里程费+总时长费”两部分构成，不同时段收费标准不同，具体收费标准如下表，如果车费不足起步价，则按起步价收费．
时间段
里程费（元/千米）
时长费（元/分钟）
起步价（元）
06：00﹣10：00
1.80
0.80
14.00
10：00﹣17：00
1.45
0.40
13.00
17：00﹣21：00
1.50
0.80
14.00
21：00﹣6：00
0.80
0.80
14.00
（1）小明早上7：10乘坐滴滴快车上学，行车里程6千米，行车时间10分钟，则应付车费多少元？
（2）小云17：10放学回家，行车里程2千米，行车时间12分钟，则应付车费多少元？
（3）20：45下晚自习后小明乘坐滴滴快车回家，21点前在学校上车，由于堵车，平均速度是20千米/小时，21点时为避免堵车走另外一条路回家，平均速度是30千米/小时，15分钟后到家他付了18.8元车费，请问他是20点几分上车的？
【分析】（1）根据里程费+时长费，列式计算，再与起步价比较，便可得车费；
（2）根据里程费+时长费，列式计算，再与起步价比较，便可得车费；
（3）可设他是20点x分上车的，根据15分钟后到家他付了18.8元车费，列出方程计算即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，应付车费＝1.8×6+0.8×10＝18.8（元）
18.8元＞14元，
答：应付车费18.8元；
（2）由题意得，1.5×2+0.8×12＝12.6（元）＜14元，
∴应付车费＝14元，
答：应付车费14元；
（3）20千米/小时=13千米/分钟，30千米/小时=12千米/分钟，
设他是20点x分上车的，根据题意得
（60﹣x）×13×1.5+0.8（60﹣x）+15×12×0.8+15×0.8＝18.8，
解得x=77213．
答：他是20点77213分上车的．
27．（2020秋•太原期末）综合与实践
问题情境：
太原环城旅游公路暨公路自行车赛道环西山而建，全长136千米，将百余处景点串连成一条线，同时，也是山西首条自行车专用赛道．周日，某自行车骑行团在该赛道组织骑行活动，甲、乙、两三人参加了这次活动．甲从赛道一端（记为A）出发向另一端（记为B）骑行，甲出发40分钟时乙从赛道B端出发，二人相向而行．已知甲的平均速度为50千米/时，乙的平均速度为30千米/时．设甲骑行的时间为x小时，请解决下列问题．
建立模型：
（1）在甲从赛道A端到B端骑行过程中，用含x的代数式表示：甲离开A端的赛程为 　50x　千米，乙离开B端的赛程为 　30（x−23）　千米；
问题解决：
（2）当甲、乙二人相遇时，x的值为 　1.95　；
（3）乙出发20分钟时，丙从B端出发向A端骑行，平均速度也为30千米/时．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择 　A　题．
A．若甲到达B端后停止骑行，丙到A端后也停止骑行，当甲与丙之间相距的赛程恰好为6千米时，求x的值；
B．若甲骑行至离B端16千米时立刻掉头向A端骑行，则在乙、丙到达A端之前，甲是否能追上乙、丙？若能追上，分别求追上乙、丙时x的值；若不能，请说明理由．

【分析】（1）根据路程＝速度×时间，可得甲的路程为50x，乙晚出发40分钟，路程为30（x−23）．
（2）根据相遇问题路程的关系列方程即可求解．
【解答】（1）由题意得：甲的路程为50x；
乙的路程为30（x−23）．
（2）甲乙相遇，总路程为136千米，
即50x+30（x−23）＝136，
解得x＝1.95，
故x的值为1.95．
（3）第一题选A的话，分相遇前相遇后两种情况讨论：
①当甲丙相遇前相距6千米，可列方程，
50x+30（x﹣1）+6＝136，
解得x＝2；
②当甲丙相遇后相距6千米，可列方程，
50x+30（x﹣1）﹣6＝136，
解得x＝2.15；
答：x的值为2小时或2.15小时．
第二题选B的话，若甲骑行至离B端16千米
甲的时间：（136﹣16）÷50＝2.4小时，
此时乙距B端路程：30×（2.4−23）＝52千米，
此时丙距B端路程：30×（2.4﹣1）＝42千米，
甲追上乙的时间为：（52﹣16）÷（50﹣30）+2.4＝4.2小时；
甲追上丙的时间为：（42﹣16）÷（50﹣30）+2.4＝3.7小时；
∵4.2×30＜136，
∴甲可以追上乙，丙．
答：甲追上乙的时间为4.2小时，甲追上丙的时间为3.7小时．
28．（2020秋•石景山区期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB）．特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．例如，如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7．
（1）若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　1　，d2（点D，线段AB）＝　6　；
（2）若点E表示的数为x，点F表示的数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．

【分析】（1）根据“近距”和“远距”的定义即可求得；
（2）根据“近距”和“远距”的定义，分三种情况列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝﹣2﹣（﹣3）＝1，d2（点D，线段AB）＝3﹣（﹣3）＝6．
故答案为：1，6；
（2）由题意可知，点F在点E的右侧且EF＝1．
①若点E在线段AB上，则d1（点E，线段AB）＝0，d2（点F，线段AB）≠0，不合题意；
②若点E在点A的左侧，即x＜﹣2时，
如图1．
d1（点E，线段AB）＝AE＝|﹣2﹣x|＝﹣2﹣x，
∵点F在点E的右侧且EF＝1，AB＝5，
∴d2（点F，线段AB）＝BF＝|3﹣（x﹣1）|＝2﹣x，
∵d2（点F，线段AB）＝3d1（点E，线段AB），
∴2﹣x＝3（﹣2﹣x）．
解得x＝﹣4；
③若点E在点B的右侧，即x＞3时，
如图2．
d1（点E，线段AB）＝EB＝|x﹣3|＝x﹣3，
d2（点F，线段AB）＝FA＝|（x+1）﹣（﹣2）|＝x+3，
∵d2（点F，线段AB）＝3d1（点E，线段AB），
∴x+3＝3（x﹣3）．
解得x＝6．
综上所述，x的值为﹣4或6．


29．（2020秋•渝中区期末）阅读下列材料：
一般地，我们把按一定顺序排列的三个数x1，x2，x3，叫做数列x1，x2，x3．计算：|x1|，|x1+x2|2，|x1+x2+x3|3，我们把计算结果的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，|2+(−1)|2=12，|2+(−1)+3|3=43．所以数列2，﹣1，3的价值为12，改变这三个数的顺序按照上述方法可计算出其它数列的价值．比如，数列﹣1，2，3的价值为12；数列3，﹣1，2的价值为1．通过计算，发现：对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序可得到不同的数列，这些数列的价值的最小值为12．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求数列﹣2，7，1的价值；
（2）由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列共有多少种不同的数列，写出这些数列，并求出它们的价值的最小值和最大值；
（3）将2，﹣7，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，请直接写出a的值．
【分析】（1）根据题目中数列价值的定义计算即可；
（2）题中的三个数可以排列组合成6中不同的数列，分别计算数列的价值即可；
（3）分情况计算出a的取值，再舍去不正确的取值即可．
【解答】解：（1）∵|﹣2|＝2，|−2+7|2=52，|−2+7+1|3=2，
∴数列﹣2，7，1的价值为2；
（2）由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，具体如下：
数列﹣2，7，1；
数列﹣2，1，7；
数列7，﹣2，1；
数列7，1，﹣2；
数列1，7，﹣2；
数列1，﹣2，7；
由（1）知数列﹣2，7，1的价值是2；
∵|﹣2|＝2，|−2+1|2=12，|−2+7+1|3=2，
∴数列﹣2，1，7的价值是12；
同理可求：
数列7，﹣2，1的价值是2；
数列7，1，﹣2的价值是2；
数列1，7，﹣2的价值是1；
数列1，﹣2，7的价值是12；
综上可知，这些数列的价值的最小值是12，最大值是2；
（3）若这些数列的价值的最小值为1，
则|−7+a|2=1或|−7+a+2|3=1或|a+2|2=1，且a＞1，
解得：a＝5或9或2或8，
当a＝5时，|−7+a+2|3=0＜1，
∴a＝5不符合，舍去；
当a＝8时，则|−7+a|2=12＜1，
∴a＝8，不符合，舍去；
综上，a的值为2或9．
30．（2020秋•监利市期末）（1）阅读思考：小迪在学习过程中，发现“数轴上两点间的距离”可以用“表示这两点数的差”来表示，探索过程如下：
如图1所示，线段AB，BC，CD的长度可表示为：AB＝3＝4﹣1，BC＝5＝4﹣（﹣1），CD＝3＝（﹣1）﹣（﹣4），于是他归纳出这样的结论：如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，当b＞a时，AB＝b﹣a（较大数一较小数）．

（2）尝试应用：
①如图2所示，计算：OE＝　5　，EF＝　8　；
②把一条数轴在数m对应的点处对折，使表示﹣20和2020两数的点恰好互相重合，求数m的值；

（3）问题解决：
①如图3所示，点P表示数x，点M表示数﹣2，点N表示数2x+8，且MN＝4PM，求出点P和点N分别表示的数；
②在上述①的条件下，是否存在点Q，使PQ+QN＝3QM？若存在，请直接写出点Q所表示的数；若不存在，请说明理由．




【分析】（2）尝试应用：①利用得出的结论直接计算即可；
②利用对称的性质列方程解答即可；
（3）问题解决：①根据图表示的数，利用MN＝4PM，建立方程求得答案；
②设出点D表示的数，根据题意列出方程探讨得出答案即可．
【解答】解：（2）尝试应用：
①OE＝0﹣（﹣5）＝0+5＝5，EF＝3﹣（﹣5）＝3+5＝8，
故答案为：5，8；
②m﹣（﹣20）＝2020﹣m，
解得：m＝1000；
（3）问题解决：
①∵MN＝2x+8﹣（﹣2）＝2x+10，PM＝﹣2﹣x，
∵MN＝4PM，
∴2x+10＝4（﹣2﹣x），
∴x＝﹣3，
∴2x+8＝2×（﹣3）+8＝2，
∴点P表示的数为﹣3，点N表示的数为2；
②存在，设点Q表示的数为a，
当点Q在点P左侧时，
根据题意得：﹣3﹣a+2﹣a＝3（﹣2﹣a），
解得：a＝﹣5；
当点Q在点P和点N之间时，PQ+QN＝2+3＝5，
则3|a﹣（﹣2）|＝5，
解得：a=−13或a=−113（舍去），
当点Q在点N的右侧时，
PQ＝a+3，QN＝a﹣2．QM＝a+2，
∴a+3+a﹣2＝3（a+2），
解得：a＝﹣5（不合题意），
综上所述，点Q表示的数为﹣5或−13．